借幾何畫板促深度學習發生

摘" 要：幾何畫板是一款易學且功能強大的軟件，它的基本元素為點、線、圓，通過對這些基本元素的變換、構造、計算、跟蹤軌跡等，構造出較為復雜的圖形。這款軟件以其精確的度量與計算、智能的幾何變換、直觀的動態演示等功能受到廣大數學教師的青睞。將這些強大的功能巧妙地運用于小學數學課堂教學，化靜態為動態、化抽象為直觀，可以助力學生思考問題的本質，促進深度學習的發生。

關鍵詞：幾何畫板；小學數學；深度學習；核心素養

文章編號：1671-489X（2025）01-00-03

DOI：10.3969/j.issn.1671-489X.2025.01.0

0" 引言

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“課程理念”中提出促進信息技術與數學課程融合：“合理利用現代信息技術，提供豐富的學習資源，設計生動的教學活動，促進數學教學方式方法的變革。在實際問題解決中，創設合理的信息化學習環境，提升學生的探究熱情，開闊學生的視野，激發學生的想象力，提高學生的信息素養。”[1]在數學課堂教學中合理地利用幾何畫板，不僅能夠激發學生的學習興趣，而且能夠引領學生思考問題的本質，促進深度學習的發生，提升學生的核心素養。

1" 在小學數學課堂教學中借助幾何畫板促

進深度學習發生

1.1" 在枯燥乏味處借助幾何畫板激發學生的探究欲望

愛因斯坦曾說：“興趣是最好的老師。”數學課堂教學中可以借助幾何畫板激發學生的學習興趣，引導學生積極思考，鼓勵學生質疑問難，引導學生在真實情境中發現問題、提出問題。

以“三角形的內角和”一課教學為例，通常的教學思路是讓學生經歷“觀察—猜想—驗證—結論—應用”的過程，多個版本的教材教案都是組織學生先量角，得到三角形的內角和在180°左右，進而提出猜想：是不是所有三角形的內角和都是180°？然后教師組織學生動手操作去驗證。可在實際的教學過程中，筆者發現學生并不能產生驗證的愿望，其原因有兩個。

一是部分學生課前已經知道三角形的內角和是180°的結論，并對此深信不疑。在量一量的環節，學生先量出兩個角的度數，然后用180°減去這兩個角的度數，得到第三個角的度數，再把三個角的度數相加，正好得到180°。學生的操作違背了推理的原則，把需要驗證的結論當作條件來使用。

二是部分學生課前并不知道結論，但是對三角形的內角和沒有探究的欲望，只是在教師的引領下被動去測量。

那么，在“三角形的內角和”這節課上如何去激發學生的探究欲望，讓學生主動去關注角的變與不變呢？筆者利用幾何畫板成功吸引學生的注意力，激發學生的探究熱情。

本課伊始，筆者打開幾何畫板，利用線工具繪制一個三角形，然后讓學生到屏幕前任意選擇一個頂點進行拖動，引導學生仔細觀察。在拖動的過程中，學生的注意力被迅速吸引，很快發現一條邊不變的情況下，三角形的形狀、大小（周長）在不斷發生變化。筆者適時引領：“你們觀察得非常仔細，絕大多數同學都關注到了邊的變化。想一想：我們除了關注邊的變化，還可以關注什么？”學生馬上想到還可以去關注角。此時，筆者利用幾何畫板的測量功能，實時呈現三個角的度數，然后再次拖動其中一個頂點，讓學生聚焦角的度數的變化情況。學生發現當被拖動的頂點的角度數不斷變大時，另外兩個角的度數不斷變小；而當被拖動的頂點的角度數不斷變小時，另外兩個角的度數不斷變大。筆者進行總結：“有的角的度數變大，有的角的度數變小，你們都在關注變化的量，那么有沒有不變的量呢？”在筆者的引領下，學生猜想三個角的度數之和是不是不會發生改變。他們有了自己的猜想，進而就有了探究的欲望，在整個引入過程中表現得興趣濃厚。

借助幾何畫板，動態演示不斷變化的三角形，在變與不變中激發學生的探究熱情，引發學生積極思考。

1.2" 在思維難點處借助幾何畫板促進學生的想象

小學生以形象思維和具體思維為主，空間想象能力需要在教師的引領下進一步發展。線段、直線和射線的知識是小學階段“圖形與幾何”部分最基礎、但又最特殊的知識，其他的圖形與幾何的知識都是由現實世界中得到的，而直線、射線在現實世界中是找不到的。低年級小學生對長方體和正方體的認識是通過對現實生活中的具體物品進行抽象實現的，他們可以進而認識圖形的特征，而由于線段、直線和射線的特殊性，這種教學方法不再可行。以往教學時會引入案例：手電筒射出的光線可以近似地看作射線，兩個手電筒背對在一起射出的光線可以近似地看成直線。可學生認為手電筒射出的光線的范圍是有限的，這樣的舉例顯得缺乏說服力。教學線段、直線和射線時需要超越現實生活意象，讓學生張開想象的翅膀。

對線段的有限性，學生能夠輕松理解，而直線和射線的無限長是他們理解的難點。如何讓學生充分感知射線和直線無限長的特征，真正建立射線和直線的表象呢？借助幾何畫板可以輕松解決這個難題。在教學這節課的時候，筆者事先用幾何畫板分別畫出線段、射線、直線這三種線型，其中線段的兩個端點和射線的一個端點都在屏幕邊界的外面，并隱藏了三種線型上的點。課上組織學生觀察這三條線，學生一致認為這三條線一模一樣，只是位置不同。此時，筆者請一名學生上來拖動這三條線，其他學生觀察。當該學生用鼠標向左或向右拖動第一條線的時候，大家看到線開始和結束的點。筆者讓學生概括這條線的特征，學生想到“有始有終”這個詞。在此基礎上，筆者讓另外一名學生拖動第二條線，大家在他拖動的過程中發現，這條線有開始的地方，但沒有結束的地方，向右拖，線一直延伸。學生總結這條線的特征為“有始無終”。拖動第三條線時，學生發現無論是向左拖動還是向右拖動，都找不到開始和結束的地方，總結這條線的特征為“無始無終”。在學生總結的基礎上，筆者介紹這三條線的名稱。

借助幾何畫板，學生對直線和射線的無限長有了充分的感知，真正建立了直線和射線的表象。

1.3" 在傳統教具無法實現處借助幾何畫板發展學生的空間觀念

空間觀念是小學階段核心素養的重要表現之一，主要是指對空間物體或圖形的形狀、大小及位置關系的認識[1]。形成空間觀念有助于理解現實生活中空間物體的形態與結構，其是形成空間想象力的經驗基礎[1]。

小學數學教學中圓的面積推導過程主要是讓學生感受等積變形、極限等數學思想方法，進一步增強其空間觀念，發展數學思維，提升核心素養。在以往的教學中，教師通常用傳統教具把圓平均分成16份或32份，然后拼成一個近似的長方形，再引導學生想象如果把圓平均分成64份、128份……會怎樣。對于空間觀念較差的學生來說，他們還是無法在頭腦中想象平均分的份數越多，越接近長方形的相應畫面。傳統教具很難實現把圓分成更多的份數，而利用幾何畫板則能輕松實現，只要輸入所需要的份數，它就可以即時按照輸入的數據把圓等分，完成剪拼的動畫過程，使學生能夠充分感知極限思想。

除了把圓等分再拼成近似的長方形來推導圓面積的公式外，教師還可以引導學生繼續思考，把一個圓看成是由無數個從小到大的同心圓構成的。教師提問：“把這些從小到大的同心圓沿半徑剪開拉直，會變成什么樣？”在學生想象、匯報之后，教師用幾何畫板動態演示將一個一個同心圓展開變成三角形，引領學生尋找原來的圓和三角形之間的關系，進而用另一種方法推導出圓面積的公式，使學生感受化曲為直的思想。

把圓等分再拼成長方形可以用傳統教具實現，但同心圓展開變成三角形，只能依靠現代信息技術實現，這展現出現代信息技術手段無可比擬的優勢。總之，利用幾何畫板幫助學生推導圓的面積公式，發展了學生的空間觀念，促進了深度學習的發生。

1.4" 在言不及義處借助幾何畫板讓數據直觀化，培養學生的數據意識

數據意識主要是指對數據的意義和隨機性的感悟[1]。每次收集到的數據可能不同，而只要有足夠的數據，就可能從中發現規律[1]。形成數據意識有助于學生理解生活中的隨機現象，逐步養成用數據說話的習慣[1]。

在“可能性的大小”這節課中有一個經典的拋硬幣實驗，這個實驗的目的是讓學生感受單次實驗數據的隨機性和感受大量重復實驗的規律性。在這節課中設計以下兩個環節：

猜一猜：拋之前，先猜測自己所拋的硬幣什么面朝上。

拋一拋：上述實驗每人完成10次，記錄自己拋硬幣的結果。

學生通過上述實驗感受到了單次實驗數據的隨機性。筆者引導學生思考：“每次拋硬幣，出現正面朝上和背面朝上的可能性相等，每一次拋的結果與上一次拋的結果無關。每個人都拋了10次，是幾次正面朝上，幾次反面朝上呢？為什么正面和反面的可能性相等，但拋10次出現正面和反面的次數卻不一樣呢？原因是實驗次數較少，如果實驗次數無限多，正面朝上和反面朝上的頻數就會趨于相等。”在學生分析的基礎上，筆者用幾何畫板演示“拋硬幣”過程，并用條形統計圖記錄實驗的結果。

利用幾何畫板能夠快速地收集數據，讓學生聚焦實驗數據的變化，實現傳統教學中難以實現的效果，幫助學生發現統計規律，發展學生的數據分析能力，體現信息技術在數學實驗課上的價值。

1.5" 在思而不得處借助幾何畫板，讓數形結合更直觀

我國著名數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休。”在小學數學課堂教學中，教師要引領學生學會用數形結合的方法分析和解決問題。

在“圓柱的表面積”一課探究圓柱的表面積公式的過程中，教師首先引導學生思考圓柱的表面積包括哪些部分，在明確包含側面積和兩個底面積之后，放手讓學生自主去探究表面積的計算方法。多數學生想到了把圓柱體沿著高剪開，展開得到一個長方形，通過尋找長方形的長和寬與圓柱各部分之間的關系，推導出圓柱的側面積=底面周長×高，在此基礎上得出圓柱的表面積=側面積+兩個底面積，用字母表示為：S表=2πrh+2πr2。

在學習完圓柱表面積的計算方法后，筆者發現在實際計算時由于計算量較大，很多學生計算出現錯誤。為了減小運算量，筆者又做了相關設計，引導學生思考：“如何讓表面積的計算變得更加簡單？為了簡化計算，可以把公式進行怎樣的變形？”學生想到利用乘法分配律進行簡算，將公式簡化為S表=2πr（h+r）。教師繼續追問：“誰能從圖形的角度解釋這樣計算的道理？”學生思考后遇到困難，于是教師用幾何畫板動態演示把圓柱體的側面展開，得到一個長方形；然后把上下底面各自進行64等分，把上下底面都拼成一個近似的長方形，并把這兩個長方形再橫向拼在一起，放在側面展開圖的上面。學生恍然大悟：這樣的展開圖，長就是底面周長，而高就是圓柱的高和半徑的和。通過幾何畫板的演示，以形助數，可以讓學生知其然并知其所以然。

2" 幾何畫板在數學課堂教學中應用的注意" "事項

2.1" 幾何畫板輔助課堂教學，要遵循適合、適時的原則

幾何畫板的優勢不言而喻，但在使用時要遵循適合、適時的原則，并不是所有的教學內容都適合用幾何畫板動態呈現。在小學階段的圖形與幾何部分，圖形的各種變換如平移、旋轉、軸對稱，以及圖形的面積、體積推導過程，比較適合用幾何畫板動態呈現，而數與代數部分數的概念的教學就不適合用幾何畫板去呈現。在使用幾何畫板的時候，教師要把握幾何畫板呈現的時機，在興趣激發時、在重難點突破處適時呈現，幫助學生更好地理解知識的本質，提升學生的核心素養。

2.2" 幾何畫板輔助課堂教學，不能越俎代庖，剝奪學生的主體地位

教師在使用幾何畫板時切記不能用畫板的動態演示效果代替學生的想象，也不能縮短學生的思維過程。如在教學圓的面積時，有些教師直接用幾何畫板動態呈現平均分的份數越多，拼成的圖形越接近長方形，這樣學生就成了“看客”，對等積變形、極限思想也就無法深刻體驗。教師在教學中不能剝奪學生的主體地位，要給學生充分的思考時間，應該在學生想象的基礎上利用幾何畫板驗證學生的想象，化抽象為具體，讓學生經歷知識的發生、發展過程，深度學習才能真正發生。

2.3" 幾何畫板與其他教學軟件、傳統教具相結合，相得益彰

幾何畫板的強大功能能夠幫助教師深挖數學的本質，促進深度學習的發生，但幾何畫板的書寫功能還有缺陷，如利用幾何畫板演示時，無法在課件上進行即時板書。若將幾何畫板和希沃白板等其他教學軟件以及傳統教具、板書相互結合使用，取長補短，定能讓數學課堂教學更高效。

3" 結束語

借助幾何畫板，化靜態為動態、化抽象為直觀，將枯燥的知識變得生動形象，可以促進教學方式和學習方式的變革，讓學生深度參與學習，加深對知識的理解，在探尋數學本質的過程中不斷提升核心素養。

4" 參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.