“閱讀與思考”：依托數學文化，學習畫法幾何

摘要：數學文化的滲透與融入經常以“閱讀與思考”等欄目的形式出現在高中數學教材中，教學中要合理引導學生進行課外閱讀與拓展提升.結合畫法幾何的起源與應用所對應的“閱讀與思考”欄目，深入研究相應的數學文化，通過畫法幾何與空間直觀圖等的應用，滲透畫法幾何的思維，實現數學文化的融合與應用，指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：畫法幾何；直觀圖；空間幾何體；數學文化

數學文化的創新設置與巧妙融合，是新高考數學試卷的一個重要命題方向與命題趨勢.此類問題往往以數學文化為問題場景，融合相應的數學基礎知識，借助高中數學教材中的“閱讀與思考”“文獻閱讀與數學寫作”等欄目來設置.

合理挖掘數學問題中基礎知識與數學文化的交匯點，全面剖析問題的內涵與實質，合理滲透數學知識，并借此進行自主加工與創新應用，有效提升數學文化內涵，進行合理的數學綜合應用，給數學問題與數學應用創設更多的應用情境.

1 依托“閱讀”欄目

江蘇鳳凰教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過的《數學》（必修第二冊）第13章“立體幾何初步”第197頁“閱讀”欄目的內容是“幾何學的發展”.

本欄目基于閱讀材料，介紹了畫法幾何的應用、畫法幾何的起源、數學家蒙日的一些研究與經歷等，拓展畫法幾何的應用，合理融入數學文化來創設應用場景.

2 數學文化史話——畫法幾何與中國數學

有關立體幾何中的畫法幾何，是基于幾何學的發展中的一個重要分支，也是一門獨立的幾何分支學科.它在現實生活中的繪畫技術、建筑工藝、軍事工程及機械制圖等方面，都有著非常重要的用途.

2.1 透視原理與繪畫

畫法幾何起源于歐洲文藝復興時期的繪畫和建筑技術.意大利數學家、藝術家阿爾貝蒂于1435年發表《論繪畫》，闡述了最早的數學透視法原理，引入了投影線和截景等概念.他的透視法逐漸得到畫家們的認可并得以采用、改進.意大利藝術家達·芬奇在繪畫實踐中，嫻熟地運用了數學透視法原理，主要是中心投影.他還寫了一本談透視法的書《繪畫專論》.越來越多的歐洲畫家們把學習和應用透視法作為繪畫的自覺行為.

2.2 蒙日與畫法幾何

法國數學家蒙日在1799年出版的專著《畫法幾何法》中，第一次詳細闡述了與畫法幾何相關的知識，通過將空間（三維空間）物體投影到兩個互相垂直的平面中，結合投影原理來分析并推斷對應空間幾何體的基本性質等，后來進一步發展成為射影幾何學.該書不論是在概念上還是在方法上，都有著深遠的影響.蒙日成為了畫法幾何的創始人.

2.3 年希堯與《視學》

中國古籍中也有立體圖和平面圖的畫法，始于東漢，現在能看到的如北宋時期的《武經總要》中的兵器圖、《新代象法要》中的天文儀器圖、《營造法式》中的建筑圖等，而且畫得越來越好，但是總體來說還是比較粗糙，缺乏透視原理的說明，不是那么科學.

年希堯對科學技術很感興趣，特別是對數學和醫學研究頗多.他于1729年出版了《視學》一書（1735年加以了修訂），系統論述了透視原理及畫法幾何.《視學》一書最精彩的部分是圖形.圖形分為兩大類：直觀圖（立體圖）和平面圖.直觀圖從畫法原理上又分為軸測圖和透視圖，平面圖分為二視圖和三視圖，其原理和現代工程制圖完全一致.書中對透視原理的論述很清楚，對于投影關系也處理得很好，他想象一個物體懸在空中，各點投影用虛線連接，一看就知道平面上的某個點是物體上哪個點的投影.《視學》是中國最早的一部系統地闡明透視原理的著作，更是18世紀畫法幾何的一部代表作.在世界上也堪稱早期畫法幾何的代表作，比蒙日的《畫法幾何法》早70年.

3 畫法幾何及其相關數學文化應用

涉及畫法幾何及其相關數學文化的應用，包括空間幾何體的畫法幾何及應用，結合空間幾何體的直觀圖與應用，以及與畫法幾何相關的數學文化等，融入相應的數學思維與數學方法，基于此全面開拓數學思維，優化解題過程，養成解題習慣，提升解題效益.

3.1 蒙日圓

例1" 畫法幾何學的創始人——法國數學家加斯帕爾·蒙日發現：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的蒙日圓是x2+y2=a2+b2.若圓（x－3）2+（y－4）2=9與橢圓x2m+y2=1的蒙日圓有且僅有一個公共點，則m的值為（" ）.

A.2或8

B.3或63

C.3或63

D.4或64

解析：由已知條件可知mgt;0且m≠1.

依題，橢圓x2m+y2=1的

蒙日圓方程為x2+y2=m+1，蒙日圓的圓心為原點O，半徑為m+1；圓（x－3）2+（y－4）2=9的圓心為A（3，4），半徑為3.

因為兩圓只有一個公共點，所以兩圓外切或內切，則|OA|=3+m+1或|OA|=|3－m+1|.

又|OA|=32+42=5，所以3+m+1=5或|3－m+1|=5，解得m=3或63.

點評：依托畫法幾何學的創始以及蒙日圓的場景，融入數學文化知識，并結合不同知識之間的關系進行創設，是數學文化綜合與應用的一種常用設置方式.

3.2 截交線

例2" 截交線，是畫法幾何中研究的重要內容之一，是指平面與空間幾何體表面的交線.當空間形體表面是曲面（或由若干個平面組成）時，截交線是一條平面曲線（或一個多邊形）.已知正三棱錐O-ABC，滿足OA⊥OB，OB⊥OC，OA⊥OC，|OA|=3，點P在△ABC內部（含邊界）運動，且|OP|=6，則點P的軌跡與這個正三棱錐的截交線長度為（" ）.

A.3π2

B.2π2

C.π2

D.π

解析：

圖1

依題意可得OA⊥平面OBC，正三角形ABC的邊長為32.設正△ABC的中心為E，如圖1所示.

由V三棱錐O-ABC=V三棱錐A-OBC，可得13×12×（32）2×sinπ3×|OE|=13×12×3×3×3，解得|OE|=3.

于是|EP|=|OP|2－|EO|2=3.又點P在△ABC內部（含邊界）運動，且|OP|=6，所以點P的軌跡是以E為圓心，|EP|=3為半徑的圓在△ABC內部（含邊界）的弧.

以下過程略.

點評：以畫法幾何所研究的重要內容之一——截交線為數學文化場景來設置問題，考查空間動點的軌跡問題及其對應的綜合應用.

3.3 三視圖

例3" 圖形是信息傳播、互通的重要視覺語言，《畫法幾何》是法國著名數學家蒙日的數學巨著，該書在投影的基礎上，用“三視圖“來表示三維空間中立體圖形.即作一個幾何體的“三視圖”，需要分別從幾何體正面、左面、上面三個不同角度觀察，從正投影的角度作圖.圖中粗實線畫出的是某三棱錐的三視圖，且網格紙上小正方形的邊長為1，則該三棱錐的外接球的表面積為（" ）.

A.26π

B.27π

C.30π

D.33π

解析：由圖可知，

該幾何體為三棱錐，以下過程略.

點評：借助畫法幾何的數學文化場景，設置三視圖還原實物圖來合理考查三棱錐的外接球問題，以及球的表面積等.數學文化只是起到一個問題場景與閱讀應用的目的，關鍵在于理解空間幾何體的三視圖特征規律以及空間幾何體之間的位置關系等，合理加以轉換，巧妙空間想象.

基于高中數學教材中相關閱讀欄目的設置與展示，如“閱讀與思考”“文獻閱讀與數學寫作”等，巧妙滲透數學知識，進而借助數學文化的綜合與應用來深入探究與拓展，在學習數學文化的來源的同時，進一步探究數學知識的內涵與實質，全面提升學生的學習深度與廣度.這對提升學生的“四基”“四能”，以及數學思維、創新意識等方面都是有幫助的.