關注階段性，落實“數(shù)與運算”的一致性

摘 要：《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》對課程內容進行了結構化整合，將“數(shù)的認識”和“數(shù)的運算”統(tǒng)稱為“數(shù)與運算”.主題的結構化整合體現(xiàn)了相關內容之間的關聯(lián)，每一個主題具有一致性的學科本質.然而，學生的學習是一個循序漸進的過程，同一個主題內容在不同階段具有不同的表現(xiàn)形式和水平.因此，教師在實際教學中既要關注一致性，又要明確階段性，需要處理好一致性與階段性的關系.本文以“數(shù)與運算”的一致性和階段性教學為例，致力于將其在相關學段或單元的階段性表現(xiàn)體現(xiàn)在具體的教學設計之中，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).

關鍵詞：階段性；數(shù)與運算；一致性

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）指出，數(shù)的運算教學要讓學生“經歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法”“感悟數(shù)的運算以及運算之間的關系，體會數(shù)的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識”.^［1］

筆者在教學蘇教版《義務教育教科書數(shù)學三年級下冊》中“簡單的小數(shù)加、減法”時發(fā)現(xiàn)，一方面，要著力引導學生探索并掌握一位小數(shù)加、減法的算法和算理；另一方面，還要讓學生初步體會小數(shù)加、減法和整數(shù)加、減法的內在關聯(lián).從數(shù)的運算本質講，它們具有一致性，即相同計數(shù)單位的累加或遞減.然而，對于三年級的學生而言，在學習“簡單的小數(shù)加、減法”時，他們還沒有系統(tǒng)地學習小數(shù)的意義、數(shù)位和計數(shù)單位.學生對于數(shù)的運算本質上一致性的理解不是一蹴而就的，所以在教學中，教師既要關注一致性，又要重視階段性，需要處理好一致性與階段性的關系.^［2］

本文以“簡單的小數(shù)加、減法”一課的教學為例，談談自己的實踐與思考，以期為教學提供一些有益的參考.

1 喚醒經驗，鏈接新知，搭建知識遷移橋梁

建構主義教學理論主張教學要以學生為主體，以學生已有的知識經驗為基礎，從學生已有的知識經驗中“生長”出新的知識經驗.“簡單的小數(shù)加、減法”一課屬于“小數(shù)的初步認識”單元，本單元教學的重點是初步理解小數(shù)部分是一位小數(shù)的含義.學生在前面的學習中已經初步認識了一位小數(shù)，“簡單的小數(shù)加、減法”的學習是在學生初步理解一位小數(shù)含義的基礎上進行的.因此，如何喚醒學生對一位小數(shù)已有的知識經驗，并正向遷移到本節(jié)課的學習中，從而更加深刻地理解算理、掌握算法是本節(jié)課需要突破的難點.為了幫助學生突破上述難點，筆者注意引導他們聯(lián)系對一位小數(shù)含義的已有認識，進行回憶和思考.

課前導入時，教師通過課件出示“數(shù)學”與“學數(shù)”兩個詞匯，引導學生思考數(shù)學的學習內容，并調換兩個字的位置活躍課堂氣氛，巧妙引入數(shù)的多樣性，包括整數(shù)、分數(shù)和小數(shù).學生積極回應已學過的數(shù)的類型，特別是最近學習的小數(shù).為了喚醒學生對小數(shù)含義的理解，教師讓學生說出具體的小數(shù)，如0.5，并鼓勵學生聯(lián)想相關情境或圖形.學生給出多種答案，如0.5元的價格、把正方形平均分成10份涂其中的5份表示0.5等，展示了他們對小數(shù)含義的深入理解以及數(shù)形結合的思考方式.

為了加強學生對小數(shù)表現(xiàn)形式的認識，教師先后出示了表示0.1和0.5的正方形圖，通過動畫演示直觀展示涂色部分與小數(shù)的對應關系.在視頻的引導下，學生不僅能準確辨別0.1和0.5，還能通過數(shù)涂色部分小直條的數(shù)量確定小數(shù)值.這一過程鍛煉了學生的觀察能力，加深了他們對小數(shù)表現(xiàn)形式的理解.學生厘清了一位小數(shù)的含義及表現(xiàn)形式后，學習后續(xù)“簡單的小數(shù)加、減法”時，就能借助前期經驗，深刻理解算理.

2 多元表征，明理悟法，強化運算本質理解

教師需要在“數(shù)與運算”的教學中，合理設置算理和算法對應的關聯(lián)環(huán)節(jié)，將算理和算法自然交融.計算教學中可以合理安排動手操作活動，讓學生利用多元表征等方式厘清思路，在比較和交流中感悟表征方式之間的相互融通，明晰數(shù)與形的聯(lián)系、算理與算法的聯(lián)系，從而真正掌握算法、理解算理，提高運算能力.

在本節(jié)課的教學中，教師可以出示問題情境“老師在微信群里搶到了4個紅包，①號紅包0.5元，②號紅包0.7元，③號紅包2.8元，④號紅包3.4元，你能提出哪些一步計算的問題”.學生自由提問后，先聚焦解決“①號紅包和②號紅包一共多少元”，在學生列出算式“0.5＋0.7”后，教師提出核心問題“0.5＋0.7應該怎樣計算，為什么可以這樣計算”.學生充分借助人民幣、正方形圖、計數(shù)器和豎式計算等多種模型進行了“化新為舊”的探索，從直觀到半直觀、半直觀到半抽象、半抽象再到抽象，通過三個層次的多元表征展開說理辨析，在觀察、操作和對比等活動的基礎上，對“0.5＋0.7”的算理和算法進行探究與討論.

2.1 擺人民幣：將小數(shù)加法轉化為整數(shù)加法

在解決“0.5＋0.7”的問題時，學生將小數(shù)轉化為整數(shù)進行計算.通過擺人民幣，學生先將0.5元和0.7元分別轉化為5角和7角，然后利用整數(shù)加法得出5角＋7角＝12角，也就是1.2元.這種方法不僅降低了問題的難度，還幫助學生理解了小數(shù)加法的本質，即相同計數(shù)單位的數(shù)相加.

2.2 繪制計數(shù)器與正方形圖：去單位化，直觀展示小數(shù)加法

在沒有具體情境的情況下，學生可以借助圖形來理解.例如，通過繪制計數(shù)器或正方形，學生直觀地看到小數(shù)的相加過程.在計數(shù)器圖中，學生創(chuàng)造性地在“個位”的右邊再畫一個數(shù)位來表示小數(shù)部分，并通過珠子的數(shù)量來表示小數(shù)的大小，清晰地看到0.5和0.7分別表示5個0.1和7個0.1，相加后得到12個0.1，即1.2.同樣，在正方形圖中，學生可以將正方形平均分成若干份，通過涂色來表示小數(shù)的大小.這些圖形工具的使用不僅幫助學生理解了小數(shù)加法的計算方法，還培養(yǎng)了他們的空間想象力和邏輯思維能力.

2.3 豎式計算：抽象成數(shù)學符號，提升運算能力

如果不用這些材料和工具，有的學生也能夠遷移運用整數(shù)加法豎式的方法，來對小數(shù)加法“0.5＋0.7”進行豎式計算.在計算中，學生發(fā)現(xiàn)原來整數(shù)中最低位是個位，而現(xiàn)在是小數(shù)點后面的一位.由此，豎式計算中發(fā)生了兩處細微的變化：一是數(shù)位對齊時增加了小數(shù)部分的數(shù)位；二是運算順序從由個位算起延伸到從低位算起.這種變化不是必然發(fā)生的，它是學生對加法算理充分感知后的創(chuàng)造，是經驗激活后的有效遷移.

此外，為了幫助學生更好地理解算理，教師可以組織學生觀察、比較不同方法之間的相同之處，透過形式抓本質，深刻感悟“相同單位上的數(shù)才能直接相加”這一基本原理.學生經歷操作、觀察、比較等思維過程，真正做到“知其然，又知其所以然”.這樣教學，實現(xiàn)了抽象的數(shù)學符號與形象的操作活動之間的內在溝通，將“明理”和“悟法”有機結合，使得學生不僅掌握了方法，還理解了方法背后的數(shù)學道理.

3 整體建構，溝通聯(lián)系，感悟知識內在一致性

數(shù)學本身具有嚴密的邏輯性，而教材內容一般分散編排，按照學生的年齡特點和認知規(guī)律分散在不同學段，所以學生的數(shù)學學習具有階段性.從蘇教版小學數(shù)學教材內容的編排來看，關于“小數(shù)的加、減法”的教學，被劃分為兩個階段：第一階段安排在三年級下冊，內容是“簡單的小數(shù)加、減法”，要求學生在初步理解一位小數(shù)含義的基礎上，能結合具體情境，會進行一位小數(shù)的加、減法運算，了解運算的一致性，形成數(shù)感、符號意識和運算能力；第二階段安排在五年級上冊，內容是“筆算小數(shù)加法和減法”，要求學生在掌握了整數(shù)加、減法和一位小數(shù)加、減法以及小數(shù)的意義的基礎上，能結合具體情境，會進行小數(shù)加、減法運算，感悟運算的一致性，發(fā)展運算能力和推理意識.因此，基于新課標和教材，厘清這兩個階段的內容要求、學業(yè)要求和教學提示，有利于教師有結構地教學，也有助于學生有關聯(lián)地學習.

基于以上認識，筆者在教學完本課的例題后，首先引導學生回顧整數(shù)加減法的計算方法，如“50＋70”的計算，通過計數(shù)器撥珠和豎式計算等方式，讓學生明白其算理是“5個10＋7個10＝12個10”.接著出示小數(shù)加法“0.5＋0.7”的探究過程，學生通過回憶得出“5個0.1＋7個0.1＝12個0.1”這一算理.

隨后，對比整數(shù)和小數(shù)的豎式計算，不僅發(fā)現(xiàn)計算方法相似，即從低位算起，還進一步感悟，無論是整數(shù)還是小數(shù)加法，本質上都是在算“5個（ ）＋7個（ ）＝12個（ ）”，其背后的計算道理也是一致的.經歷這樣的學習過程，學生將不同學段學習的加法計算連點成線，形成同一體系，有助于他們建立與完善系統(tǒng)的結構化知識體系，豐富已有的思維過程，并積累思維活動經驗.

值得注意的是，對于三年級的學生來說，本節(jié)課是他們初次接觸“小數(shù)加、減法”，還未系統(tǒng)地學習小數(shù)的“數(shù)位”和“計數(shù)單位”，在教學時教師不能用第三學段時才應該達成的學段目標來要求和評價正處于第二學段的學生.因此，新課標理念下的數(shù)學教學不能急于求成，只關注到一致性，也應重視階段性，聚焦當下，循序漸進，逐步達標.

4 結語

新課標理念下“數(shù)與運算”的教學需要基于整體的視角關注一致性，引導學生整體建構知識，幫助學生形成結構化的認識.同時，還要重視階段性，按照學生認知發(fā)展的節(jié)奏，把握好學段目標和課時目標，讓學生充分經歷理解算理和掌握算法的過程.如此，學生才能立足數(shù)學思考探究計算本質，真正地做到在理解算理的基礎上掌握算法，從而提升運算能力和思考能力，使發(fā)展核心素養(yǎng)的課程目標在數(shù)學課堂上落地生根.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］馬云鵬.如何理解“數(shù)與代數(shù)”領域學習內容的一致性和階段性［J］.小學教學（數(shù)學版），2023（3）：4-6.