高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題中誘導(dǎo)公式的運(yùn)用

【摘要】三角函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，是對(duì)初中三角函數(shù)知識(shí)的持續(xù)，由銳角三角函數(shù)推廣至任意角，不僅學(xué)習(xí)起來難度與深度均有提升，對(duì)學(xué)生的解題能力還有著更高要求，誘導(dǎo)公式則是三角函數(shù)解題中比較常用的一種工具.本文針對(duì)高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題中怎么運(yùn)用誘導(dǎo)公式作探討，并羅列幾道解題實(shí)例.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；解題技巧

誘導(dǎo)公式屬于三角函數(shù)中的獨(dú)有知識(shí)，指的是通過周期性把角度較大的三角函數(shù)，轉(zhuǎn)變成角度較小的三角函數(shù)的公式.在高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題訓(xùn)練中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目實(shí)際情況靈活選擇與運(yùn)用誘導(dǎo)公式，借助誘導(dǎo)公式降低試題的難度與復(fù)雜程度，使其形成簡潔明了的解題思路，最終讓他們高效地完成解題.

1" 運(yùn)用誘導(dǎo)公式解決三角函數(shù)化簡試題

在高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題訓(xùn)練中，化簡是一類比較常見的題型，雖然難度一般，但是有的試題中給出的三角函數(shù)表達(dá)式較為復(fù)雜，運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，能夠達(dá)到化復(fù)雜為簡單的效果.高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)提醒學(xué)生結(jié)合需要化簡的三角函數(shù)表達(dá)式選擇適當(dāng)?shù)恼T導(dǎo)公式，把其中的某一部分依據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行替換，讓他們結(jié)合三角函數(shù)的基本性質(zhì)與關(guān)系來化簡［1］.

例1" 已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx），且常數(shù)ωgt;0.

（1）當(dāng)ω=1時(shí)，請(qǐng)判斷函數(shù)F（x）=f（x）+fx+π2的奇偶性，簡單闡述理由；

（2）當(dāng)ω=2時(shí)，把函數(shù)y=f（x）的圖象先往左平移π6個(gè)單位，再往上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，對(duì)于任意a∈R，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間［a，a+10π］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的所有可能情況.

分析" 本題經(jīng)過復(fù)合及變換后的三角函數(shù)解析式較為復(fù)雜，學(xué)生可運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，在化簡時(shí)可借助三角函數(shù)的基本關(guān)系與性質(zhì)展開代數(shù)運(yùn)算，把問題變得更為簡單，讓他們找到更為便捷與高效的解題思路及流程.

詳解" （1）當(dāng)ω=1時(shí)，f（x）=2sinx，

這時(shí)F（x）=f（x）+fx+π2=2sinx+2sinx+π2=2（sinx+cosx），

則Fπ4=22，F(xiàn)－π4=0，

故F－π4≠Fπ4，

F－π4≠－Fπ4，

所以函數(shù)F（x）不屬于奇、偶函數(shù)中的任何一種.

（2）當(dāng)ω=2時(shí)，把函數(shù)y=f（x）的圖象先往左平移π6個(gè)單位，再往上平移1個(gè)單位，可以得到y(tǒng)=2sinx+π6+1的圖象，

故y=2sin2x+π3+1，

令g（x）=0，則x=kπ+512π（k∈Z），

或者x=kπ+34π（k∈Z），

由于［a，a+10π］含有10個(gè)周期，故當(dāng)a是零點(diǎn)時(shí)，該函數(shù)在［a，a+10π］內(nèi)有21個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a不是零點(diǎn)時(shí)，a+kπ（k∈Z）均不為零點(diǎn)，在區(qū)間［a+kπ，a+k+1π］內(nèi)剛好有2個(gè)零點(diǎn)，那么在［a，a+10π］內(nèi)有20個(gè)零點(diǎn).

所以函數(shù)y=g（x）在區(qū)間［a，a+10π］內(nèi)可能有20或者21個(gè)零點(diǎn).

2" 運(yùn)用誘導(dǎo)公式解決三角函數(shù)求值試題

在高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題練習(xí)中，經(jīng)常會(huì)遇到一些求值類的題目，當(dāng)處理較為復(fù)雜或者非典型、非標(biāo)準(zhǔn)類的求值試題時(shí)，教師便可指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，使其根據(jù)具體題目科學(xué)使用和差角、三角函數(shù)關(guān)系及特殊角的三角函數(shù)值等，從而將求值過程由復(fù)雜變得簡單化，且更加容易計(jì)算，讓他們找到簡便的求值方法，減少錯(cuò)誤，提高做題的效率［2］.

例2" 已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）ωgt;0，0lt;φlt;π2，該函數(shù)在區(qū)間π8，5π8內(nèi)具有單調(diào)性，且f－π8=f3π8=0，求fπ2的值.

分析" 這是一道典型的求值類三角函數(shù)試題，學(xué)生可運(yùn)用誘導(dǎo)公式降低原式的復(fù)雜程度，轉(zhuǎn)變成更為簡單且易于計(jì)算的形式，由此將求值過程進(jìn)行簡化處理，消除煩瑣的計(jì)算流程，提升他們計(jì)算的準(zhǔn)確率.

詳解" 根據(jù)題意可知函數(shù)f（x）的最小正周期是T=2πω，

由于該函數(shù)在區(qū)間π8，5π8內(nèi)具有單調(diào)性，

故T2=πω≥π2，則0lt;ω≤2，

又因?yàn)閒－π8=f3π8=0，

故T2=3π8－－π8=π2，

求得ω=2，

因?yàn)閒－π8=0，

所以sin2×－π8+φ=0，整理以后得到φ=π4，

故f（x）=sin2x+π4，

所以fπ2=sin2×π2+π4

=sinπ+π4=－22.

3" 運(yùn)用誘導(dǎo)公式解決三角函數(shù)證明試題

針對(duì)高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題教學(xué)來說，證明類題目難度通常稍大，不僅要求學(xué)生掌握相應(yīng)的理論知識(shí)，還對(duì)他們的思維能力有著較高要求，包括邏輯思維與推導(dǎo)能力等.對(duì)此，高中數(shù)學(xué)教師可指引學(xué)生運(yùn)用誘導(dǎo)公式輔助證明，優(yōu)化證明過程，使其找到更為簡潔與清楚的推理流程，以便能夠更加輕松地進(jìn)行計(jì)算與推導(dǎo)，最終幫助他們順利證明題設(shè)中的結(jié)論［3］.

例3" 在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角分別是A，B，C.

（1）請(qǐng)證明cos2A+B2+cos2C2=1;

（2）如果cosπ2+Asin3π2+BtanC－πl(wèi)t;0，請(qǐng)證明該三角形是鈍角三角形.

分析" 本題屬于典型的證明類題目，學(xué)生可運(yùn)用誘導(dǎo)公式輔助證明，把證明過程變得簡潔化，讓他們找到清晰明了的推理路徑，且將整個(gè)證明過程變得更為連貫與易于理解.

詳解" （1）因?yàn)锳，B，C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，故有A+B=π－C，則A+B2=π2－C2，

由此得到cosA+B2=cosπ2－C2=sinC2，

所以cos2A+B2+cos2C2=1.

（2）由于cosπ2+Asin3π2+BtanC－πl(wèi)t;0，那么－sinA－cosBtanClt;0，根據(jù)題意可知0lt;Alt;π，0lt;Blt;π，0lt;Clt;π，則sinAgt;0，所以cosBtanC＜

0，據(jù)此得到cosBlt;0，tanCgt;0或者cosBgt;0，tanClt;0，故B是鈍角或者C是鈍角，所以△ABC是鈍角三角形.

4" 結(jié)語

誘導(dǎo)公式是處理高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)試題的重要工具之一，教師需高度重視三角函數(shù)誘導(dǎo)公式理論知識(shí)的講解，幫助學(xué)生透徹理解三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的概念與推導(dǎo)方法，使其學(xué)會(huì)運(yùn)用誘導(dǎo)公式解答三角函數(shù)中化簡、求值與證明等多種試題，提高他們解題的準(zhǔn)確率與速度.

參考文獻(xiàn)：

［1］李軍焰.高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化處理對(duì)策研究［J］.數(shù)理天地（高中版），2024（01）：90-93.

［2］姜勇鋼.高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)題型的解題［J］.數(shù)理天地（高中版），2023（21）：48-49.

［3］白衛(wèi)娟.高中三角函數(shù)解題方法探索［J］.數(shù)學(xué)之友，2023，37（10）：63-64+68.