二次函數圖象與系數的關系問題探究

摘要：根據二次函數圖象判斷有關系數或代數式的符號問題，是初中數學的重要題型，也是最近幾年中考的熱點，考查數形結合這一重要數學思想.這種思想貫穿于數學知識之中，在中考中占有重要的地位，判斷二次函數系數符號正負問題要熟練掌握并靈活運用數與形之間的的巧妙轉換技巧.

關鍵詞：二次函數系數；圖象；解題技巧

1 利用二次函數系數符號研究函數性質

對于利用二次函數的系數來研究函數圖象的問題，首先要根據題意判斷三個系數的符號，然后將題目中所要研究的有關對稱軸、函數值大小等問題等價轉化為這三個系數表示的代數式，借助系數符號判斷所要研究的函數的有關性質正確與否［1］.

例1 拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，clt;0）經過（1，1），（m，0），（n，0）三點，且n≥3.下列四個結論正確的是（" ）.

A.blt;0

B.4ac－b2lt;4a

C.當n=3時，若點（2，t）在該拋物線上，則tgt;1

D.若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有兩個相等的實數根，則0lt;m≤13

解：圖象經過點（1，1），由clt;0，知拋物線與y軸的負半軸有交點.如果拋物線的開口向上，則拋物線與x軸的交點都在點（1，0）的左側.

又因為拋物線經過點（n，0），且n≥3，所以

拋物線與x軸的一個交點一定在點（3，0）處或在點（3，0）的右側.

所以，拋物線的開口一定向下，即alt;0.

把點（1，1）代入y=ax2+bx+c，得a+b+c=1，即b=1－a－c.

由alt;0，clt;0，可知

bgt;0.

故選項A錯誤.

由alt;0，bgt;0，clt;0，可知

cagt;0.

所以方程ax2+bx+c=0的兩個根的積大于0，即mngt;0.

又n≥3，所以

mgt;0.

所以m+n2gt;1.5.

所以，拋物線的對稱軸在直線x=32的右側.

所以，拋物線的頂點在點（1，1）的右側.

所以4ac－b24agt;1.

又4alt;0，所以

4ac－b2lt;4a.

故選項B正確.

因為拋物線的對稱軸在直線x=32的右側，所以點

（1，1）到對稱軸的距離大于點（2，t）到對稱軸的距離.

結合圖形可知，距離拋物線對稱軸越近的點其對應的函數值越大，則

tgt;1.

故選項C正確.

方程ax2+bx+c=x可變為ax2+（b－1）x+c=0.

由該方程有兩個相等的實數解，得Δ=（b－1）2－4ac=0.

又1－b=a+c，則（a+c）2－4ac=0，即（a－c）2=0，

于是a－c=0，即a=c.

因為（m，0），（n，0）在拋物線上，所以

m，n為方程ax2+bx+c=0的兩個根.

于是可得mn=ca=1，則n=1m.

又n≥3，則1m≥3，解得

0lt;m≤13.

故選項D正確.

綜上所述，正確答案為選項BCD.

點評：本題主要考查拋物線上點的坐標特征、拋物線與x軸的交點、二次函數與一元二次方程的聯系、一元二次方程根的判別式等，解決的核心就是利用數形結合思想、待定系數法、數形結合法、二次函數與一元二次方程的聯系，考查學生的數學運算等核心素養.

2 利用二次函數圖象研究代數式符號

根據二次函數的圖象判斷有關代數式的符號問題，關鍵就是要明確拋物線的開口方向、對稱軸的位置是在y軸的左側還是右側，以及拋物線與y軸交點的位置是在y軸的正半軸還是負半軸等.

例2 二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖1所示，有下列結論：

①abclt;0；②b2－4aclt;0；③2agt;b；④（a+c）2lt;b2；⑤一元二次方程ax2+bx+c－2=0有兩個不相等的實數根；⑥當x1lt;x2lt;0時，y1lt;y2.其中正確的有（" ）.

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

解：由函數圖象的開口向下，得alt;0.由函數圖象與y軸的正半軸相交，得cgt;0.由對稱軸x=－b2alt;0，得blt;0.所以abcgt;0，故①錯誤.

由圖可知，拋物線與x軸有兩個交點，所以

Δ=b2－4acgt;0，故②錯誤.

由對稱軸x=－b2agt;－1，得bgt;2a，故③錯誤.

由圖可知：當x=－1時，ygt;0，則a－b+cgt;0，即（a+c）－bgt;0;當x=1時，ylt;0，則

a+b+clt;0，即（a+c）+blt;0.

所以［（a+c）+b］［（a+c）－b］lt;0.

所以（a+c）2－b2lt;0.

所以（a+c）2lt;b2，故④正確.

而ax2+bx+c－2=0即ax2+bx+c=2，由圖可知此方程沒有實數根，故⑤錯誤.

由圖可知，當x1lt;x2lt;0時，y1lt;y2或y1gt;y2，

故⑥錯誤.

故選答案：A.

點評：根據二次函數的圖象判斷代數式的符號問題時，要認真研究圖形的特點和特殊點，從中獲得判斷符號正負的核心信息.對于比較困難的代數式符號問題，要仔細審核題目給出的隱藏信息，可以考慮根據某些等式進行相互之間的關聯分析，或許可以迅速解決問題.

3 利用二次函數系數不等式研究圖象

利用二次函數的有關系數不等式來研究二次函數圖象，在解決問題時，注意使用數形結合思想，將有關的“形與數”有機結合，找到它們之間的聯系，特別要注意圖象的開口方向、關鍵點的坐標，以及各項系數與圖象的對應關系等.

例3 已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），給出下列結論：①abclt;0；②方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一個根大于2且小于3；③若（0，y1），32，y2是拋物線上的兩點，則y1lt;y2；④6a+2cgt;0；⑤對于任意實數m，都有m（am+b）≥a+b.該二次函數圖象的對稱軸是直線x=1，根據該函數的圖象（如圖2），上述結論正確的是.

解：因為拋物線開口向上，所以

agt;0.

由二次函數圖象與y軸的交點在負半軸，得clt;0.

由對稱軸在y軸的右側，可知-b2agt;0.又agt;0，

所以blt;0，則abcgt;0，故①錯誤.

設拋物線與x軸負半軸的交點橫坐標為x1，與x軸另一交點橫坐標為x2，由對稱軸是直線x=1，

得x2－1=1－x1.由圖得－1lt;x1lt;0，則1lt;1－x1lt;2，可得2lt;x2lt;3，故②正確.

由對稱軸是直線x=1，得1－0gt;32－1，又agt;0，所以y1gt;y2，故③錯誤.

由對稱軸是直線x=1，得－b2a=1，

則b=－2a.由圖知當x=－1時，ygt;0，

即a－b+cgt;0，所以a－（－2a）+cgt;0，即

3a+cgt;0，則6a+2cgt;0，故④正確.

由對稱軸是直線x=1及agt;0，得

ymin=a+b+c.當x=m時，y=am2+bm+c，

則am2+bm+c≥a+b+c，即m（am+b）≥a+b，

故⑤正確，符合題意.

綜上所述，正確答案為②④⑤.

點評：本題考查二次函數圖象與系數的關系，解決問題時要注意利用拋物線的開口方向、對稱軸方程，以及拋物線與直線的交點個數進行推理，針對每個選項進行認真剖析和判斷.另外，要注意數形結合思想的巧妙運用.

綜上所述，二次函數系數與圖象之間的內在聯系問題，是中考的熱點和難點，涉及的知識點比較多，解決的方法比較靈活，且這類問題往往比較全面地考查學生對于二次函數知識點的掌握情況，學生需要熟練掌握二次函數解析式中系數a，b，c分別代表的含義，將其與二次函數圖象聯系起來.另外，要牢牢抓住二次函數三個系數的各種內在聯系及有關性質，如此才可以有通透的理解，提升數學核心素養［2］.

參考文獻：

[1]陳小菊.深度探究參數 促進思維生長——以“二次函數中二次項系數a的再探究”為例[J].初中數學教與學，2023（20）：20-22.

[2]曹瑾.中考數學二次函數壓軸題常見題型及解題策略[J].數理天地（初中版），2024（5）：50-52.