巧等價轉化，妙思維化歸

【摘要】函數中的雙變量任意性或存在性問題，是體現數學知識與思想方法交匯性與綜合性的一類熱點問題，成為考查“四基”的重點．本文結合不同類型的雙變量任意性或存在性問題，挖掘等價關系以及等價轉化的思想方法與技巧策略，歸納總結解題技巧，引領并指導數學教學與復習備考．

【關鍵詞】雙變量；高中數學；解題技巧

雙變量中的任意性或存在性問題，往往融入相應的函數與方程、導數、不等式以及常用邏輯用語等較多的數學基礎知識，以及轉化與化歸、邏輯推理等數學思想方法，是高考數學中的考查熱點之一，備受各方關注．解決此類問題的關鍵是將含有全稱量詞和存在量詞的條件，借助等價轉化，化歸為兩個函數值域之間的關系或兩個函數最值的大小比較等問題，進而加以合理分析與應用．

1" 形如“對任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f（x1）=g（x2）成立”的問題

對于“對任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f（x1）=g（x2）成立”的問題，等價于函數f（x）在定義域A上的值域是函數g（x）在定義域B上的值域的子集．其等價轉化的思想方法與技巧策略是：函數y=f（x）在區間A上的任意一個函數值都等于函數y=g（x）在區間B上的某一個函數值，即函數y=f（x）在區間A上的函數值都在函數y=g（x）在區間B上的值域之中．

例1" 已知冪函數f（x）=（a2－3）x12a2+a－2在區間0，+∞上單調遞減，函數g（x）=3x+m，對任意x1∈1，3，總存在x2∈［1，2］，使得f（x1）=g（x2）成立，則m的取值范圍為．

分析" 根據題設條件，先由冪函數的定義與單調性確定參數a的值，進而得以確定冪函數f（x）的解析式，由此確定兩相應函數的值域，利用雙變量關系加以等價變形確定兩函數值域的包含關系，轉化為不等式組的構建與求解來確定參數m的取值范圍．

解" 依題，由于f（x）=（a2－3）x12a2+a－2為冪函數，

則有a2－3=1，

解得a=±2，

又冪函數f（x）在區間0，+∞上單調遞減，

則有12a2+a－2lt;0，

則知a=－2滿足該不等式，

則有函數f（x）=x－2，

而函數f（x）在區間［1，3］上的值域為19，1，函數g（x）在區間［1，2］上的值域為［3+m，9+m］，

依題意可得19，1SymbolMC@［3+m，9+m］，

即3+m≤19，1≤9+m，

解得－8≤m≤－269，

所以m的取值范圍為－8，－269，

故填答案：－8，－269．

點評" 理解全稱量詞與存在量詞的含義是求解本題的關鍵，此類問題求解的策略是等價轉化為求值域，即函數f（x）在區間A上的值域是函數g（x）在區間B上的值域的子集，若改為“x1∈A，x2∈B，使得f（x1）=g（x2）成立”，則函數g（x）在區間B上的值域是函數f（x）在區間A上的值域的子集．

2" 形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f（x1）=g（x2）成立”的問題

對于“存在x1∈A及x2∈B，使得f（x1）=g（x2）成立”問題，等價于函數f（x）在區間A上的值域與函數g（x）在區間B上的值域的交集非空集．其等價轉化的思想方法與技巧策略是：函數y=f（x）在區間A上的某一個函數值等于函數y=g（x）在區間B上的某一個函數值，即兩個函數有相等的函數值．

例2" 已知函數f（x）=2x，函數g（x）=kx－2k+2（kgt;0），若存在x1∈0，12及x2∈0，12，使得f（x1）=g（x2）成立，則實數k的取值范圍為．

分析" 根據題設條件，分別確定兩個一次函數在區間0，12上的值域，結合題設的等價轉化知兩值域有交集，借助補集思想，先求解兩值域沒有交集的情況，再取補集來達到目的，實現問題的巧妙轉化與應用．

解" 依題，可得函數f（x）在0，12上的值域為0，1，g（x）在0，12上的值域為2－2k，2－32k，

結合題設條件可知以上兩個函數的兩個值域有公共部分，

若以上兩個函數f（x）與g（x）的兩個值域沒有交集，

可得2－2k＞1或2－32klt;0，

解得klt;12或kgt;43，

結合補集思想可知實數k的取值范圍為12，43，

故填答案：12，43．

點評" 本類問題的實質是“函數f（x）在區間A上的值域與函數g（x）在區間B上的值域的交集不為空集”，因而在實際解決此類問題時，往往可利用補集思想與技巧方法來分析與處理．

3" 形如“對任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f（x1）≤g（x2）成立”的問題

對于“對任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f（x1）≤g（x2）成立”問題，等價于f（x）max≤g（x）max．其等價轉化的思想方法與技巧策略是：函數y=f（x）在區間A上的任意一個函數值小于等于函數y=g（x）在區間B上的某一個函數值，但并不要求小于等于函數y=g（x）在區間B上的所有函數值．

例3" 已知函數f（x）=x+4x，g（x）=2x+a，若x1∈12，1，x2∈［2，3］，使得f（x1）≤g（x2），則實數a的取值范圍為．

分析" 根據題設條件，分別結合雙勾函數、指數函數在給定區間上的單調性確定對應的最大值，利用題設的等價轉化f（x）max≤g（x）max，構建對應的不等式，進而確定對應參數的取值范圍．

解" 依題，函數f（x）=x+4x在12，1上單調遞減，

則有f（x）max=f12=172，

函數g（x）=2x+a在區間2，3上單調遞增，

則有g（x）max=g（3）=8+a，

依題意知f（x）max≤g（x）max，

所以172≤8+a，

解得a≥12，

所以實數a的取值范圍為12，+∞，

故填答案：12，+∞．

點評" 解決此類問題時，正確理解并挖掘量詞的含義，將原不等式轉化為f（x）max≤g（x）max．在此基礎上，利用函數的單調性，求函數f（x）與g（x）的最大值，為問題的進一步分析與求解奠定基礎．

4" 結語

解決雙變量任意性或存在性問題，關鍵在于正確理解并掌握對應全稱量詞與存在量詞的含義與實質，將問題等價轉化為對應函數的函數值、值域關系、最值（最大值或最小值）的大小關系等，綜合函數與方程的關系，函數的基本性質（主要是單調性），不等式的性質與求解等來分析與解決問題，合理轉化，巧妙化歸．