數據分析，直觀想象

在概率與統計模塊知識中，經常借助頻率分布直方圖給出對應的數據信息，這已經成為數學練習題中的一種常見方式。基于頻率分布直方圖的直觀形象與數據信息，有圖表有數據，能有效考查直觀想象、數學分析及數學運算等核心素養，成為考試命題中的基本知識點之一。本文基于頻率分布直方圖的場景創設，就其不同的應用類型與考查方向加以實例剖析，以期拋磚引玉。

一、中位數與百分位數的估算

例1某校為了解高一學生在五一假期中參加社會實踐活動的情況，抽樣調查了其中的100名學生，統計他們參加社會實踐活動的時間（單位：h），并將統計數據繪制成如圖1所示的頻率分布直方圖。

（1）估計這100名學生在這個五一假期中參加社會實踐活動的時間的眾數、中位數及平均數;

（2）估計這100名學生在這個五一假期中參加社會實踐活動的時間的第75百分位數（結果保留兩位小數）。

解析：（1）由頻率分布直方圖可看出最高矩形底邊上的中點值為20，故眾數是20。

由（0.02+0.06+0.075+a+0.025）×4=1，解得a=0.07。

因為（0.02+0.06）×4=0.32，且（0.02+0.06+0.075）×4=0.62，所以中位數位于18～22之間。

設中位數為x，則x-18/22-18=0.5-0.32/0.62-0.32，解得x=20.4，故中位數是20.4。

平均數為（0.02×12+0.06×16+0.075×20+0.07×24+0.025×28）×4=20.32。

（2）因為（0.02+0.06+0.075）×4=0.62，（0.02+0.06+0.075+0.07）×4=0.9，所以第75百分位數位于22～26之間。

設第75百分位數為y，則y-22/.26-22=0.75-0.62/0.9-0.62，解得y=22+137≈23.86。

點評：基于頻率分布直方圖的直觀想象與數據信息，估算對應數據的百分位數的方法（其中中位數即50%分位數）：①找出百分位數所在的矩形區間[a，b）;②設組距為d，計算可得第k百分位數為a+d×（（k/100-a處之前的頻率和）/區間[a，b）的頻率）"。