核心素養視角下的創新課堂教學研究

【摘要】立足創新課堂，本文精心設計并展示“黃金分割在相似圖形中的應用”這一教學課.探討黃金分割在創新課堂中的教學應用，通過生活實例和藝術應用，培養學生的抽象能力和思維能力.通過小組交流、計算實際建筑比例等形式，讓學生深入理解黃金分割的概念及黃金比的得出.希望可以為數學教學創新提供借鑒，實現德育、智育、美育的融合.

【關鍵詞】核心素養；黃金分割；課堂教學

黃金分割是一個古老的數學方法，它的出現不僅在數學上作出了重大的貢獻，在人類的生活中也有著極其重要的作用.因為黃金分割地位特殊，它作為重要知識在情境問題學習中時常出現.“黃金分割”是浙教版《義務教育教科書·數學》九年級上冊第四章“相似三角形”中第一節課第三課時，此內容屬于線段成比例的應用知識，又與后面“相似三角

形的性質、判定”密切相關，故筆者考慮把此新課移到“相似三角形判定”這節課后，直接作為相似三角形的應用.筆者認為此舉借鑒大單元整體教學模式，主要目的在于：整合三維目標，促進學生知識理解－知識遷移－知識創新的轉變.

因此，本課教學目標的設定旨在：

（1）通過觀看建筑及藝術領域的實例，引導學生領悟黃金分割的概念并體會其在文化中的獨特價值；

（2）引出黃金三角形、黃金矩形等知識，并欣賞黃金分割的藝術美；

（3）在實際操作中鼓勵學生積極思考、與同伴交流，以此深化對黃金分割知識在解決幾何問題中的實際應用的理解，發展學生的實踐能力和培養學生的應用意識.

（4）利用黃金分割知識解決生活中實際問題，讓黃金分割、黃金比的美在生活中綻放.

在設計創新課堂的過程中，筆者遵循“生活·數學—活動·思考—表達·應用”的教學路徑，旨在通過學生觸手可及的生活實例創設富有啟發性的數學問題情境，在輕松愉悅的氛圍中引導他們逐步深入探索問題，讓學生形成對數學的好奇心與想象力，主動參與數學探究活動，發展創新意識.讓學生在解決問題的過程中能夠積極思考，主動尋求答案，進而自主獲取數學知識，培養學生重論據、有條理的思維品質，同時培養學生的科學態度與理性精神.小組合作的形式，不僅增強了學生的團隊合作精神，還極大地促進了他們數學表達與交流能力的提升，發展了他們的應用意識與實踐能力.

1滲透創新意識，拓寬思維渠道

教學活動1審美中的問題發現

教師在授課過程中，首先利用圖片欣賞引導學生一同欣賞上海東方明珠電視塔與多倫多塔這兩座享譽世界的建筑杰作.在欣賞這兩座建筑壯麗景觀的同時，我們提出以下問題.

問題1在觀察這兩座建筑并深入探索的過程中，可以發現一個有趣的規律：當我們把圖片中的兩座建筑物按一定比例縮小，使它們變成相同高度后，它們各自的觀景位置，竟處于整體結構的同一高度，這是什么原因呢？

評析基于學生對這些建筑美的直觀感受，引導他們從審美體驗中發現問題，這不僅能夠有效聚焦學生的注意力，更能點燃他們內心的好奇之火，激發他們強烈的求知欲和探索精神.

教學活動2審美中的概念構建

如圖1所示，為了更深入地研究分析，可以將東方明珠電視塔的高度設定為線段AB，并將觀景平臺抽象為線段上的點C.這一設定使得線段AB被點C分為AC和BC兩段.觀景平臺C的確切位置，可通過線段AC與AB（或線段BC與整體AC）之間的長度比例來精確標識.根據我們的資料查閱，東方明珠電視塔的總高度近似為468米，觀景平臺C距離地面的高度，即AC的長度約為289.3米，而距離塔頂的高度，即BC的長度約為178.7米.接下來，將計算BC與AC的比值BCAC以及AC與AB的比值ACAB，并保留結果至小數點后三位，以更精確地描述觀景平臺C在線段AB上的位置（計算過程中可以借助計算器進行輔助）.

問題2通過先前的計算，你是否發現了一些規律？現在，我們將目光轉向多倫多塔（如圖2），觀察其是否也呈現出類似的特征.接著基于學生的計算結果，可以歸納得出一個重要的數學概念：黃金分割.

由兩個建筑物抽象出幾何圖形，如圖3所示，當點C將線段AB分割為兩個子線段AC和BC時，若BCAC的比值等于ACAB的比值，我們稱線段AB被點C黃金分割.此情境下，點C為線段AB的黃金分割點.這里，我們定義AC與AB之間的比值作為黃金比.值得強調的是，任意線段上實際上都存在兩個這樣的點，它們各自滿足黃金分割的定義.

評析黃金分割的定義不僅構成了本節課的核心教學內容，同時亦是教學中的重難點所在.在本節課中通過思考并抽象出圖形、精確定位和數據計算，會發現兩座著名建筑中共同的美學規律：黃金分割.

教學活動3探尋美的本質屬性

問題3我們在研究兩座建筑物的時候，查閱資料后得到的各項數據，通過計算得出黃金比的近似數值約為0.618.再進一步發問，黃金比的精確值是多少，該如何得到？

于是在教師的引導下，學生得出獨立思考后的成果，展開了小組合作、共同探討并整合了各自的發現.此時，教師積極巡視并融入學生的討論中，不僅為學生提供了思路上的啟發，還針對他們的討論結果給予了專業的評價和指導.

在之后的小組展示環節中，學生代表詳細介紹了兩種計算黃金比的方法.

方法1如圖4所示，假定點C在線段AB上，并且它滿足黃金分割的比例關系，根據黃金分割的定義，有BCAC=ACAB.設線段AB的長度為a，AC的長度為x，則BC的長度為a-x.代入上述等式，得到一個關于x的方程：x2=a（a-x）.解這個方程，得到兩個解，其中x1=－1+52a是符合實際情況的解（因為線段長度不能為負），而x2=－1－52a則不符合實際情況，因此被舍去.這樣，得到了黃金比的精確值，即ACAB=－1+52.

方法2仍如圖4為例，但為了簡化計算，設線段AB的長度為1（單位長度）.根據黃金分割的定義就可以得到一個關于x的方程：x2=1-x.在解這個方程時就可以得到黃金比的精確值，即方程的正根.這種方法更加直觀和簡潔，適用于快速求解黃金比.

問題4請大家仔細審視上述兩種方法，是否存在潛在的錯誤或不足之處？

評析盡管方法1和方法2在表現形式上各有差異，但它們的核心精髓是相通的，都基于黃金分割的原始定義，借助數形結合來解決問題.然而，在求解黃金比的過程中，有幾點需要引起我們特別的關注：

（1）當求解黃金比時，其關鍵在于兩條線段間比值的確定.簡化計算過程，可以選擇將線段AB視作一個統一的整體，設定其長度為a，或直接將其長度設置為單元“1”.

（2）鑒于線段的長度性質，它必須是一個正根，負根是不符合實際情況的，舍去.

（3）“回歸定義”是解決問題的關鍵所在，這一策略能為學生提供思考問題的起點和解決問題的途徑.

從思考實際問題－抽象數學問題－分析、解決數學問題，從觀察實物－抽象數學圖形－數形結合得到黃金比，這種獲取黃金比的精確數值的方式有助于學生深化對黃金分割概念的理解，真切感受到數學在揭示美的本質方面的強大力量，培養學生的抽象能力和創新意識.

2提供創新空間，誘發思維靈感

教學活動4應用美中深化概念.

問題5如圖5，△ABC中，AB＞AC，過點C引出一條射線CD，交邊AB于點D（如圖6），使得△ACD∽△ABC，（在橫線處添加一條件），使得點D是線段AB的黃金分割點.

在小組討論后，學生得出結論，他們建議添加“AC=BD”這一條件.利用相似三角形的性質定理，他們提出了“ADBD=BDAB”這一結論，再添加“AC=BD”這一條件，使比例式“ADAC=ACAB”轉化為“ADBD=BDAB”，有黃金分割及黃金分割點的定義來解決此問題.

評析通過問題5讓學生進一步理解黃金分割的定義，進一步對黃金分割有新的認識和感悟.此問引導學生繼續探究黃金分割，促進學生理解和掌握有關相似三角形及黃金分割、黃金比的基礎知識和基本技能.

問題6繼續探究，如圖6，在問題5的條件下，若AB=BC，

（1）求證CD=AC；

（2）求∠B的度數.

評析通過問題6，學生完成了相似三角形判定、性質及黃金分割相關知識的綜合，得出最后的結果后發現有三個等腰三角形，分別是頂角是36°和108°的等腰三角形，且發現這些等腰三角形的腰長與底邊長比為黃金比或底邊長與腰長比為黃金比.

歸納小結

新知1黃金三角形，歸納特征：（1）頂角是36°和108°的等腰三角形（如圖6）；（2）等腰三角形的腰長與底邊長比為黃金比或底邊長與腰長比為黃金比.

新知2點C是線段AB的黃金分割點，基于這一特性，我們構造一個矩形，其中線段AB作為矩形的長，AC作為矩形的寬.這樣的矩形，其寬與長的比值恰好等于黃金比，我們稱之為黃金矩形，如圖7.

教學活動5鞏固美中深化訓練

練習1如圖7，矩形為黃金矩形，點C是邊AB的黃金分割點，若BC=5-1，則矩形的面積為多少？

練習2如圖8，在正方形ABCD內，設點E為線段AD的中點，并連接EB.接著，將DA延長至F點，確保EF的長度與EB相等.之后以AF為邊長來構造一個新的正方形AFGH.現在目標是證明H點是線段AB上的一個黃金分割點，即它滿足黃金分割的特定幾何屬性.

練習3如圖9，以點O為圓心，AB為直徑的圓形紙片．點C在圓O上，將該圓形紙片沿直線CO對折，點B落在圓O上的點D處（不與點A重合），連接CB，CD，AD．設CD與直徑AB交于點E．若AD=ED，

（1）求∠B的度數；

（2）得出∠B=36°后，圖中有黃金三角形嗎？若有，請說出一個，并直接寫出CECB的值；

（3）若CB=2，則求DE的長；

（4）直接寫出ADCB的值.

評析以練習3為例，（1）求出∠B=36°，考查學生的軸對稱性及圓的基本性質、方程思想，鞏固了學生已學知識，方便后期學習；（2）當∠B=36°時，從而算出圖中所有角的度數，學生不難想到跟已學知識黃金三角形密切相關，結合問題可以找出圖中所有的黃金三角形，這個問題上學生可以通過獨立思考并完成CB值的求解；（3）由CECB的值結合條件CB=2，能求出CE=OC=OA=5-1，因為△COE是黃金三角形，根據OC=OA=5-1，能算出OE、AE的值，結合△ADE是黃金三角形，求出DE的值.此題考查黃金三角形的判定及性質.

學生在解題時解法會比較單一，教師要進行解題后的拓展與引導，幫助學生多角度分析探討解題途徑，讓學生形成系統的解決問題的方法，引導他們將線段、角等元素集中起來，為解題創造條件，從而提高學生分析問題、解決問題的能力.解決問題的過程是對數學知識的運用、學習經驗的積累、思想方法的滲透，這一過程能夠有效提升學生的邏輯推理能力.

教學活動6升華美中歸納小結

在學生各自分享自己的觀點和收獲后，教師進行小結：通過對黃金分割、黃金比等相關知識的學習，讓學生體會到生活美、建筑美的背后隱藏著數學規律.

例如從頂角36°的黃金△ABC出發，可以作出一個個黃金△DCB、△DBE…….以點B為圓心、以BA為半徑作圓弧AO，以點D為圓心、以DC為半徑畫圓弧AC……，以這樣的規律進行作圖，把這些圓弧連結得到一條曲線叫作黃金三角形的黃金螺線（圖10）.

又如，畫家達·芬奇的名作《蒙娜麗莎》中也發現了黃金分割、黃金比.由圖畫抽象出的黃金矩形內部截取一個小正方形后，又得到一個小黃金矩形，再進行重復操作，會得到一個個更小的黃金矩形……利用截取得到的這些小正方形，作出它們的四分之一圓弧，把這些圓弧連結得到的一條曲線叫做矩形的黃金螺線（圖11）.

再如，如圖12中的建筑物為古希臘時期的巴臺農神廟，從正面看，抽象神廟的外觀圖形就是黃金矩形，世人稱它是完美的建筑物之一.

這樣的教學方式有助于學生深刻理解黃金分割、黃金比等相關的核心內容，并在實際應用中感受其美學價值，讓學生體會和運用數學的思想與方法.在獲得學習活動經驗的同時，使學生獲得“四基、三會”，激發學生學習數學的興趣，培養學生的核心素養.

3增強創新活力，培養多向思維

項目化作業在交流美中提升發展

作業1在人體美學的研究中，當肚臍至足底的長度與整體身高達到黃金比例時，人們往往會感受到一種和諧的勻稱感.為媽媽挑選一雙高跟鞋，使媽媽穿上后能達到最佳比例（黃金比）（過程填在空白處）.

作業2圍繞問題“請同學們看一看老師在講臺上站哪里，你們看著最舒服？”測量教室講臺大小，計算教師上課時的站位（過程填在空白處）.

作業3（1）嘗試尺規作圖線段的黃金分割點；（2）怎樣用尺規作圖法畫正五角星？溫馨提醒：借助網絡自行完成或小組交流后共同完成（過程填在空白處）.

（1）以小組為單位，依靠父母或者借助網絡尋找生活中的黃金分割及黃金比；

（2）完成一份關于本節課學習情況的學習小結報告.

評析在深入理解并應用黃金分割的知識后，學生可以創造性地設計一系列多元化的作業，以此來幫助學生對黃金分割及相關知識的理解、掌握和應用.例如，通過鼓勵學生去尋找生活中黃金分割的實例，學生可以借助觀察和查閱資料的方式，發現黃金分割知識的廣泛應用，從而進一步領略數學的獨特魅力.第一個作業，不僅能讓學生進一步掌握黃金分割及黃金比的定義與應用，而且還能拉近學生與家長之間的親情關系；第二、三個作業屬于項目化學習活動，能激發學生學習數學的興趣及探究新知的欲望，幫助學生突破傳統教學的限制，豐富學習資源及活動類型；第四個形式，從評價方式來看，學生的作業不要拘泥于常規作業，學生的活動報告就是其中的一種形式，考查了學生對黃金分割、黃金比的理解，用數學思想分析、解決實際問題的能力，以及由現實問題抽象出數學問題的能力.

4課堂反思鞏固知識，提升創新思維能力

此課借鑒大單元整體教學模式，改變授課順序及位置，創新學生的思維模式，幫助學生走進生活、探究生活中的數學，從而促進數學“四基”的培養，發展學生的核心素養.

通過六個活動和多個項目化作業來開展教學和學習，展現了數學之美，實現了文化與核心素養的融合，促進了德育、智育、美育的統一.

（1）數學之美：探索數學與文化的傳承.以“美”為媒介的設計思路為課堂注入新活力.教師引導學生用數學眼光探尋美的奧秘，將教材內容轉化為生活情境.本節課除了讓學生領略了數學與美的交織以外，還深入探究了數學之“真”，通過數形結合、方程思想，學生計算出黃金比，并在小組交流合作中得到了驗證.這一設計思路不僅提升了學生的數學素養，也讓他們更加熱愛數學，發現數學中的美.

學生完成項目化學習作業后通過交流探討，把黃金分割及黃金比等相關知識學以致用.通過繪制五角星，將愛國主義教育巧妙地融入了課程之中，將整個教學過程推向了高潮.這些經歷不僅激發了學生深入探究數學的興趣，還使他們深刻認識到生活中的美與黃金分割的緊密聯系，從而體會到了數學在現實生活中的應用價值.

（2）數學文化之旅：探索黃金分割與文化的傳承.數學，作為人類文明的核心組成部分，其本質體現為一種深厚的文化.數學以其獨特的藝術審美和深厚的文化內涵，吸引著人們的目光，其中黃金分割作為幾何學的瑰寶之一，其所承載的數學文化既豐富多元又具有深遠的現實意義.

本節課的數學文化主線貫穿始終，展現其廣博與深邃.從黃金分割的概念出發，逐步探討黃金三角形、矩形，再到黃金螺線、蒙娜麗莎畫作及巴臺農神廟的建筑美學，直至愛國情懷的五角星構造，橫跨歷史與現代，彰顯數學獨特魅力.從呈現形式上分析，本次課程設計兼具多樣性與創新性，有時通過數學文化引導數學問題，有時在解題中揭示文化內涵，有時則利用文化引發新思考，使學生深刻感受到數學的文化魅力和深遠意義，使學習變得既有趣又富有深度.

（3）數學之韻：核心素養與魅力的交織.本節課安排了六個活動及多個項目化作業，旨在全面培養學生的數學核心素養.這些活動不僅幫助學生探索黃金分割、黃金比等相關知識，還引導他們用數學眼光觀察現實世界，提升數學抽象能力和直觀想象，幫助學生理解、掌握、應用黃金比、黃金三角形等相關知識，培養他們用數學思維和數學語言來思考、表達現實世界.

5結語

這些學習活動均充分考慮了學生的發展需求，緊密圍繞教學目標及教學重難點，強調如何探索數學知識及如何，有效促進學生數學思維能力的發展.學生核心素養的培養是教育發展的關鍵，也是為培養學生能成為適應社會、為社會創造貢獻的人才.

參考文獻：

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