平面向量問題中兩種技巧的應用

【摘要】平面向量問題具有很強的靈活性，學生在解題過程中往往需要花費大量時間進行推導，這時運用合適的方法可以讓學生在解題過程中更高效便捷.本文對兩種解決平面向量問題的技巧——極化恒等式和等和線定理進行闡述并實例展示.

【關鍵詞】平面向量；高中數學；解題技巧

平面向量是高中數學的重點知識，其問題類型常常與其他知識點相融合，這也使得平面向量問題靈活多變，解題方法多樣.為了更高效地解決平面向量問題，下面將列舉實例介紹極化恒等式和等和線定理的應用.

技巧1" 極化恒等式

結論" 如圖3，設a，b是平面內的兩個向量，則有a·b=14a+b2－a－b2 .

極化恒等式的幾何意義：在△OAB中，M是邊AB的中點，則OA·OB= OM2－MA2［2］.

在平面向量中經常會涉及關于數量積求值或者求最值的問題，除了常見的坐標法，在解決同起點向量數量積的復雜問題上，通過合理運用極化恒等式，實現向量與幾何之間的轉化，能使問題簡單化.

圖1

圖2

例1" （2017·新課標Ⅱ12題）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC上一點，則PA·PB+PC 的最小值是（" ）

解" 方法1（坐標法）

建立如圖2所示的坐標系，以BC的中點O為坐標原點，則A0，3，B－1，0，C1，0，

設Px，y，

則PA=－x，3－y，

PB=－1－x，－y，

PC=1－x，－y，

所以PA·PB+PC

=2x2+y－322－34，

所以當x=0，y=32，

PA·PB+PC取得最小值，為－32.

圖3

方法2" REF_Ref165928749＼r＼h＼*MERGEFORMAT（極化恒等式）

如圖3，作BC的中點M，AM的中點N，連接PA，PN，PM，

因為PB+PC=2PM，

所以PAPB+PC=2PA·PM，

因為PA·PM=PN2－NM2=PN2－34≥－34，

所以PAPB+PC=2PA·PM≥2×－34=－32.

技巧2" 等和線定理

結論" 如圖4，已知平面內有一組基底OA與OB，如果有A1B1∥AB，且A1B1=kAB，則在直線AB上有任意一點C，連接OC交直線A1B1于點M，設OM=λOA+μOB，則λ+μ=k（定值）［3］REF_Ref165931219＼r＼h＼*MERGEFORMAT.

等和線定理是三點共線定理的拓展，運用等和線定理可以高效解決向量系數的和、最值或取值范圍等問題［4］REF_Ref163946591＼r＼h.

圖4

例2" 在△ABC中，AB=3，BC=4，AB⊥BC，M是△ABC外接圓上一動點，若AM=λAB+μAC，則λ+μ的最大值為（" ）

解" 方法1（坐標法）

如圖5所示，建立以AC的中點為原點的平面直角坐標系，則△ABC外接圓的方程為x2+y2=522，

設M52cosθ，52sinθ，過點B作BD垂直于x軸.

因為sinA=45，cosA=35，AB=3，

所以BD=ABsinA=125，

AD=ABcosA=95，

則OD=AO－AD=710 ，

所以B－710，125 ，

因為A－52，0，C52，0，

所以AB=95，125，AC=5，0，

AM=52cosθ+52，52sinθ，

又因為AM=λAB+μAC ，

所以52cosθ+52，52sinθ

=95λ+5μ，125λ，

則52cosθ+52=95λ+5μ，

52sinθ=125λ ，

所以μ=12cosθ－38sinθ+12，

λ=2524sinθ ，

可得λ+μ=12cosθ+23sinθ+12=56sin（θ+φ）+12，

其中sinφ=35，cosφ=45 ，

所以當sinθ+φ=1時，λ+μ取得最大值為43.

圖5

圖6

方法2（等和線定理）

如圖6，由等和線定理可知，過點M作l平行于BC，過點O作OF∥BC，延長AB，AC交l于點D，E，此時λ+μ取得最大值，

因為AM=λAB+μAC，

且AB=kAD，AC=kAE，

則AM=kλAD+kμAE，kλ+μ=1，

所以λ+μ=1k=ADAB.

因為AC=5，所以OM=FD=52 ，

又因為AF=FB=32 ，

所以BD=1，AD=4 ，

所以λ+μ=1k=ADAB=43 .

結語

由上述實例可以發現，奔馳定理、極化恒等式和等和線定理適用于探究平面向量的不同問題類型，可以很好地提升解題效率，并且使學生的數學思維得到訓練，提升解決新問題的能力.

參考文獻：

［1］胡自力.向量中幾個重要結論及其應用［J］.科學咨詢（科技·管理），2019（02）：167.

［2］劉勝男.平面向量的極化恒等式解題研究［J］.中學數學，2023（23）：62-63.

［3］楊瑞強.巧用“等和線”妙解向量題［J］.中學數學教學，2022（02）：53-56.

［4］田子健.巧解平面向量的幾種技巧［J］.中學數學，2024（03）：82-83.