巧用導數研究函數的最值

【摘要】導數在研究函數最值問題中扮演著重要角色，是數學分析和實際應用中的重要工具．本文運用導數對不含參函數與含參函數的最值進行較深入的探討，提出求解這類函數的最值問題的有效方法．

【關鍵詞】高中數學；導數；函數；最值

在數學分析和實際應用中，函數的最值問題是一個重要且常見的課題．導數的幾何意義是函數在某一點的斜率，通過求導數，可以直觀地理解函數的單調性和極值，進而找到函數的最大值或最小值．因此，利用導數研究函數最值具有重要意義．

1" 巧用導數和零點存在性定理求解最值與極值

例1" 設0lt;αlt;π，函數fx=sin（x+α）0lt;xlt;π滿足xfx≤αsin2α，則α落于區間（" ）

（A）0，12．""" （B）12，1．

（C）1，32．（D）32，2．

解析" 由題意，可知函數y=xfx在x∈0，π上，當x=α時取得最大值，

且y′=fx+xf′x=sin（x+α）+xcos（x+α），

由于α∈0，π，

則sin2α+αcos2α=0，

由sin0+0cos0=0，

sin1+12cos1gt;0，

sin2+cos2gt;0，

sin3+32cos3lt;0，

根據零點存在性定理，可知α∈1，32，選項（C）正確．

評析" 由題意，確定函數的最大值，根據最值和極值的關系，可得方程，利用零點存在性定理可得答案．

2" 用導數判斷不含參函數的最值問題

例2" 第一象限的點A在拋物線Γ1：y2=2x上，過點A作AB⊥y軸于點B，點P為AB的中點．

（1）求點P的運動軌跡曲線Γ2的方程；

（2）記Γ1，Γ2的焦點分別為F1、F2，則四邊形APF1F2的面積是否有最值？

解析" （1）設Ax0，y0，y0gt;0，

則有y20=2x0，其中B0，y0，

因為P是AB的中點，

所以Px02，y0，

則y20=2x0=4x02，

即y2P=4xP，yPgt;0，

故點P的運動軌跡曲線Γ2的方程為：

y2=4xygt;0．

（2）因為AP與F1F2平行，所以四邊形APF1F2是梯形，如圖1所示．

圖1

其上底為AP=12xA=12x0，

下底為F1F2=p12－p22=1－12=12，

高為yA=y0，

所以其面積S=y0212x0+12，又y20=2x0，

所以S=y02y204+12=18y30+y04y0gt;0，

令fy0=18y30+y04y0gt;0，

則f′y0=38y20+14gt;0，

所以fy0即S是關于y0的單調增函數，

又當y0→0時，S→0；

y0→+∞時，S→+∞，

所以S在y0∈0，+∞上沒有最值．

評析" 本題是圓錐曲線中最值問題的常見解法．若題目中的條件和結論能體現某種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值．根據四邊形APF1F2為梯形，表示出面積S=18y30+y04y0gt;0，求導得到單調性，可得S在y0∈0，+∞上沒有最值.

3" 用導數分析含參函數的最值

例3" 已知x∈0，+∞，使得fx=lnx+mx+n≥0成立，其中m，n為常數且mlt;0，則下列結論正確的是（" ）

（A）mn≤0．

（B）nlt;－1．

（C）n－1≥ln－m．

（D）n+1≤ln－m．

解析" 取m=－1e2，n=－12，

則fx=lnx－1e2x－12，

f′x=1x－1e2=e2－xe2x，

令f′x=e2－xe2x=0，解得：x=e2，

令f′xgt;0，解得：0lt;xlt;e2，

令f′xlt;0，解得：xgt;e2，

所以fx在0，e2上單調遞增，在e2，+∞上單調遞減，

所以fxmax=fe2=lne2－1－12=12gt;0，成立，

此時mn=12e2gt;0，n=－12gt;－1，故（A）（B）錯誤；

x∈0，+∞，使得fx=lnx+mx+n≥0成立，即證明fxmax≥0，

f′x=1x+m=1+mxx，mlt;0，

令f′x=0，解得：x=－1m，

令f′xgt;0，解得：0lt;xlt;－1m，

令f′xlt;0，解得：xgt;－1m，

所以fx在0，－1m上單調遞增，在－1m，+∞上單調遞減，

所以fxmax=f－1m=ln－1m－1+n≥0，

所以－ln－m－1+n≥0，所以n－1≥ln－m，故（C）正確，（D）錯誤.

評析" 解答本題的關鍵是將題意轉化為fxmax≥0，對fx求導，得到fx的單調性，即可求出fxmax，即可得證．

4" 結語

導數的幾何意義代表的是函數在某一點處的切線斜率，它反映了函數在該點附近的變化率．當導數等于零時，函數在該點處，無變化；當導數大于零時，函數在該點處單調遞增；當導數小于零時，函數在該點處單調遞減．此外，函數的極值點是導數為零或導數不存在的點，而極值則取決于函數的單調性．

通過以上討論和分析，可以看到導數在研究函數最值問題中的重要性．它不僅可以直觀地揭示函數的單調性和極值點，還可以幫助我們確定最大值和最小值的位置．因此，熟練掌握導數的性質和幾何意義，對于解決實際應用中的最值問題具有重要意義．

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