例談集合的三個常考點

【摘要】集合是高考的必考點.本文結合幾則典例，探討高考集合的幾個常考點，以提高學生的解題能力，提升學生的思維品質.

【關鍵詞】集合；高中數學；解題技巧

集合是高考的必考點，主要考查集合的概念、集合的基本運算，以及集合中的數學思想，以下結合幾則典例進行分析探討.

1" 考查集合的概念

集合有三種表示方法：列舉法、描述法和圖示法.集合中的元素有三個特征，即確定性、無序性和互異性.對于集合問題，首先要弄清構成集合的元素是什么，即弄清楚該集合是數集、點集，還是其他集合，再看集合的構成元素滿足的限制條件是什么，然后準確求出答案.

例1" （1） 已知集合A={x|y=－x2－x+2lnx，

B=yy=12x2－x+12，則A∩B＝.

（2）設A是自然數集的一個非空子集，對于k∈A，如果k2A，且kA，那么k是A的一個“酷元”，給定S={x∈N|y=lg （36－x2）}，設MS，集合M中有兩個元素，且這兩個元素都是M的“酷元”，那么這樣的集合M有個.

解析" （1）本題中的集合A與集合B都是數集，前者表示函數y＝－x2－x+2lnx的定義域，后者為函數y=12x2－x+12的值域.由y＝－x2－x+2lnx得－x2－x+2≥0，x＞0且x≠1，解得0lt;xlt;1，即A＝（0，1）．由y＝12x2－x＋12＝12（x－1）2≥0，得B＝［0，＋∞），故A∩B＝（0，1）．

（2）本題是新定義集合問題，解答時需理解“酷元”的含義，并注意集合的正確表示.由36－x2gt;0可解得－6lt;xlt;6，又x∈N，故x可取0，1，2，3，4，5，故S＝{0，1，2，3，4，5}．

由題意可知：集合M不能含有0，1，且不能同時含有2，4.故集合M可以是{2，3}，{2，5}，{3，5}，{3，4}，{4，5}．

評注" 認清集合的代表元素，用好集合的有關性質，是解答集合概念性問題和新定義題型的關鍵.在解題時，要善于發現試題中可以使用集合性質的某些因素.

2" 考查集合的基本運算

集合的基本運算包括交、并、補三種，求解這類問題的一般思路是：先化簡集合，再根據交、并、補的定義求解．求解原則：先算括號里面的，再按運算順序求解．求解時要注重數形結合思想的運用.

例2" （1）已知集合A＝{x∈N|πxlt;16}，B＝{x|x2－5x＋4lt;0}，求A∩（瘙綂RB）的真子集的個數.

（2）已知集合A＝{x|y=log2x－12}，B＝{x|xlt;2m－1}，且A（瘙綂RB），求m的最大值．

（3）若集合U有71個元素，S，TU且各有14，28個元素，CS∪T（S∪T）則的元素個數最少是（" ）

（A）14." （B）30." （C）32." （D）42.

解析" （1）因為A＝{x∈N|πxlt;16}＝{0，1，2}，B＝{x|x2－5x＋4lt;0}＝{x|1lt;xlt;4}，故瘙綂RB＝{x|x≤1或x≥4}，故A∩（瘙綂RB）＝{0，1}，故A∩（瘙綂RB）的真子集的個數為3.

（2）依題意，A＝x|y=log2x－12＝{x|x＞12}，瘙綂RB＝{x|x≥2m－1}，又A（瘙綂RB），所以2m－1≤12，解得m≤34.故m的最大值為34.

（3）設S∩T=M，M中有x個元素，則0≤x≤14，x∈N，

所以S∪T中的元素個數為14+28－x=42－x，因此CS∪T（S∪T）中的元素個數為S∪T中的元素減去S∩T中的元素個數，即為42－x－x=42－2x，由于0≤x≤14，x∈N，所以42－2x∈14，42，故當x=14時，有最小值14，故選（A）.

點評" 這類問題雖然難度不大，但必須正確理解集合三種運算的意義.尤其是對于含參問題要學會結合三種運算的Venn圖來處理.

3" 考查集合中的數學思想

“麻雀雖小，五臟俱全”.集合蘊藏著豐富的數學思想與方法，如方程思想、數形結合思想、分類討論思想和等價轉化思想，這些都是我們求解集合問題的“法寶”與“利器”.

例3" （1）若全集U＝R，則正確表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2＋x＝0}關系的Venn圖是（" ）

圖1

（2）已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，且A∩B＝A∪B，則a＝.

（3）已知關于x的方程x2－6x=a（agt;0）的解集為P，則P中所有元素的和可能是（" ）

（A）3，6，9.""""" （B）6，9，12.

（C）9，12，15.（D）6，12，15.

解析" （1）由題意知，N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1，0}，而M＝{－1，0，1}，故NM，選（B）.

（2）由于A＝{2，a，b}，B＝{2a，2，b2}，且A∩B＝A∪B，故A＝B，因此A，B中的元素對應相等，得a=2ab=b2或a=b2，b=2a，解得a=0b=1或a=0b=0或a=14，b=12，由集合中元素的互異性，得a=0b=1或a=14，b=12，所以a的值為0或14.

（3）關于x的方程x2－6x=a（agt;0）等價于x2－6x－a=0①，或者x2－6x+a=0②．

由題意知，P中元素的和應是方程①和方程②中所有根的和．因為agt;0，對于方程①，Δ= （－6）2－4×1×－a=36+4agt;0．所以方程①必有兩個不等的實根，由根與系數的關系，得兩根之和為6．而對于方程②，Δ=36－4a，當a=9時，Δ=0，可知方程②有兩個相等的實根為3，在集合中應按一個元素來記，故P中元素的和為9；當agt;9時，Δlt;0，方程②無實根，故P中元素的和為6；當0lt;alt;9時，方程②中Δgt;0，有兩個不等的實根，由根與系數的關系，得兩根之和為6，故P中元素的和為12.故選（B）．

點評" 集合既是符號語言，又是圖形語言.對于集合問題，我們應注意兩者之間的相互轉換．與此同時，集合的元素具有無序性與互異性.對于兩個集合相等的問題，應注意對應元素相等的次序不唯一，因此必須進行分類討論，并且要驗證元素的互異性.本例展現了集合問題的三種數學思想：數形結合、分類討論和方程思想.

4" 結語

總而言之，對于集合問題，我們應抓住集合的三個重點，即基本概念、基本運算和基本方法，學會集合的文字語言、圖形語言和符號語言之間的相互轉化.

參考文獻：

［1］顧德勝.考點“五明確”，題型“齊薈萃”——基于集合知識的考查［J］.中學生數理化（高考數學），2023（09）：31-32.

［2］張剛.集合與簡易邏輯考點及題型分析［J］.廣東教育（高中版），2017（09）：20-24.