構(gòu)建模塊系統(tǒng) 突破教學(xué)難點(diǎn)

數(shù)學(xué)概念比較抽象，知識點(diǎn)多，題目千變?nèi)f化，使得初中數(shù)學(xué)的教與學(xué)始終是難點(diǎn).針對問題，筆者嘗試尋找“生長原點(diǎn)”，充分梳理挖掘知識點(diǎn)、題目之間的本質(zhì)特征與內(nèi)在聯(lián)系，對教學(xué)進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計，創(chuàng)設(shè)情境明晰背景，循序漸進(jìn)重過程，以內(nèi)在關(guān)系為主線，以核心素養(yǎng)發(fā)展為目標(biāo)，構(gòu)建模塊系統(tǒng)，效果顯著.現(xiàn)例談個人的實(shí)踐做法與思考.

1 知識點(diǎn)教學(xué)中構(gòu)建知識模塊系統(tǒng)

選準(zhǔn)生長原點(diǎn)，設(shè)計系統(tǒng)化問題串，引領(lǐng)學(xué)生深度探究，以形成知識串、知識樹.讓每一個知識點(diǎn)來龍去脈清晰，有根源，有歸屬；讓知識點(diǎn)之間有關(guān)聯(lián)，有網(wǎng)絡(luò)，形成知識系統(tǒng).

例如：在學(xué)習(xí)三角形的中線時，筆者設(shè)計了如下問題串.

問題1 閱讀課本，說一說什么是三角形的中線？

問題2 動手畫一個△ABC，并畫出它的一條中線AD.

問題3 在圖1中，看到中線AD你能想到什么？

分析：問題1是讓學(xué)生閱讀文本，初步了解三角形中線.問題2是讓學(xué)生動手實(shí)踐，感受中線的特征.問題3是開放性問題，引領(lǐng)學(xué)生深度思考，引導(dǎo)學(xué)生把碎片化的小知識點(diǎn)生成一個較為完備的關(guān)于三角形中線的知識模塊系統(tǒng)，看到三角形中線就能想到中線平分線段、平分三角形的面積，想到一連串的結(jié)論，想到整個模塊系統(tǒng).形成發(fā)散、拓展的意識與習(xí)慣，提升解決復(fù)雜問題的能力.

再如：在學(xué)習(xí)特殊的平行四邊形時，筆者整合教材設(shè)計了如下問題串，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)化學(xué)習(xí).

問題1 畫一個平行四邊形，對照圖形說一說平行四邊形有哪些性質(zhì)？（有學(xué)生畫出的平行四邊形如圖2所示.）

問題2 你能將圖2中的平行四邊形改造成一個特殊的平行四邊形嗎？特殊在哪里？你還有不同的辦法嗎？

問題3 類比、對比平行四邊形，想一想你改造成的特殊四邊形有哪些性質(zhì)？

分析：問題1是回顧復(fù)習(xí)平行四邊形的概念與性質(zhì)，是構(gòu)建特殊平行四邊形這一知識模塊系統(tǒng)的原點(diǎn)，是為探究特殊平行四邊形的概念與性質(zhì)做好知識準(zhǔn)備.問題1始于動手操作，以做回顧，借助圖形直觀梳理表達(dá)，在表達(dá)中思考.問題2是開放性問題，是以問題1為原點(diǎn)驅(qū)動學(xué)生自主探究，在問題探究中深入，讓思維發(fā)展拓展.引導(dǎo)學(xué)生改造邊，使鄰邊相等而生成菱形；改造角，使一個角是直角而生成矩形；既改造邊又改造角，而生成正方形.問題3是引導(dǎo)學(xué)生類比、對比平行四邊形，根據(jù)邊、角的變化得到特殊平行四邊形的性質(zhì).最終生成由平行四邊形出發(fā)生成的特殊平行四邊形知識系統(tǒng)（如圖3）.使平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的內(nèi)在關(guān)系一目了然，讓數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化、模塊化、規(guī)律化，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)層次化、體系化，漸進(jìn)而深刻，簡捷而高效.

2 題目訓(xùn)練中構(gòu)建題組模塊系統(tǒng)

由基礎(chǔ)題目出發(fā)，抓住題目間的內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律，層層深入，環(huán)環(huán)相扣，系統(tǒng)地設(shè)計變式問題，讓題目漸進(jìn)變化，不斷發(fā)散拓展，構(gòu)建成題組模塊.讓學(xué)生做一組題，會一類題，建立起一個題組模塊系統(tǒng)，同時在不斷的轉(zhuǎn)化中解決問題，自然生成思想與方法模型.

例如：關(guān)于“兩點(diǎn)之間線段最短”的應(yīng)用，筆者設(shè)計了如下題組模塊.

問題1 如圖4所示，A，B是河流l異側(cè)的兩個村莊，現(xiàn)需在河流l上建一座水站P向兩個村莊供水，請問水站P建在哪兒可以使水站到兩個村莊之間鋪設(shè)的水管最短？

分析：問題1是基本問題，是題組的“原點(diǎn)”，是“兩點(diǎn)之間線段最短”的直接應(yīng)用.由于點(diǎn)A，B在l的異側(cè)，所以可以直接連接AB，找到水站P的位置，如圖5所示.

問題2 如圖6所示，A，B是河流l同側(cè)的兩個村莊，現(xiàn)需在河流l上建一座水站P向兩個村莊供水，請問水站P建在哪兒可以使水站到兩個村莊之間鋪設(shè)的水管最短？

分析：在問題1的基礎(chǔ)上提出問題2，唯一的變化是A，B兩點(diǎn)由異側(cè)變?yōu)橥瑐?cè)，漸進(jìn)的問題串，能啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生作點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)，把“同側(cè)”轉(zhuǎn)化為“異側(cè)”而突破難點(diǎn)，如圖7.

問題3 如圖8所示，點(diǎn)A，B是河流（兩岸m，n為直線且相互平行）異側(cè)的兩個村莊，且點(diǎn)A在河岸m上，現(xiàn)需在河上建一座橋（橋與河岸垂直），請問橋建在哪兒可以使兩個村莊之間的路徑最短？此問題與問題1有什么關(guān)系？

分析：問題3與問題1的變化之處是河流有了寬度，這樣過河走的路徑不再是河兩側(cè)的兩部分之和，而是變成了河兩岸的兩部分與橋的長度三部分之和，同時由于已知橋與河岸垂直，顯然不能再像問題1直接連線段，利用兩點(diǎn)之間線段最短.但河的兩岸平行，橋與河岸垂直，所以橋的長度為河寬是定值.就意味著無論橋修在哪，橋上距離始終不變，所以，只需上橋之前走的路與過橋之后走的路徑之和最短即可.于是可以把河壓縮成一條直線n，就轉(zhuǎn)化成問題1，只需過點(diǎn)A作直線n的垂線，找到垂足A′，線段AA′就是橋的位置.此時，上橋之前走的路徑變成零，所以上橋之前路徑與過橋之后走的路徑之和轉(zhuǎn)化為一條線段A′B，如圖9所示.如果不是從A點(diǎn)而是選任意一點(diǎn)作河岸的垂線建橋，則上橋前走的路徑與下橋后的路徑不能拼成一條直線段，是兩條線段拼成的折線，必不是最短.

問題4 如圖10所示，A，B是河流（兩岸m，n為直線且相互平行）異側(cè)的兩個村莊，現(xiàn)需在河上建一座橋（橋與河岸垂直），請問橋建在哪兒可以使兩個村莊之間的路程最短？

分析：此問題是問題3的變式，變化之處是A村莊不在河岸上，所以只需平移河流讓村莊A在河岸上，就轉(zhuǎn)化成了問題3.易得橋應(yīng)建在CD處，最短路徑是ACDB，如圖11.

問題5 如圖12所示，在邊長為5 cm正方體的一個頂點(diǎn)A處有一只小螞蟻，它要爬到頂點(diǎn)C處，它如何爬行距離最短？最短距離是多少？

分析：此問題與前面問題的主要區(qū)別是求不同平面上兩點(diǎn)間的距離，放到題組模塊中，學(xué)生很容易想到展開轉(zhuǎn)化成平面問題來解決，完成從平面到空間的推進(jìn)，如圖13.

問題6 如圖14所示，長、寬、高分別是2 cm，1 cm，4 cm的長方體頂點(diǎn)A處有一只小螞蟻，它要爬到頂點(diǎn)C處，如何爬行距離最短？最短距離是多少？

問題7 如圖18所示，在一個圓柱石凳上，一只螞蟻在A處，它想從A處爬向B處吃食物，想一想，螞蟻怎么走最近？

①如果圓柱的高是10，底面直徑是2，那么螞蟻?zhàn)哌^的最短距離是多少？

②如果圓柱的高是1，底面直徑是10，那么螞蟻?zhàn)哌^的最短距離是多少？

問題8 如圖21，現(xiàn)有一個圓柱形玻璃杯，其高為12 cm，底面周長為18 cm，在杯內(nèi)離杯底4 cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，一只螞蟻在杯外壁，離杯上沿4 cm

與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，那么螞蟻到達(dá)蜂蜜處的最短距離為多少cm？

分析：此問題是在問題7的基礎(chǔ)上的又一次拓展，其變化之處是螞蟻與蜂蜜分別在杯子的內(nèi)、外兩側(cè).這就需要作對稱點(diǎn)，轉(zhuǎn)化成圓柱同側(cè)問題.如圖22，將圓柱側(cè)面展開，過點(diǎn)C作CQ⊥EF于點(diǎn)Q，作點(diǎn)A關(guān)于EH的對稱點(diǎn)A′，連接A′C，交EH于點(diǎn)P，連接AP，則AP+PC就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離.求出A′Q，CQ，在Rt△A′QC中，根據(jù)勾股定理求出A′C即可.易得所求最短距離為15 cm.

從問題1到問題8，圍繞”兩點(diǎn)之間線段最短”這一出發(fā)點(diǎn)，從同一平面內(nèi)的異側(cè)到同側(cè)，從河流的不計寬度到有寬度，從平面再到空間，從正方體到長方體，從“瘦圓柱”到“胖圓柱”，從圓柱的同側(cè)到異側(cè)，層層深入，不斷變化，從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般，漸進(jìn)生成兩點(diǎn)之間線段最短的模塊系統(tǒng)，讓學(xué)生在探究中建立起解決兩點(diǎn)之間線段最短的思想方法.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)中構(gòu)建模塊系統(tǒng)，能使抽象雜亂的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化，能使解決問題的方法模型化，能使探究的過程充滿故事情節(jié)，不僅能突破初中數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)，還能讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)之美，享受探究過程的曲折動人，讓數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)充滿情趣.