函數(shù)定義域問題的三種解法例析

【摘要】定義域問題是函數(shù)問題中的重要內(nèi)容之一，所以函數(shù)問題大部分都會與函數(shù)的定義域聯(lián)系求解.與函數(shù)定義域相關(guān)的問題有很多種類型，如求解抽象函數(shù)的定義域等.對于函數(shù)的定義域問題很多學(xué)生在解題時很容易出現(xiàn)思路混亂的情況，其實函數(shù)定義域問題并不是很難，只需要針對不同的問題對癥下藥，就能正確求解.本文分析和介紹三種與函數(shù)定義域有關(guān)的問題，希望能夠幫助學(xué)生正確求解對應(yīng)的問題，拓寬知識面.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)定義域；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

1" 已知定義域求參數(shù)

利用定義域求參數(shù)取值范圍問題，指的是已知函數(shù)的解析式求對應(yīng)的函數(shù)定義域的問題，或者已知函數(shù)的解析式和定義域需要求解函數(shù)式中的某一參數(shù)的取值范圍.這種類型問題的常用解題步驟為：①根據(jù)具體題目信息進(jìn)行逆向分析，確定函數(shù)的定義域等；②根據(jù)函數(shù)的定義域等信息進(jìn)行分類討論，最后將滿足題目要求的信息匯總，即得所求的取值范圍.

例1" 若函數(shù)fx=mx2－6mx+m+8的定義域為R上，則m的取值范圍為.

分析" 首先根據(jù)fx=mx2－6mx+m+8的定義域為R，得到恒成立的不等式mx2－6mx+m+8≥0，且解集為R，然后分情況討論參數(shù)m的值，即m=0或m≠0時不等式恒成立的情況，綜合所有情況得到最終參數(shù)m的取值范圍即可.

解析" 已知函數(shù)fx=mx2－6mx+m+8定義域為R，

所以對一切實數(shù)x，不等式mx2－6mx+m+8≥0恒成立，

①當(dāng)m=0時，fx=8＞0，則其定義域為R；

②當(dāng)m≠0時，mx2－6mx+m+8≥0恒成立，

則有Δ=36m2－4mm+8≤0且m＞0，解不等式可得0＜m≤1.

綜上所述，m的取值范圍為［0，1］.

2" 求抽象函數(shù)定義域

求抽象函數(shù)的定義域問題是一類較為常見的定義域問題，沒有解析式的定義域需要根據(jù)定義和相關(guān)性質(zhì)來解答，即利用函數(shù)fx的定義域是自變量x的取值范圍解答相關(guān)問題.這類問題的一般解題思路和步驟為：①根據(jù)題目條件給出范圍，確定已知范圍與所求函數(shù)自變量之間的關(guān)系，列出關(guān)系式；②綜合所有情況，列出所求自變量的不等式，解答即可得到具體答案.

例2" 已知函數(shù)fx+1的定義域為2，8，則函數(shù)hx=f2x+9－x2的定義域為（" ）

（A）4，16." （B）－∞，1∪3，+∞.

（C）1，3." （D）3，4.

分析" 首先給出的定義域范圍是函數(shù)fx+1的自變量x的范圍，與函數(shù)hx存在一定聯(lián)系，其次hx與f2x有關(guān)聯(lián)，要使函數(shù)有意義根號部分要不小于零，根據(jù)這些要求列出對應(yīng)不等式并解答，就能得到所求函數(shù)的最終定義域范圍.

解析" 因為函數(shù)fx+1的定義域為2，8，

所以2≤x+1≤8，

因為在函數(shù)f2x中，2≤2x≤8，

所以1≤x≤4，

使函數(shù)hx=f2x+9－x2有意義，需要滿足9－x2≥0，

綜上得1≤x≤3，所以函數(shù)hx的定義域為1，3.

正確答案為選項（C）.

變式" 設(shè)函數(shù)fx的定義域為－1，3，則函數(shù)gx=f1+xln1－x的定義域為.

分析" 首先要理清函數(shù)fx和f1+x的自變量定義，才能得到對應(yīng)的不等式，其次函數(shù)gx要有意義需要兩個附加條件，基于限制條件列出對應(yīng)不等式，運算得到的范圍就是對應(yīng)的定義域范圍.

解析" 使函數(shù)gx有意義，

則有－1＜1+x＜3，1－x＞0，1－x≠1，

即－2lt;xlt;2，xlt;1，x≠0，

解得－2＜x＜0或0＜x＜1，

故函數(shù)gx的定義域為－2，0∪0，1.

3" 求具體函數(shù)定義域

當(dāng)題目中給出具體的函數(shù)解析式時，求對應(yīng)的定義域也屬于比較常見的一種題型，需要結(jié)合一些限制條件，如分式的分母不為零等，根據(jù)具體情況列出關(guān)系式并解答是最關(guān)鍵的一步.解答這類已知具體的函數(shù)求定義域問題，一般解題思路為：①根據(jù)解析式結(jié)構(gòu)特點，找到所有限制條件，并列出相關(guān)關(guān)系式；②求解得到關(guān)于x的解集，即函數(shù)的定義域范圍.

例3" 求函數(shù)fx=1－2cosx+lnsinx－22的定義域為.

分析" 首先根號、對數(shù)都存在限制條件，其次正、余弦函數(shù)也有值域范圍限制，列出對應(yīng)不等式并求解，得到的解集對應(yīng)自變量x的范圍，即函數(shù)的定義域大小.

解析" 由題意可得：1－2cosx≥0，sinx－22＞0，

即cosx≤12，sinx＞22，

因為cosx≤12，

所以π3+2kπ≤x≤5π3+2kπ，k∈Z，

因為sinx＞22，

所以π4+2kπ＜x＜3π4+2kπ，k∈Z，

所以π3+2kπ≤x＜3π4+2kπ，k∈Z，

故函數(shù)fx定義域為

xπ3+2kπ≤x＜3π4+2kπ，k∈Z.

4" 結(jié)語

函數(shù)定義域問題主要分為已知函數(shù)求定義域和已知定義域求參數(shù)兩大類，其中給出的函數(shù)可以分成抽象函數(shù)和具體函數(shù)，根據(jù)定義或限制條件列式解答問題是解題的關(guān)鍵，其次已知定義域求參數(shù)范圍也需要注意定義域的限制要求.定義域問題屬于最基本的函數(shù)問題，需要熟練掌握，應(yīng)引起學(xué)生的關(guān)注和重視.

參考文獻(xiàn)：

［1］朱德慧.求函數(shù)值域的三種思路［J］.語數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版上旬），2023（04）：56-57.

［2］童其林.例析對數(shù)型函數(shù)的值域問題［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2020（05）：3-5.