以“題”為鑒，依“標”為本

【摘要】縱觀近幾年的高考真題和模擬題，以三角函數為載體的含參不等式恒成立問題是一類熱點問題.此類問題綜合性強，題型復雜多樣，對學生的邏輯推理能力和代數運算能力都提出了較高要求，符合新課標的精神.本文結合例題，探討解答此類問題的三種方法，以供讀者參考.

【關鍵詞】三角函數；含參不等式；高中數學

方法1" 分離參數，避免分類

例1" 已知函數f（x）=2cosx+xsinx－x，當x∈π2，3π2時，f（x）≤ax恒成立，求實數a的取值范圍.

解" 因為f（x）≤ax在π2，3π2上恒成立，

所以分離參數得a≥2cosxx+sinx－1.

設h（x）=2cosxx+sinx－1，

則h′（x）=－2xsinx+（x2－2）cosxx2.

令g（x）=－2xsinx+（x2－2）cosx，

則g′（x）=－x2sinx，

所以函數g（x）在π2，π上單調遞減，在π，3π2上單調遞增.

又因為gπ2=－πlt;0，g（π）=2－π2lt;0，g3π2=3πgt;0，

所以g（x）在π，3π2上有唯一零點x0，

則當x∈π2，x0時，g（x）lt;0，即h′（x）lt;0，

所以h（x）在π2，x0上單調遞減，同理h（x）在x0，3π2上單調遞增.

又因為hπ2=0，

所以h（x0）lt;0，

又因為h3π2=－2lt;0，

所以當x∈π2，3π2時，h（x）≤0，故a≥0.

所以實數a的取值范圍是［0，+∞）.

評析" 利用參數分離的方法可以將含參不等式恒成立問題轉化為函數最值問題，避免對參數進行分類討論，根據分離后的不等式的形式構造相應的函數，利用導數研究函數的最值，通過邏輯推理得到參數的取值范圍.

方法2" 先求必要，再證充分

例2" 已知函數f（x）=acosx－x－π2sinx，x∈0，π2，f（x）≤0恒成立，求實數a的取值范圍.

解" 對函數f（x）求導，

得f′（x）=－（1+a）sinx+π2－xcosx.

由fπ2=0，

可得當x∈0，π2時，

若f（x）≤0，

則有f′π2≥0，即a≤－1.

當a≤－1，x∈0，π2時，

－（1+a）sinx≥0，π2－xcosx≥0，

因此f′（x）≥0，f（x）在0，π2上單調遞增，

所以f（x）≤fπ2=0，符合題意.

若agt;－1，令h（x）=f′（x），

則h′（x）=－（2+a）cosx－π2－xsinx.

當x∈0，π2時，h′（x）≤0，

所以h（x）在0，π2上單調遞減，

h（0）=π2，hπ2=－（1+a）lt;0，

因此h（x）在0，π2上存在唯一一個零點x0，

當x∈x0，π2時，h（x）lt;0，

即f′（x）lt;0，f（x）在x0，π2上單調遞減，f（x）gt;fπ2=0，與f（x）≤0矛盾.

綜上所述，a的取值范圍是（－∞，－1］.

評析" 新課標對中學生數學核心素養的要求之一是能夠融會貫通各部分的知識，并合理運用于解決實際問題，充分必要條件在導數壓軸題中的應用就是一類典型問題.從不等式恒成立問題的必要條件入手，找到對參數進行分類討論的標準，瞄準解題的方向.之后利用已知條件，對函數進行求導，根據三角函數取值的特殊性代入特殊值，得到不等式恒成立的必要條件，再證明充分性，便可以解決問題.

方法3" 反客為主，主次轉化

例3" 已知函數f（x）=ex+asinx－1（a∈R），若存在正實數m，對任意的x∈（0，m），都有f（x）lt;0，求實數a的取值范圍.

解" 因為f（0）=0，

所以符合題意的必要條件是f′（0）lt;0，

因為f′（x）=ex+acosx，

所以f′（0）=1+alt;0.

當alt;－1時，設h（x）=f′（x），

則h′（x）=ex－asinx.

令x∈0，π2，sinxgt;0，

所以h′（x）gt;ex+sinxgt;0，

則f′（x）在0，π2上單調遞增，而f′（0）=1+alt;0，f′π2=eπ2gt;0.

故存在唯一實數m∈0，π2，使得f′（m）=0，當x∈（0，m）時，f′（x）lt;0，即f（x）在（0，m）上單調遞減，

故當x∈（0，m）時，

f（x）lt;f（0）=0，因此alt;－1符合題意.

當a≥－1時，令x∈0，π2，則sinxgt;0，

所以f（x）≥ex－sinx－1.

令y=ex－sinx－1，

當x∈（0，+∞）時，y′=ex－cosxgt;0，

所以f（x）≥ex－sinx－1gt;e0－sin0－1=0，

故f（x）gt;0在0，π2上恒成立，

此時不存在正實數m，使得對任意的x∈（0，m）都有f（x）lt;0，因此a≥－1不符合題意.

綜上所述，a的取值范圍是（－∞，－1］.

評析" 辯證思想是數學核心素養中的重要思想之一，主元法就是辯證思想的一個體現.在多元函數問題中，變量和常量是相對的，不能因為慣性思維而固化了解題的思路.對于一些復雜的問題，轉換一下視角，選取其他的變量作為主元，有時能夠將動態問題轉化為靜態問題，將變量轉化為常量.

結語

解決問題的方法或許是多種多樣的，但是其中蘊含的數學思想是不變的.在平時的習題課教學中，教師要選擇歷年高考的經典問題，通過環環相扣、步步推進的講解方法，給予學生足夠的思考、討論和解決問題的空間，讓學生在解決問題的過程中感悟數學思想方法，建立思維模型，提高學生的核心素養.