合理性反思：在數學解題中發展高階思維

摘"要：解題后的合理性反思可以提高創造性思維，發展高階思維，提高數學核心素養.本文結合教學實踐，提出如下用合理性反思發展高階思維的策略：反思解題方法，優化解題思路；反思問題本質，實現融會貫通；反思易犯錯誤，突破思維定式；反思拓展價值，培養創新能力.

關鍵詞：合理性反思；數學解題；高階思維

當下，不少學生常常由于解題習慣在解題后不進行反思，也有一些學生由于課業負擔重在解題后沒有時間反思，長此以往，使得思維無法融會貫通，更談不上高階思維的培養與發展.大量教學實踐表明，解題后的合理性反思可以提高創造性思維，發展高階思維，提高數學核心素養.那么，該從何處著手？又該如何展開解題后的合理性反思呢？筆者認為，在解題后可以反思題目的意思，促進對題意的更深理解；可以反思解題中的知識點和思維方法，為后續的舉一反三做準備；可以反思技能和技巧的運用，以提升自身的解題能力.［1］下面，筆者結合自身的教學實踐展開分析，提出通過解題后的反思來培養和發展學生高階思維的策略.

1"反思解題方法，優化解題思路

在數學解題中，一道題往往有多種不同的解法，部分學生可以從自身的思維水平和認識水平出發展開思考，生成不同的解法.若能在較短的時間內選擇最簡潔的方法解決問題，想必對數學學習具有極大的促進作用.基于此，學生的題后反思，需要針對解題方法，去反思自己的思路與別人的思路有何不同，誰的更簡潔，為什么沒有想到這樣簡潔的方法，該從何處著手改進等.倘若在解題后能及時反思解題方法，則可以打開思維通道，獲取和掌握更多的解法，從而盤活數學，在后續的解題中游刃有余.

例題"如圖1所示，小長方形紙片的長和寬分別為a和b，且agt;b.用7張這樣的紙片按照圖2所示的方法不重疊地放在長方形ABCD內，并用陰影表示出未被覆蓋部分（2個大長方形）.設2個陰影部分的面積之差是S（左上角的面積大于右下角），隨著BC長度的變化，在擺放位置不變的情況下S始終不變，那么a和b間應滿足什么數量關系？

分析：此類問題常常會令學生找不到解決問題的路徑，從而花費過多的時間與精力，盡管最終能解決問題，但也會由于花費時間過長而影響整個練習或考試.面對這樣的問題，也有學生能在較短時間內探尋到解題思路，即通過題中的關鍵句“隨著BC長度的變化，在擺放位置不變的情況下S始終不變”，可以發現其本質上類似于“（x+1）（2x2+ax+1）的計算結果中不含x2”，也就是說，只需展開這個多項式乘多項式的式子，并令x2項的系數為0即可.有了這樣的思路，問題解決起來就簡單多了.可以將S用含BC的代數式表示出來，假設左上角的面積為S1，右下角的面積為S2，根據題意有S=S1-S2=（BC·3b-3ab）-（BC·a-4ab）.因為無論BC如何變化，S都無變化，則有3b-a=0，則a=3b，從而使問題獲解.

事實上，對于本題的解答而言，想要優化解法，需從分析和思考題意出發，通過知識的類比探尋最優解法，如此才能讓數學解題輕松且流暢，同時發展數學高階思維能力.

2"反思問題本質，實現融會貫通

問題并非孤立存在的，有些看似毫無關聯的問題實則有著千絲萬縷的聯系.學生在解題的過程中就不能就題論題，而需在解題后反思問題的本質，探尋問題間的本質聯系，多質疑、多反思，則可以通過知識的溝通和整合豐富認知結構.基于此，學生想要在數學解題的道路上實現“既見樹木，又見森林”，需在解題后適時反思題目的本質，這樣一來，不僅可以掌握一道題的解題方法，還能學會解一類題，真正意義上實現融會貫通、舉一反三，促進高階思維能力的發展.

例題"往返于甲、乙兩城的火車共有4個停靠點，則該火車一共有多少種不同的票價？該火車上需準備多少種車票？

分析：解決本題，問題不大，不少學生能在較短時間內給出結果，但極少有學生對這樣簡單的題目展開反思.事實上，反思這道例題的本質，我們不難發現，該題所考查的是線段的定義，即隨著路程的長短變化票價變少或變多，所以此處的票價也就是線段數.在學生能準確描述問題本質之后，教師不妨以追問的方式引導學生試著提出類似的問題，使學生在深度思考之后能提出“如圖3所示，線段AD上有B、C兩點，則圖中共有哪幾條線段”這樣的觸及核心的問題，也能提出“如圖4所示，你能數出圖中一共有多少個三角形嗎？試著表示出來”這樣的變式問題.顯然，經過對問題本質的思考，學生在解決這些問題時信心十足，大大提高了解題的質量.

問題拋出的形式千變萬化，只有在解題后探尋其本質，才能真正意義上讓學生掀開問題形式的面紗，觸及問題的本質，以深化對知識與方法的領悟，從而提高自身的解題能力.

3"反思易犯錯誤，突破思維定式

經歷過考試的學生不難發現，考試中的題目大多是平時練過的習題，但在考試中卻還是模模糊糊，事實上這是因為并沒有真正弄懂問題，或雖懂卻不熟，又或是當時懂卻沒有總結提升.針對這些問題，筆者認為在解題的過程中反思易錯之處，只有不斷質疑和反思才能突破思維定式，從而提高解題速度和能力，自然而然地發展創新思維.

例題"學校某社團中女生人數占全團人數的一半，若減少6個女生，則女生人數就占全團人數的13，試求該社團的人數.

分析：學生在思考后易形成如下錯解，即設該社團有x人，根據題意可得12x-6=13x，解得x=36.錯誤已然形成，但由于題目在設計上的巧妙使得學生不易發現錯誤，原因在于錯解后的答案依舊是一個正整數.教師引導學生合理性反思，不難發現錯誤的根源在于思維定式影響下，學生僅僅感知到了女生的減少，而沒有意識到整個社團人數也隨之減少.經過深度反思，學生切實明晰了該類問題的解題要義，從而列出正確的等式.

這樣的“犯錯—反思—糾錯”的過程不僅使得問題得以修正，更重要的是對思維定式的一次警醒，使學生在反思中厘清，在糾錯中提升，提高了自己的反思能力和歸納能力.

4"反思拓展價值，培養創新能力

倘若在解題完成后僅僅是就題論題式反思，那么這樣的反思是淺顯的、浮于表面的.［2］基于此，學生應在解題之后反思題目的拓展價值，多多反思“本題可以一題多解嗎？解法間是否存在某種本質聯系？若改變某個條件是否能通過一樣的解題思路得到相同結論？若結論不相同，又與原結論有某種聯系嗎？本題可以拓展、引申或推廣嗎”.只有經歷這樣的反思過程，才能挖掘其拓展價值，深化思維的同時，培養和發展創新能力，提高解題能力.

例題"如圖5所示，已知△ABC中，∠B、∠C的角平分線交于點P.

（1）若有∠ABC+∠ACB=100°，則∠BPC="""".

（2）若有∠A=80°，則∠BPC="""".

（3）試探索∠A和∠BPC間的關系.

分析：在思考后，學生能利用三角形內角和與角平分線的性質直接求解，也能作輔助線，并先用三角形外角和性質，再利用角平分線性質求解.進一步地，學生深度反思本題的拓展價值，并提出變式問題“如圖6所示，BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，試探索∠A和∠P間的數量關系”和“如圖7所示，BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，試探索∠A和∠P間的數量關系”.

這樣的變式練習，讓學生體驗到數學解題的快樂，同時使學生的思維得以發散，并水到渠成地形成問題意識.

5"結語

合理性反思對于數學解題而言十分重要，不僅可以切實提升數學學習能力，還能在反復錘煉中發展思維能力，使學生的思維逐步走向高階.數學教學要掌握學生的心理之門和思維之道，用適切的方式引導學生展開合理性反思，讓學生不斷經歷反思的過程，培養高階思維能力，使核心素養的培養落到實處.

參考文獻

［1］秦明華，賓秀芳.淺談高中數學解題能力的培養［J］.四川教育學院學報，2002（6）：29-33.

［2］陳明儒.追根究因 方能明理——一道中考選擇題的錯因分析［J］.中學數學，2014（8）：90-91.