轉化與化歸思想在高中數學試題中的應用特征分析及教學啟示

摘要：轉化與化歸思想是高中數學試題考查的重要思想之一，文章以一道典型例題為研究對象，分析試題是如何體現轉化與化歸思想的考查的，結合教學實際，總結出轉化與化歸思想在高中數學試題中的應用特征，并提出教學策略.

關鍵詞：高中數學；轉化與劃歸思想；教學策略

轉化與化歸思想是高中數學中重要的數學思想方法，是指通過將復雜問題轉化為已知或更簡單的形式，或者將問題歸結為已掌握的數學模型或方法進行解決的過程［1］.在高中數學培養目標體系中，轉化與化歸思想占據著核心地位.它不僅是培養學生邏輯思維能力、創新意識的重要途徑，還能幫助學生深入理解數學概念，提高解決實際問題的能力.因此，轉化與化歸思想的培養貫穿數學教學的各個環節，幫助學生逐步掌握由淺入深、由易到難的學習方法，從而提升數學素養.

1 典型例題呈現

圖1

（多選）如圖1所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱AB上的動點，DF⊥平面D1EC，F為垂足，下列結論正確的是（" ）.

A.FD1=FC

B.三棱錐C-DED1的體積為定值

C.ED1⊥A1D

D.BC1與AC所成的角為45°

分析：取D1C的中點O，運用已知條件證得FO⊥D1C，可得點F在線段D1C的垂直平分線上，于是可判斷選項A正確.因為三棱錐C-DED1即為三棱錐E-DCD1，三棱錐E-DCD1的底面積和高都為定值，所以可判斷選項B正確.利用線面垂直證明判斷選項C正確，利用平移法可判斷選項D錯誤.

解：對于選項A，如圖2，取D1C的中點O，連接DO，FO.因為四邊形DD1C1C為正方形，所以DO⊥D1C.因為DF⊥平面D1EC，D1C平面D1EC，所以DF⊥D1C.又因為DO∩DF=D，DO，DF平面DOF，所以D1C⊥平面DOF.又FO平面DOF，所以FO⊥D1C.又因為O為D1C的中點，所以FD1=FC.故選項A正確.

圖2

對于選項B，三棱錐C-DED1即為三棱錐E-DCD1.因為△DCD1的面積為定值，點E到平面DCD1的距離為定值，所以三棱錐E-DCD1的體積為定值，即三棱錐C-DED1的體積為定值.故選項B正確.

對于選項C，因為A1D⊥AD1，A1D⊥AB，AD1∩AB=A，AD1，AB平面ABC1D1，所以A1D⊥平面ABC1D1.又ED1平面ABC1D1，所以ED1⊥A1D.故選項C正確.

對于選項D，將BC1平移到AD1，易知BC1與AC所成的角為60°.故選項D錯誤.

點評：在這道高中數學題中，正方體與三棱錐體積的綜合考查清晰地體現了轉化與化歸這一重要的數學思想.題目通過設定E為棱AB上的動點，以及DF⊥平面D1EC的條件，巧妙地引導學生將三維幾何問題轉化為更易處理的二維幾何問題.

具體來說，選項A要求學生判斷FD1是否等于FC，這涉及學生通過轉化，將空間中斜線之間的關系轉化為利用勾股定理或三角形相似進行分析.選項B要判斷三棱錐的體積是否為定值，考查學生對體積計算公式的理解，并引導學生通過點E的運動分析體積是否發生變化，這也是通過轉化來簡化體積問題的典型應用.選項C要求判斷ED1是否垂直于A1D，考查學生將三維問題轉化為平面幾何問題的能力，體現了幾何關系的轉化.選項D涉及兩條異面直線所成角度的計算，要求學生能夠通過轉化與歸化，將復雜的空間角度問題轉化為平面內角度的計算.

總之，這道題要求學生對空間中的幾何關系進行合理的轉化與化歸，在較復雜的空間幾何中尋找到簡化問題的方法和途徑，充分體現了數學中的轉化思想.學生需要通過這種思想將空間中的復雜問題轉化為熟悉的二維問題，進而利用已有知識求解，這一過程深刻考查了學生的邏輯思維和幾何推理能力.

2 應用特征分析

結合教學實踐和高中數學試題，筆者總結轉化與劃歸思想在高中數學試題中的三點應用特征，為教學改進提供保障.

2.1 化繁為簡，聚焦核心問題

在高中數學試題中，轉化思想的應用特征首先體現在化繁為簡的過程中，即通過轉化操作將復雜問題簡化為基本問題，從而聚焦核心問題.這種特征在函數、數列及立體幾何等試題中尤為突出.例如，在解決復雜的函數問題時，常常通過代換或引入新的變量，將原問題轉化為更易處理的形式，使解題過程更簡潔.在立體幾何中，也可以通過轉化視角，將空間問題平面化或簡化為已知幾何模型，從而突出問題中的核心關系.這一應用特征強調了轉化思想在復雜問題的求解、突出數學本質方面的重要性，使學生能夠更直觀地把握解題關鍵.

2.2 化難為易，尋求通用策略

化歸思想在高中數學試題中的應用特征之一是化難為易，通過將復雜問題歸類到某種熟悉的數學模型或解題方法中，尋求通用策略.這種特征在解綜合性題目時表現得尤為明顯.例如，在面對綜合函數題時，學生可以通過將問題轉化為研究特定函數的性質或利用某種通用解法，如構造輔助函數或歸納同類項，從而使問題變得易于處理.化歸思想通過將不同的問題歸結為具有共性或相似結構的已知問題，使解題過程得以簡化，并有效減少了思維阻礙.這一特征突出強調了轉化與化歸思想在復雜問題處理中的廣泛應用，使學生能夠在多樣化的題目中尋找到有效的解決策略.

2.3 化整為零，分步突破難點

轉化與化歸思想的另一重要應用特征是化整為零，即通過將一個復雜的整體問題分解為若干子問題，從而逐步突破各個難點.這一特征在高難度試題的求解中尤為重要，特別是在解答多步驟問題或需要綜合運用多個知識點的題目時.例如，在解析幾何問題中，學生可能需要通過劃分區域或分解幾何條件，將整體問題分解為多個可以獨立處理的小問題，再分別求解這些子問題，最終合并結果.這一特征體現了轉化與化歸思想在解決復雜數學問題時的實用性，使學生能夠通過分步思考、逐層推進的方式，有條不紊地解決具有挑戰性的數學問題.

3 教學啟示

3.1 逐步引導轉化，培養解題能力

教師應通過逐步引導的方式培養學生的轉化思維能力.這種策略包括從簡單到復雜的題目設計，逐步引導學生在解決數學問題時運用轉化思想［2］.例如，針對高次方程的解法，教師可以先從基礎的代數操作題入手，逐漸引入需要多步轉化的復雜問題.通過系統的練習和講解，教師可以幫助學生掌握將復雜問題轉化為簡化問題的技巧，并通過逐步遞進的練習提高學生的解題能力.具體操作中，可以在每節課結束時布置一些需要轉化的習題，并通過詳細的講解和討論，幫助學生理解每一步轉化的原因和方法，從而逐漸提升運用轉化思想解決問題的能力.

3.2 系統分類歸納，強化知識整合能力

教師應系統地進行問題分類和歸納訓練，以強化學生的化歸思維和知識整合能力.具體策略包括將課堂上涉及的數學問題進行系統性歸類，如函數題、幾何題、數列題等，并通過分類練習幫助學生理解每類問題的共性特征及解題方法.例如，在講解函數問題時，教師可以通過歸納不同類型函數題的解法技巧，幫助學生總結出通用的解題策略.課堂上，可以設置專題討論和分類演練環節，鼓勵學生在解決問題時將其歸納到已知的數學模型中，提升知識整合和應用能力.這種方法能夠使學生在面對各種題型時，迅速找到合適的解決策略，并在考試中提高答題效率和準確率.

3.3 設計綜合問題，鍛煉綜合應用能力

教師應設計綜合性的數學問題，鍛煉學生的綜合應用能力.這一策略包括在課堂上引入多步驟、多知識點的綜合題目，要求學生綜合運用所學知識進行解答.例如，在講解立體幾何和解析幾何時，教師可以設計一些綜合題，要求學生將幾何圖形問題轉化為代數問題，然后運用相關的數學知識求解.通過這種綜合訓練，學生不僅可以提高解題的綜合能力，還能夠學會在處理復雜問題時將問題分解為若干部分逐步解決.這種訓練能夠增強學生在面對復雜問題時的自信心和解決能力，同時培養其將不同知識點融合應用的能力，對提高整體數學水平具有重要意義［3］.

參考文獻：

［1］王新鋒.轉化與化歸思想方法在高中物理教學中的應用研究［D］.蘇州：蘇州大學，2016.

［2］王亞琴.依托化歸思想高效解決高中數學試題［J］.數理天地（高中版），2024（15）：50-51.

［3］尚豪杰.借助轉化思想助推高中生高效解答數學試題［J］.數理天地（高中版），2023（13）：33-35.