初高融通：雙勾函數對比教學實踐與反思

摘"要：同課異構授課對象通常指同一學段的學生，但本文中“y=x+1x圖象與性質”同課異構授課的對象是初三學生和高一學生.本文從情境引入、列表畫圖、性質探究、性質應用四個方面進行教學實錄對比，提出直覺先行、推理斷后，三放關系展示思維，融通教學服務選才觀點.

關鍵詞：初高融通；雙勾函數；對比教學

隨著教育改革的深入，對學生的綜合素質要求越來越高.傳統(tǒng)的教學模式往往將初中和高中數學割裂開來，導致學生在學習過程中難以形成系統(tǒng)的數學思維和解決問題的能力.為了打破這種界限，促進學生數學知識的連貫性和思維的深刻性.2024年9月19日浙江省淳安縣教育發(fā)展研究中心舉辦了初高學段融通培訓活動，活動分融通課堂、課堂點評、融通講座三個環(huán)節(jié)，現將兩節(jié)課實錄、對比及反思以饗讀者.

融通課堂教學內容是人教A版《普通高中教科書數學必修第一冊》第92頁“探究函數y=x+1x的圖象與性質”，初中課堂（以下記為課堂1）由鄭老師執(zhí)教，教學對象是初三學生；高中課堂（以下記為課堂2）由嚴老師執(zhí)教，教學對象是高一學生.

1"初中課堂回顧

1.1"回顧已學，引入問題

回顧：我們已經學習了哪些類型的函數？函數學習中我們經歷了哪些過程？

引入：張老板經營著一個大型蔬菜種植基地，根據市場行情決定把一個面積為1平方千米的矩形大棚進行改造，大棚相鄰兩邊利用已有的圍墻，為了更加美觀，大棚其余兩邊準備用籬笆圍成，為節(jié)約所用籬笆的成本，求所用籬笆的最短長度（只從數學角度解決問題，不考慮其他因素）.

1.2"開展活動，實踐探究

活動1：寫出你對“求所用籬笆的最短長度”這個問題解決的大致步驟.

活動2：根據已學函數的經驗，畫出函數y=x+1x的圖象.

列表：完成表1內容的填寫.

描點：在平面直角坐標系中，以自變量x的取值為橫坐標，以y=x+1x相應的函數值為縱坐標，描出相應的點.

活動3：說說看，你所畫函數的圖象有什么特征？

活動4：結合你所畫函數的圖象，試著探究此函數的性質.

活動5：解決“求所用籬笆的最短長度”問題.

1.3"反思拓展，應用成果

根據函數y=x+1x的圖象與性質，完成以下探究.

探究1"已知ylt;2，求x的取值范圍.

探究2"若（x1，y1），（x2，y2）是該函數圖象上的兩個不同的點，當x1＞x2＞1時，比較y1，y2的大小.

1.4"梳理概括，形成體系

引導學生思考“通過本節(jié)課的學習，有什么新的收獲？印象最深刻的探究歷程是什么”.

2"高中課堂回顧

2.1"創(chuàng)設情境，提出問題

情境：國家電力集團為了開發(fā)太陽能，計劃在西部平坦的戈壁上建造一個占地面積達1平方千米的長方形太陽能電廠，為了縮減成本，要怎樣設計才能使長方形圍墻的長與寬之和最??？

追問"現為合理利用土地資源，要求長不小于2千米，要怎樣設計才能使長方形圍墻的長與寬之和最??？

2.2"探究思考，形成新知

問題1"面對一個新函數y=x+1x，你認為可以從哪些方面研究這個函數？

問題2"你認為可以按照怎樣的研究路徑研究函數y=x+1x？

2.3"探索y=x+1x的圖象與性質

問題1"請猜想函數y=x+1x具有哪些性質？哪些性質你能夠證明？哪些性質你暫時還無法證明？

問題2"你能畫出函數y=x+1x的圖象嗎？

問題3"探究函數y=1x，y=x與函數y=x+1x的圖象關系.

探究問題"當x為何值時，函數y=x+1x（x≥2）有最小值？最小值為多少？

2.4"學以致用，類比探究

問題"探究函數y=x+1x，y=x+4x，y=x+kx（kgt;0）的圖象與性質.

拓展應用1"當x為何值時，函數y=x+4x12≤x≤3有最小值？最小值為多少？

拓展應用2"y=2x+8x的單調增區(qū)間為""""，值域為"""".

拓展應用3"函數y=x2+4+1x2+4的最小值為"""".

2.5"課堂小結

引導學生回顧本節(jié)課所學內容，并進行歸納總結.

3"教學對比

3.1"引入情境對比

兩節(jié)課情境引入背景不同但數學本質相同，因初中學生數學閱讀能力、信息整理能力弱，課堂1用了9分鐘才得到目標函數y=x+1x.課堂2直接明了，用1分鐘得到函數y=x+1x，學生自由討論2分鐘后由基本不等式得到當x=1時取最小值2.教師進一步追問“當自變量x≥2時”引出本次課的主題，共用時5分鐘.

課堂1片段：開課敲響“第一錘”——情境直奔主題.

師：我們已經學習了哪些函數？

生：一次函數、二次函數、反比例函數.

師：學習函數的一般過程是什么？

鄭老師發(fā)現學生比較茫然，于是進一步追問.

師：研究函數一般關注什么？

生：函數的性質.

師：哪些性質？

生：函數的增減性、函數圖象所在的象限.

師：還有嗎？

生：對稱性和開口方向.

師：借鑒你學習函數的經驗，如何研究函數y＝x＋1x的性質？

生：建立已知函數與未知函數的聯(lián)系.

師：如何建立聯(lián)系？

生1：該函數是由一個一次函數和一個反比例函數相加得到.

鄭老師沒有否定學生也沒有肯定學生.

生2：給出特殊值，畫出該函數的圖象，找出規(guī)律.

生3：觀察到函數在x=0處沒有意義.

片段點評：要基于學情，注重預設和生成關系，在學生提出“對稱性和開口方向”后，切記不要輕易否定學生，要用發(fā)展融通的觀點引導學生思考函數y＝x＋1x的對稱軸，輕易否定學生會扼殺好奇心和求知欲，久而久之學生會喪失學習興趣和動力.其實函數y＝x＋1x的圖象不僅是中心對稱圖形，還是軸對稱圖形，它的對稱軸方程是y=（1+2）x及y=（1－2）x.

3.2"列圖表畫圖對比

課堂1從特殊到一般，通過列表、描點畫出函數圖象.教師要求學生獨立完成表1，并在一張帶有刻度的坐標系內描點畫圖.學生在教師的引導下嘗試四次畫圖：取正整數—取負整數—取（0，1）中的數—?。?1，0）中的數，總共用時26分鐘.課堂2是從一般到特殊，根據函數性質畫圖，先根據函數的對稱性直接把研究范圍縮小至第一象限，再根據定義域、值域、奇偶性、單調性（猜測）讓學生自主畫出函數圖象，最后根據函數性質獨立畫圖，整個過程用了28分鐘，但學生畫圖僅用了7分鐘.

課堂1片段：續(xù)課奏出“最強音”——四畫函數圖象.

第1次嘗試：學生取數都是正整數.

第2次嘗試：教師黑板上演示，引領學生得出函數關于原點對稱，圖象僅在第一、三象限，但學生取數都不在（0，1）和（-1，0），函數圖象與y軸有交點.

第3次嘗試：學生按教師的要求只畫出第一象限圖象.教師不停提醒學生與y＝1x的圖象對比，直到大部分學生在（0，1）內取不同的值.

第4次嘗試：根據圖象的對稱性，在原圖中修改（-1，0）部分圖象.

片段點評：展示學生思維，不是簡單展示結果，而是展示學生思維過程的合理性、邏輯性、深刻性、獨特性和創(chuàng)新性.本節(jié)課的對象是初中學生，用符號語言刻畫函數的性質存在一定困難，故研究函數的工具僅限于先描點畫圖象再得出性質.在4次嘗試畫圖中，第3次用時雖長，但學生收獲的不僅是知識，還是一種類比思維方式，是一種極限數學思想，是初高融通教學的嘗試，這為高中研究指數函數、對數函數等打下堅實基礎.

3.3"探性質識圖對比

課堂1是根據函數圖象直觀感知函數y=x+1x的性質，即對稱性（關于原點對稱）、與坐標軸沒有交點、與y軸無限接近、圖象在第一、三象限、圖象與直線y=x無交點、函數的增減性、函數最值，感性多于理性，函數性質都沒有給出證明，性質探究總共用時9分鐘.課堂2用演繹的方法得到函數的性質，函數定義域、值域、奇偶性研究用時8分鐘，猜測并證明函數在（0，1）內單調遞減用時9分鐘，最后總結函數性質并指出函數漸近線用時5分鐘，總共用時22分鐘，函數性質研究理性多于感性.

課堂2片段：極限視角“融通觀”——探變化趨勢.

嚴老師隨機選擇了兩個學生繪制的圖象（如圖1、圖2）進行展示并探究.

師：針對圖1，哪位同學來點評一下？

生1：沒有描點就把圖象畫出了.

師：還有呢？

生：中間一條直線不知道是什么？為什么要畫？

師：我們再來看看圖2，圖2這里也有一條直線，哪位同學來說說看這條直線是什么？

生：這條直線是漸近線.

師：你是怎么判斷這條直線是漸近線的？

生2：這條直線是y=x，當x無限增大，函數y=x+1x的圖象無限靠近y=x，但永遠不相交.

師：我們把無限接近但永遠不相交的這條直線稱為漸近線，請大家思考y=x+1x還有漸近線嗎？

生3：還有y軸，即x=0.

……

片段點評：嚴老師先順應學生的思維，讓學生自然而然地得到漸近線的概念，然后利用GeoGebra軟件動態(tài)演示三個函數y=x，y=1x，y=x+1x的圖象的變化趨勢，如圖3所示.建議嚴老師讓學生感知圖象變化的同時，增加極限代數視角說明函數的變化趨勢，即x→+∞時，x+1x→x且x+1xgt;x，這為今后學習類似有漸近線的函數打下堅實的基礎.

3.4"悟本質用圖對比

課堂1原本設置“反思拓展，應用成果”這一環(huán)節(jié)，探究1直接觀察圖象即可，探究2的本質是利用代數的方法去證明函數y=x+1x在（1，+∞）上單調遞增，由于時間關系只能讓學生課后探究.課堂2不是直接利用y=x+1x的性質去解決問題，而是利用研究y=x+1x的一般方法類比探究y=x+4x及y=x+kx并進行簡單應用，總共用時9分鐘.

課堂2片段：結課留下“滿口香”——醒學生所悟.

片段點評：教之道在于“度”，學之道在于“悟”，數學知識不是灌輸給學生的，嚴老師在課堂小結時制作了一張表格（見表2），把權力完全放給學生.學生的總結不僅有知識性（函數性質）的總結，還有研究數學問題方法（特殊到一般，已知到未知等）的小結，更可喜的還有學生會用“對勾函數”“耐克函數”來命名y=x+1x，真正感受到給學生一點時間還教師一個精彩.

4"教學建議

4.1"直覺先行，推理斷后

初高中數學學習的差異是由學習內容的抽象程度所決定的，相伴相隨的是對邏輯嚴謹性要求的提高.但從認知規(guī)律看，數學概念、定理的形成一般是“起始于直覺，完成于邏輯”，因此“思想先行于邏輯，推理緊跟著直覺”，使學生有一個逐步走向嚴謹的過程，不僅符合學生的認知規(guī)律，也與數學知識發(fā)展規(guī)律相吻合.［1］教學的本質就是教學生學會學習，雙勾函數“背景—概念—性質—應用”研究的套路完全適合于一般函數，建議從初中開始有意識從代數的角度研究函數性質，逐漸擺脫“觀察圖象得出性質”的思維定式，樹立“由性質到圖象”的推理意識.建議課堂1鄭老師適當增加幾何圖象的代數解釋以及性質代數推理，如漸近線、圖象關于原點對稱、函數在（0，+∞）上的最小值、x+1x≥2（xgt;0）恒成立等代數解釋或推理，有意識地進行初高數學知識和數學思想上的融通.

4.2"三放關系展示思維

新時期的教師已不是簡單的授業(yè)解惑，信息技術的普及讓學生接受知識的途徑已趨向多元化.現在很多教師認為學生不善于學習，特別是課內主動探究的意識很薄弱.這是因為課內不敢放手，讓教師的經驗替代學生的體驗，久而久之學生自然適應教師的填鴨式教學，不善于思考、不善于合作、不善于探究成為常態(tài).課堂1四畫函數圖象，雖然學生走了幾次錯路、彎路，但收獲的是這類函數圖象的畫法.同樣，課堂2用了22分鐘進行函數性質的探究，允許學生展示思維過程.讓學生展示思維，收獲的是研究函數性質的方法和套路.筆者建議中學數學教師多點誘思引導，扶方法、扶智慧、扶自信，激活學生的思維，給予學生展示思維的時間，把時間還給學生，真正做到“教學”到“學教”.

4.3"融通教學服務選才

鄭老師接到上課任務時心中不免有疑惑，初中研究的函數主要有一次函數、反比例函數、二次函數，對于函數y=x+p/x（pgt;0）的研究超出課程標準的要求.《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出：“不同的人在數學上得到不同的發(fā)展，逐步形成適應終身發(fā)展需要的核心素養(yǎng).”［2］新高考實施后，數學作為唯一一門理科性質的統(tǒng)考科目，在服務人才選拔、服務國家發(fā)展戰(zhàn)略、助力教育強國建設方面承擔更加重要的責任，發(fā)揮更加關鍵的作用.［3］現在許多數學教師太功利，中考怎么考，教師怎么教，中考不考，課內絕對不教，這不利于學生數學素養(yǎng)的提升，不利于人才自主培養(yǎng)，不利于拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng).筆者建議教師在教學時遵循學生認知過程的合理性及知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性，穩(wěn)中求進，開展融通教學，尊重部分學生的好奇心和求知欲，讓思維過程化、知識結構化.例如，課堂2探究函數的對稱性時可以問函數是否具有軸對稱性？今后還可以研究其離心率、頂點坐標、直線與該曲線的位置關系等.對于學有余力的學生還可以研究“（x－2）2+y2·（x+2）=4”及“（x2+y2）3=x2y2”的圖象和性質，融通函數及曲線的研究方法，切實培養(yǎng)學生的科學精神和創(chuàng)新意識，提升學生數學素養(yǎng).

參考文獻

［1］章建躍.核心素養(yǎng)立意的高中數學課程教材教法研究＼[M＼].上海：華東師范大學出版社，2021.

［2］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］任子朝.新高考十年數學科考試內容改革：成就、挑戰(zhàn)與轉向［J］.中國考試，2024（7）：11-18+63.

*基金項目：2024年杭州市基教重點教研課題“源生課堂：縣中崛起視域下中學數學共生學教鏈的構建與實施”（項目編號：L2024066）.