巧用導數解決實際應用問題

【摘要】本文通過具體案例，闡述如何運用導數解決各類實際問題，旨在探討如何巧妙地運用導數來解決實際應用問題，為相關領域的研究者和實踐者提供有益的參考.

【關鍵詞】高中數學；導數；解題應用

導數是一個重要的數學概念，它是函數在某一點的變化率.導數在很多領域都有應用.通過導數，可以研究函數的單調性、極值、最值等問題，從而為解決實際問題提供關鍵信息［1］.

1" 利用導數求解利潤最大問題

例1" 某物流公司計劃擴大公司業務，但總投資不超過100萬元，市場調查發現，投入資金x（萬元）和年增加利潤y（萬元）近似滿足如下關系

y=90+2x－3x2+900，x∈0，4090x－x2－1980，x∈40，100．

如果你是該公司經營者，你會投入多少資金？請說明理由．

解析" 當x∈［0，40］時，

y=90+2x－3x2+900，

則y′=2－3×12×2xx2+900=2－3xx2+900，

令y′=0，則2－3xx2+900=0，

化簡得x2=720，

解得x=125或x=－125（舍去）.

當x∈［0，125）時，y′gt;0，則y=90+2x－3x2+900在［0，125）上單調遞增；

當x∈（125，40］時，y′lt;0，則y=90+2x－3x2+900在（125，40］上單調遞減.

所以當x=125時，y=90+2x－3x2+900取得最大值90+245－3720+900=90－305，

當x∈［0，40］時，公司年增加利潤最大為90－305萬元，

當x∈（40，100］時，

y=90x－x2－1980=－（x－45）2+45，

所以當x=45時，y取得最大值為45，

因為90－305lt;45，

所以投資45萬元時，公司年增加利潤最大為45萬元.

評析" 當x∈［0，40］時，y的最大值為90－305，然后求出x∈（40，100］時y的最大值進行比較判斷.

2" 利用導數求解面積最大問題

例2" 某零食生產廠家準備用長為27cm，寬為4cm的長方形紙板剪去陰影部分（如圖1，陰影部分為全等四邊形），再將剩余部分折成一個底面為長方形的四棱錐形狀的包裝盒，求該包裝盒容積的最大值.

圖2

解析" 如圖2是四棱錐形包裝盒的直觀圖，設AC∩BD=O，連接PO，易知PO⊥平面ABCD，

設AB，BC的中點分別為E，F，連接PE，PF，

設AB=a，BC=b，PO=h，

則PE=h2+b22，

因為2PE+BC=4，

所以2h2+b22+b=4，

整理得h2=4－2b，

所以b=4－h22，

同理2PF+AB=27，

所以2h2+a22+a=27，

整理得h2=7－7a，

所以a=7－h27，

所以VP－ABCD=13abh=13×4－h22×7－h27h

=7427－h24－h2h

=742h5－11h3+28h.

因為a，bgt;0，所以h∈0，2，

令gh=h5－11h3+28h，h∈0，2，

則g′h=5h4－33h2+28=（5h2－28）（h2－1），

因為5h2－28lt;0，

所以當0lt;hlt;1時g′hgt;0，當1lt;hlt;2時g′hlt;0，

所以gh在0，1上單調遞增，在1，2上單調遞減，

所以當h=1時gh取得最大值，即ghmax=g1=18，

所以包裝盒容積的最大值為742×18=377cm3.

評析" 解答本題的關鍵是找到a，b，h的關系，得到VP－ABCD=742h5－11h3+28h，最后構造關于h的函數，再利用導數求出體積的最大值.

3" 利用導數求解成本最小問題

例3" 福州某公園有一個半圓形荷花池（如圖3所示），為了讓游客深入花叢中體驗荷花美景，公園管理處計劃在半圓形荷花池中設計棧道觀景臺P和棧道PA、PB、PC、AB，觀景臺P在半圓形的中軸線OC上（如圖，OC與直徑AB垂直，P與O，C不重合），通過棧道把荷花池連接起來，使人行其中有置身花海之感．已知AB=200米，∠PAB=θ，棧道總長度為L．

圖3

（1）求L關于θ的函數關系式；

（2）若棧道的造價為每米5000元，問：棧道PC長度是多少時，棧道的建設費用最小？并求出該最小值．

解析" （1）因為P在半圓形的中軸線OC上，OC⊥AB，AB=200米，∠PAB=θ，

所以PA=PB=100cosθ，

PO=100tanθ，

所以PC=OC－PO=100－100tanθ，

所以棧道總長度L=PA+PB+PC+AB=200cosθ－100tanθ+300，θ∈0，π4.

（2）由（1）得L′θ=1002sinθ－1cos2θ，

θ∈0，π4，

所以當0lt;θlt;π6時，L′θlt;0，L單調遞減，

當π6lt;θlt;π4時，L′θgt;0，L單調遞增，

所以當θ=π6，即PC=100－100tanπ6=1003－33時，棧道的建設費用最小，

建設費用最小值為

5×200cosπ6－100tanπ6+300=5003+1500千元.

評析" 根據三角函數的概念分別求PA，PB，PC的長度即可；求出Lθ的導函數，得到函數的單調性，進而即可求出最值.

4" 結語

導數是一個重要的數學工具，它在解決實際問題中具有廣泛的應用.通過本文的案例可以看出，只要把一個變量構造成另外一個變量的函數，通過求其導函數的方法可以解決很多實際問題.未來，相關工作者要繼續研究導數在解決實際問題中的新進展和突破，以期為相關領域的發展做出更多貢獻.

參考文獻：

［1］章建躍.通過直觀理解導數概念感悟極限思想運用導數研究函數性質解決實際問題［J］.數學通報，2021，60（10）：7-12+66.