基于大單元視角下二次函數章起始課的教學設計

【摘" 要】本文基于大單元整體視角對二次函數章起始課進行教學設計，滲透本單元核心知識及思想方法。從代數角度分析二次函數的基本性質及變化規律，體現了數形一致性，從而發展學生代數推理能力。同時建構了單元脈絡，使學生了解單元主要學習內容和研究路徑方法。

【關鍵詞】單元整體；章起始課；二次函數

章起始課是統領單元模塊教學內容的第一課，對整個單元的教學起著提綱挈領的作用。通過章起始課的教學，學生明確單元學習目標，了解單元的主要學習內容和思想方法，提高后續單元內容的學習效率。人教版數學教材中的二次函數單元是函數主題中的第二個教學內容，函數主題教學具有很強的抽象性，涉及了許多數學思想方法（數形結合、化歸、分類討論等）。函數主題一直是教學難點，相較于一次函數，而二次函數其代數結構更加復雜，函數圖象具有更豐富的性質，同時計算量也有增加，從而進一步增加了本單元的學習難度。本文擬從單元整體視角下對二次函數單元的起始課進行教學設計，在起始課上對本單元主要知識、思想方法進行滲透，并從代數角度分析二次函數的基本性質及變化規律。同時，學生明確本單元的學習目標，初步了解本單元的學習內容及主要的思想方法，對單元整體的學習形成系統性認識，為后續單元內容的學習做好鋪墊。

一、教學分析

（一）單元教學分析

二次函數圖象是本單元教學的主要內容，數形結合思想是本單元重要的思想。二次函數圖象直觀地反映了函數變化規律，具有頂點、對稱性等特點。通過函數圖象可以求二次函數的最值，還可以研究二次函數與一元二次方程的關系，同時二次函數的最值在實際問題中也有廣泛應用。二次函數y=a（x-h）2+k這一類型的表達式是溝通二次函數式與形之間的重要橋梁，它直觀地反映了二次函數圖象的頂點位置、對稱軸、開口方向，便于探討參量與圖象間的關系。所以，對y=a（x-h）2+k這一類型表達式的認識是本單元核心要點，將二次函數解析式：y=ax2+bx+c通過配方法轉化為：y=a（x-h）2+k是本單元的重要方法。在人教版教材的編排上，第一節課給出了二次函數的定義及表達式：y=ax2+bx+c，接著觀察研究函數圖象的頂點、對稱性、變化規律等性質及圖象與參量間關系，具體編排順序：y=ax2→y=ax2+k→y=a（x-h）2→y=a（x-h）2+k→y=ax2+bx+c，相關的性質結論主要通過觀察圖象得到。由于是直接通過觀察法得到結論，割裂了形與式之間的關系，學生并未理解其內在原理，只是生硬地記住了結論，對圖象本質屬性的理解并不深刻，不利于數形結合思想的培養。實際上，函數圖象是由函數的代數結構所決定的。如果能在章起始課上，基于學生的認知，從代數角度分析函數的變化規律，滲透函數圖象對稱性的相關知識、探究函數的最值，有助于學生深刻理解圖象的性質，對后續的學習起到良好的促進作用，這也體現了數形一致原則。另外，由于起始課給出的是二次函數的表達式：y=ax2+bx+c，接下來的幾節課探討的卻是：y=a（x-h）2+k中的參量a，h，k與圖象的關系，直到最后才回歸一般表達式：y=ax2+bx+c圖象的研究，學生在學習上會感到較為突兀。為方便后續教學銜接，筆者考慮在章起始課引入y=a（x-h）2+k相關知識，并以此為主線構建單元知識框架，展示學習主線。

（二）章起始課教學設計思考

基于上述單元教學分析，筆者考慮在引入二次函數的定義后，從代數角度探討二次函數的變化規律滲透圖象對稱性的相關知識，培養學生代數推理能力。通過研究二次函數的最值問題，引導學生通過配方法將y=ax2+bx+c轉化為：y=a（x-h）2+k，并通過希沃軟件展示在課堂上所研究的幾個二次函數圖象，學生對二次函數圖象有初步了解，學生感知數與形的對應性，同時使學生了解本單元學習的主要內容、研究方法、研究路徑。

（三）教學目標

①理解二次函數的定義，認識二次函數兩種常見的表達式，提高運算能力。

②對二次函數變化規律及圖象形成初步認識，培養數形結合思想，提高代數推理能力。

（四）教學重難點

教學重點：二次函數的定義、二次函數的最值。

教學難點：從代數角度研究二次函數的性質。

二、教學設計

（一）設置背景，引出定義

問題1.已知一長方形的周長為20，設它的長為x，寬為y。請寫出y關于x的函數解析式，并作出函數圖象。

師生活動：學生求得y關于x 的函數解析式為：y=10-x，并作出函數圖象。學生容易忽略x的取值范圍是0lt;xlt;10。教師由此復習一次函數單元的主要內容及研究路徑方法。一次函數單元研究路徑為：

設計意圖：以矩形問題為背景，復習一次函數主要內容及研究路徑方法。

問題2.已知一長方形的周長為20，設它的長為x，面積為s。請寫出s關于x的解析式。

師生活動：學生求得：s=-x2+10x，教師追問s是否是關于x的函數，學生根據函數的定義判斷，s隨x的變化而變化，且對于確定的x，有唯一的s與之對應，故s是x的函數。教師講解這個函數和之前學的一次函數不同，它的最高次項是二次項。由此引出二次函數的定義：

一般地，形如：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）的函數，叫作二次函數。其中a，b，c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項。

對于該問題中的函數s=-x2+10x，它的二次項系數為-1，一次項系數為10，常數項為0。

設計意圖：引出二次函數的定義。

（二）結合圖象，探究性質

問題3：對于二次函數y=x2，填表并思考x、y間有什么關系？能得出什么結論。

師生活動：學生思考解答，教師總結歸納。

觀察上表可以發現：（1）當自變量x取值互為相反數時，y取值一樣。（2）當xgt;0時， y隨著x增大而增大。當xlt;0時，y隨x增大而減小。（3）當x=0時，y取得最小值0。

教師追問1.能否證明上述結論？證明過程如下：對于 （1）當x=a時，y=a2，當x=-a時，y=a2。故當自變量x取值互為相反數時，y值一樣。從另一個角度來看，當x位于原點兩側，且與原點距離一樣，所對應的函數值相等。對于（2）當xgt;0，當x2gt;x1gt;0，y1=x12，y2=x22，y2-y1=（x22+1）-（x12+1）=（x2-x1）（x2+x1），因為：x2gt;x1gt;0，故y2-y1=（x2-x1）（x2+x1）gt;0，故：y2gt;y1，故：當xgt;0時，y隨著x增大而增大。同理可證：當xlt;0時，y隨x增大而減小。對于（3）因為x2≥0，所以y=x2≥0，即當x=0時，y取得最小值0。

設計意圖：設置開放性問題，引導學生發現二次函數的性質，為后續函數圖象及函數圖象與系數之間關系的學習作鋪墊，并培養學生代數推理能力。

教師追問2. 對于二次函數y=-x2，填表并類比問題3思考x、y間有什么關系？

師生活動：類比問題3的解答，引導學生求解。

設計意圖：與問題3形成對比，加深學生對二次函數變化規律的認識。

問題4.（1）二次函數y=2（x-1）2+1的最小值是____，二次函數y=-2（x-1）2+3的最大值是____。

（2）求二次函數y=x2-4x+5的最小值及y=-x2-4x+5的最大值。

師生活動：對于（1）引導學生通過類比問題3及追問2，將（x-1）看成一個整體，得到：y=2（x-1）2+1的最小值是：y=1，y=-2（x-1）2+3的最大值是y=-3。對于（2）引導學生思考，如果能將y=x2-4x+5轉化為（1）中完全平方式的代數結構，就可以求出它的最小值，可以通過配方法將其轉化，教師演示配方過程：y=x2-4x+4-4+5，y=（x-2）2+1，因為（x-2）2≥0，故y≥1，故y的最小值為1。同理可求得：y=-x2-4x+5的最大值為9。

設計意圖：使學生深刻理解二次函數具有最值這一性質，并學會通過配方法求二次函數的最值。

教師提出初中二次函數還有一種常見的表達式：y=a（x-h）2+k（a，h，k為常數，a≠0）。從代數結構來看，y=a（x-h）2+k具有完全平方式的代數結構特征，變量更加集中，方便求二次函數的最大或者最小值。

教師追問3.將y=-3x2+9x-5化成y=a（x-h）2+k這樣的形式，并求它的最值。

師生活動：讓學生思考解答，教師再講解。

設計意圖：強化將一般式轉化為頂點式的方法。

（三）總結復習，形成單元學習脈絡

教師總結本節課所學的知識要點，并通過希沃軟件展示課堂上例題中的幾個二次函數圖象，讓學生對二次函數圖象形成初步認識：二次函數的圖象是一條具有對稱性的曲線，且有最高點或者最低點，并設置問題引發學生思考二次函數圖象為什么會有這樣的性質？能否從代數推理角度進行思考，這也為后續課程的銜接教學設置了“錨點”。最后，類比一次函數單元的學習展示本單元學習的主要內容及研究路徑：

【參考文獻】

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