簡教深學(xué) 發(fā)展代數(shù)思維

摘" 要：發(fā)展代數(shù)思維是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過在概括中發(fā)展，淺教中形成，變化中內(nèi)化，深學(xué)中反芻，能夠促使代數(shù)思維落地生根.在簡教深學(xué)中創(chuàng)設(shè)認(rèn)知情境，組織探究交流活動，設(shè)計運用形式，幫助學(xué)生發(fā)展符號意識，可以形成有效的代數(shù)思維.

關(guān)鍵詞：代數(shù)思維；符號意識；初中數(shù)學(xué)

中圖分類號：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2025）05-0049-03

收稿日期：2024-11-15

作者簡介：趙娣，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強調(diào)，在教學(xué)中要發(fā)展學(xué)生的符號意識［1］.符號意識是指學(xué)生在感知、認(rèn)識、運用數(shù)學(xué)符號方面所作出的一種主動性反應(yīng)，反映了學(xué)生對數(shù)學(xué)符號具體含義的理解，對數(shù)學(xué)符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的掌握，也是學(xué)生從“算術(shù)思維”過渡到“代數(shù)思維”的重要標(biāo)志.“字母表示數(shù)”是七年級上冊《代數(shù)式》單元學(xué)習(xí)內(nèi)容.從發(fā)展學(xué)生符號意識角度出發(fā)，簡教深學(xué)，有助于發(fā)展學(xué)生代數(shù)思維，實現(xiàn)知識的建構(gòu).

1" 比異：代數(shù)思維與算術(shù)思維

算術(shù)思維是代數(shù)思維的基礎(chǔ)，在進入第四學(xué)段學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)具備了運用算術(shù)思維解決問題的能力，二者既有聯(lián)系也有區(qū)別.

算術(shù)思維的核心是運算，注重計算的過程和結(jié)果.在整個學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生一般通過連續(xù)運算得出答案，主要處理具體的數(shù)值和運算，抽象思維能力發(fā)展不足.代數(shù)思維使用符號來表示數(shù)值、未知數(shù)和運算符號，以便于建立關(guān)系和進行運算.在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生需用一定的符號表示數(shù)學(xué)對象，具有抽象思維能力.例如，果園里有紅石榴樹18棵，紅石榴樹的數(shù)量是黃石榴樹的4倍多2棵，求黃石榴樹有幾棵？從算術(shù)思維角度，可以列式18-2=16（棵），16÷4=4（棵）.運用代數(shù)思維則要找到“紅石榴樹”和“黃石榴樹”之間的數(shù)量關(guān)系.在運用代數(shù)思維解決這個問題的過程中，需要這樣列式：設(shè)黃石榴樹x棵，則4x+2=18.進入七年級，學(xué)生需要開始逐步掌握代數(shù)表達(dá)式，運用代數(shù)思維解決問題，從過去的以計算為主向注重表征轉(zhuǎn)變.

2" 實踐：代數(shù)思維落地生根的路徑

“字母表示數(shù)”是蘇科版七年級數(shù)學(xué)上冊《代數(shù)式》單元學(xué)習(xí)內(nèi)容.本單元由“字母表示數(shù)”“代數(shù)式的概念”“整式的加減”“綜合實踐”等內(nèi)容組成.“字母表示數(shù)”是起始內(nèi)容，既需要喚起學(xué)生已有的經(jīng)驗，又是學(xué)生發(fā)展代數(shù)思維的起點［2］.

2.1" 在概括中發(fā)展代數(shù)思維

百度百科對“代數(shù)”概念是這樣界定的：代數(shù)是研究數(shù)、數(shù)量、關(guān)系、結(jié)構(gòu)與代數(shù)方程（組）的通用解法及其性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支.由此不難發(fā)現(xiàn)，代數(shù)研究的對象不再只是“數(shù)”，而是包括了具有抽象特征的結(jié)構(gòu)，這些結(jié)構(gòu)又借助符號表示未知數(shù)和不確定的數(shù).在教學(xué)中，教師要根據(jù)代數(shù)的核心價值確定教學(xué)內(nèi)容.

例如，在教學(xué)中，以兒歌《數(shù)青蛙》作為探究情境，讓學(xué)生玩“數(shù)青蛙”游戲.學(xué)生采用“開火車”的方式輪流以“1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿”的規(guī)律續(xù)接兒歌.當(dāng)學(xué)生完成“8只青蛙8張嘴，16只眼睛32條腿”后，教師啟發(fā)學(xué)生探究：采取什么樣的方法就能把這個游戲的思路概括清楚呢？學(xué)生聯(lián)系已有的“用字母表示數(shù)”的知識，嘗試用a，n，b，x等不同的字母來表示青蛙的數(shù)量.在這個學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中，學(xué)生已經(jīng)形成了運用字母表示“變化的數(shù)”的意識，具備了使用字母表示數(shù)的能力.

2.2" 在簡教中形成代數(shù)思維

浙江省數(shù)學(xué)教研員、特級教師王國芳老師指出，“活動深度參與”是一節(jié)好課的標(biāo)準(zhǔn)之一.在初中數(shù)學(xué)課堂上，尊重學(xué)生的主體地位，就是要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中深度參與，讓學(xué)生在概括中發(fā)現(xiàn)、在探究中建構(gòu)、在思考中理解，實現(xiàn)從“簡教”走向“深學(xué)”.

在“青蛙兒歌”的教學(xué)中，教師根據(jù)學(xué)生用字母表示青蛙的數(shù)量，總結(jié)學(xué)生的表述內(nèi)容：①a只青蛙a張嘴，b只眼睛n條腿；②a只青蛙a張嘴，2a只眼睛4a只腿.這些答案都是基于學(xué)生對“字母表示數(shù)”的獨特思考，是學(xué)生在“摸象”過程中形成的碎片化思考.如果教師此時直接出示正確的答案，則學(xué)生的代數(shù)思維無法得以建構(gòu).因此，教師并沒有對以上兩種答案的正確與否進行評判，而是將其作為一個重要的小組合作學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生自行探究，自主發(fā)現(xiàn).教師讓學(xué)生先比較兩種觀點的表述，然后在小組內(nèi)交流，爭取小組形成統(tǒng)一的意見后再交流匯報.通過交流，學(xué)生基本上形成了一致的意見，可以用“a只青蛙a張嘴，2a只眼睛4a只腿”來表示青蛙的數(shù)量和嘴、眼睛、腿的數(shù)量關(guān)系.但是對第一種答案，不同小組產(chǎn)生了分歧.有的小組認(rèn)為，用“b只眼睛”“n條腿”的形式表示不準(zhǔn)確，因為青蛙的數(shù)量a是確定的，因此b，n也是可以確定的；而有的小組認(rèn)為，b可以等于是2a，n可以等于是4a.從符號意識形成的角度看，這樣的理解是不準(zhǔn)確的.學(xué)生只是理解了“一個字母可以表示數(shù)”，但是沒有發(fā)現(xiàn)“相互之間有一定數(shù)量關(guān)系”.此時，教師可以從代數(shù)是研究“數(shù)、數(shù)量、關(guān)系、結(jié)構(gòu)”的核心概念進行點撥，讓學(xué)生更好地理解兒歌中的數(shù)量和關(guān)系.

2.3" 在變化中內(nèi)化代數(shù)思維

在代數(shù)學(xué)習(xí)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分理解“變”和“不變”.在表述中，“變”的是數(shù)量，“不變”的是關(guān)系.在“字母表示數(shù)”的教學(xué)中，學(xué)生需要結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容理解算術(shù)式中“未知的數(shù)量”.因為是“未知”的，這就需要學(xué)生從具象的認(rèn)知走向抽象的理解，找到“變”和“不變”，確定其中蘊含的關(guān)系和結(jié)構(gòu).例如，在教學(xué)中，教師可以結(jié)合“年齡問題”作為研究變化的實例.在家庭中，媽媽是a歲，女兒是b歲，媽媽比女兒大26歲.因此，女兒的年齡就是（a-26）歲.在理解的過程中，教師讓學(xué)生將a代入不同的數(shù)字，學(xué)生發(fā)現(xiàn)女兒年齡b也在不斷的變化.在a和b變化的過程中，學(xué)生借助表格得出結(jié)論，無論a和b怎么變化，二者相差26的年齡差是固定不變的.這時候，教師出示爸爸的年齡是（a+2）歲，讓學(xué)生借助這個數(shù)量再去表示女兒的年齡.學(xué)生根據(jù)已知的條件得出爸爸的年齡是（a+2-26）歲.圍繞這些代數(shù)式，學(xué)生通過小組探究驗證，發(fā)現(xiàn)女兒、爸爸、媽媽無論年齡怎么發(fā)生變化，但是三個人的年齡差是不變的.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，研究“變”和“不變”，能夠幫助學(xué)生理解代數(shù)的核心概念.在代數(shù)中，字母可以表示變化的數(shù)、未知的數(shù)，這種符號化的過程本身就是對“變”的一種抽象表達(dá).

2.4" 在深學(xué)中反芻代數(shù)思維

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需引導(dǎo)學(xué)生識別情境或問題中的量或量與量之間的關(guān)系，這是發(fā)展學(xué)生代數(shù)思維的基礎(chǔ).在理解數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，鼓勵學(xué)生嘗試用字母構(gòu)建代數(shù)式來表示這些關(guān)系是“深學(xué)”的需要.課后設(shè)計不同層次的練習(xí)題，包括基礎(chǔ)題、提高題和綜合題等，讓學(xué)生在不同難度的練習(xí)中鞏固所學(xué)知識，反芻代數(shù)思維發(fā)展.

例如，在基礎(chǔ)練習(xí)環(huán)節(jié)，教師設(shè)計一些指向理解數(shù)量結(jié)構(gòu)關(guān)系的題目.若n表示一個奇數(shù)，則如何用一個代數(shù)式表示偶數(shù)？2024年11月17日蘇州“環(huán)太湖1號公路”馬拉松比賽鳴槍開跑.某選手參加了4.5公里歡樂跑項目，她從起點以平均每分鐘a千米的速度跑了15分鐘，那么她離歡樂跑的終點有多遠(yuǎn)？用含有a的代數(shù)式表示.在能力提升題目中，則通過具體的情境引導(dǎo)學(xué)生去提取信息，找到“變”和“不變”的數(shù)量.例如，某汽車生產(chǎn)線計劃每天生產(chǎn)n輛汽車，原計劃每天生產(chǎn)a輛，實際上每天比原計劃多生產(chǎn)了24輛，則實際生產(chǎn)時間比計劃時間少了多少？這樣的練習(xí)要求學(xué)生使用字母代表未知或變化的量，這是發(fā)展學(xué)生代數(shù)思維的基礎(chǔ).通過設(shè)定變量，學(xué)生需要理解這些變量如何與實際問題中的具體數(shù)值相結(jié)合，從而構(gòu)建出代數(shù)表達(dá)式或方程解決問題.學(xué)生在“深學(xué)”中將具體的生產(chǎn)情況抽象為數(shù)學(xué)模型，從復(fù)雜的實際情況中提取出關(guān)鍵信息，并用數(shù)學(xué)語言描述這些關(guān)系，能夠提高學(xué)生對知識的理解.在綜合拓展環(huán)節(jié)，教師還可以設(shè)計一些情境應(yīng)用題、規(guī)律探索題、開放性問題、跨學(xué)科整合題和實踐操作題，讓學(xué)生在理解和操作中反芻“字母表示數(shù)”的應(yīng)用，以此發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維.

3" 思考：課堂喚醒代數(shù)思維的策略

3.1" 在情境創(chuàng)設(shè)中激發(fā)符號意識

在“字母表示數(shù)”教學(xué)中，通過具體的生活情境，學(xué)生可以更直觀地理解字母表示數(shù)的概念，將抽象的數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活相聯(lián)系.在課堂教學(xué)活動設(shè)計中，教師要根據(jù)學(xué)生的年齡特點、認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識經(jīng)驗，從學(xué)生生活中創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在具象的生活中經(jīng)歷操作、實踐和探究，獲得概念的建構(gòu).

例如，教師聯(lián)系今年航天任務(wù)，以出生于1990年的神舟十九號載人飛行任務(wù)乘組王浩澤的年齡作為情境，讓學(xué)生嘗試用字母表示自己和王浩澤年齡之間的關(guān)系，然后交流概括形成的代數(shù)式；接著交流優(yōu)化，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)用字母表示數(shù)的優(yōu)點，理解對數(shù)量關(guān)系的表達(dá)；最后，圍繞對自己和王浩澤年齡關(guān)系中的字母取值范圍進行界定，幫助學(xué)生進一步理解“未知”與“已知”的數(shù)量關(guān)系，發(fā)展符號意識.

3.2" 在探究交流中強化符號意識

學(xué)生知識的建構(gòu)過程是一個從“摸象”到“抽象”的過程.學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗，形成了初步的“符號意識”；然后學(xué)生通過“說象”，回顧接觸過的公式、運算律等用字母來表示數(shù)學(xué)規(guī)律的事實，在具體的情境中圍繞真實的學(xué)習(xí)活動進行探究，彼此分享交流，形成對“字母表示數(shù)”的全面認(rèn)知；接著是“成象”，學(xué)生能夠在具體的思維活動中分析數(shù)量關(guān)系，寫出代數(shù)式；最后是抽象，學(xué)生將知識從概念中抽象出來，在具體的生活中予以運用.在此過程中，教師要幫助學(xué)生完成“摸象”“說象”“成象”“抽象”的概念建構(gòu)過程，完成代數(shù)思維的發(fā)展.

3.3" 在靈活運用中提升符號意識

張景中院士認(rèn)為：“代數(shù)好在‘代’上，字母表示數(shù)，能夠幫助我們打開眼界.”學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，都需要在靈活運用中進行實踐.在初中“字母表示數(shù)”的教學(xué)中，教師要根據(jù)學(xué)生的知識建構(gòu)需要，創(chuàng)設(shè)運用知識的情境，幫助學(xué)生提升符號意識.一是能夠運用字母表示數(shù)學(xué)定理、公式.這是學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)形成的認(rèn)知，教師要在此基礎(chǔ)上繼續(xù)幫助學(xué)生建構(gòu)認(rèn)知.二是用字母表示未知數(shù)，為“方程”學(xué)習(xí)

打基礎(chǔ).在這個過程中，教師要根據(jù)課程目標(biāo)、教材內(nèi)容、學(xué)生知識發(fā)展的需要，讓學(xué)生通過說、寫、思、探等活動，學(xué)會用字母表示數(shù).三是形成數(shù)學(xué)符號語言，豐富表達(dá)，便于交流.教師從靜態(tài)學(xué)習(xí)設(shè)計走向動態(tài)教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生能夠運用符號語言來交流，理解字母既可以是特定的值，也可以是變化的數(shù)，實現(xiàn)認(rèn)知的發(fā)展.

4" 結(jié)束語

在“符號表示數(shù)”的教學(xué)中，“簡教深學(xué)”就是要精選核心知識點和典型例題，采用深入淺出的方法，將復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)概念用通俗易懂的語言和實例解釋，幫助學(xué)生將抽象知識具體化、形象化，降低學(xué)習(xí)難度，實現(xiàn)代數(shù)思維在初中數(shù)學(xué)課堂落地生根.

參考文獻(xiàn)：［1］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］ 陳薇，高松，朱晨菲.強化符號意識發(fā)展代數(shù)思維：基于3UV模型的“字母表示數(shù)”教學(xué)及其思考［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2024（18）：9-12.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］