透過現象尋本質，超越技能悟思想

數軸是一個非常重要的數學工具，它使數和直線上的點建立起對應關系，可以用它揭示數與形之間的內在聯系，它是數形結合的基礎。在教學過程中，由于對數軸的教學設計，很多老師只是停留于數軸的技能性作用，將數軸作為一種數學工具，側重于“如何畫數軸”“數軸如何表示數”和“數軸如何比較有理數的大小”等顯性數學技能的操練，而忽略更深層次的價值與作用。因此，教師有必要深入挖掘數軸的隱性價值，促進學生對數軸的深度理解。下面，筆者從學生的思維認知特點出發，結合北師大版七年級數學上冊教材談談對“數軸”的理解以及教學設計中的問題。

一、用“圖形”研究“數量”

經過小學階段的學習和生活的經驗，學生已經從溫度、海拔高度等日常生活中的一些量中初步了解了負數。因此，北師大版教材的設計思路是：回顧小學學習經驗——認識負數——從“正有理數”擴充到“有理數”。雖然學生在生活中已使用負數，但負數是一個非常抽象的數學概念，學生仍然很難理解負數的本質與意義。在數學發展的歷史上，人類也是經歷了漫長而曲折的過程才認識了負數；歷史上有一些著名的數學家甚至不承認負數，因為0是當時認識的數中最小的數，不可能存在著比最小的數更小的數，直到19世紀，負數才最終獲得普遍承認，真正成為數系中的一員。所以，初一學生對負數概念的認識仍依賴于現實生活經驗，理解水平在很長一段時間會停留在“經驗性”層次。而借助數軸，將抽象的“數”通過可觀可感的“幾何圖形”表示出來，增進數的“直觀性”理解：既然原點的一側表示一類數（正數），那么另一側應該有另一類數（負數），這樣的結構才是對稱而完備的。因此，數軸的作用就不僅僅是標示數的一個“工具”，更大的作用是將數的內涵特征“可視化”，從而促進對數的理解從“經驗性”層次到“直觀性”層次，再上升到“結構性”層次。

數既有大小，又分正負。那么，如何通過圖形將數的“大小”與“正負”統一起來，并形象直觀地表達出來？課本作了很好的示范和解讀：在這條數軸上，+3可以用位于原點右邊3個單位長度的點表示，4可以用位于原點左邊4個單位長度的點表示。 這里用“單位長度”來表示數的“大小”（“單位長度”成為數量大小的基準），用“原點左右”來區分數的“正負”，原點向右為正，原點向左為負（“原點”作為區分“正負”的基準）。那么，數軸的“三要素”（原點、單位長度、正方向）就可以有這樣的理解：三要素確定了數大小正負的基準。當缺少三要素中任意一要素時，所畫的直線就不是數軸的原因是不僅是違反了數學中的“規定”，更深層的理由是無法完備地表達數的“大小”與“正負”特征。看似冷冰冰的“數學規定”背后蘊含著數學表達的合理要求。

二、從“有限”走向“無限”

中國科學院院士、中國科學院數學與系統科學研究院研究員席南華在《數學的意義》報告中指出：數學非常重要的一個作用是能夠認識無限，這是別的學科做不到的。通過數學能夠認識無限，這既是數學特有的作用，但也是數學學習的難點。只有突破了學習上的困難，才能發揮數學的認識作用。在教材中，用不同顏色重點標注出這樣一條結論：任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示。這一結論看似簡單，但包含了無限的思想。“任何”即“沒有例外”，“任何一個有理數”表示“所有的有理數”，而有理數是無限的。很多老師忽視學生認知上的難點，將此結論當成既定的事實直接講給學生聽，相應的例題練習也一帶而過，造成學生對結論似懂非懂，只能把它當成公式定理來記憶；既增設了學生深入理解的障礙，學生也錯過了思維訓練的機會。另外，初一是從算術到代數的轉折階段，研究對象將從“具體之數”過渡到“任意之數”，研究范圍也從“常量”過渡到“變量”，思考的方式也從“確定性”過渡到“不確性”。這種轉變過程雖然困難而緩慢，甚至會出現反復和倒退，但轉變的進程不可逆，既是必然也是必須的。因此，在教學上既要顧及學生思維認知轉變上的困難，更要通過合理的設計去促進這種轉變的進行，以提升學生的認知能力。

為了突破認知難點，讓學生從“有限”認識“無限”。課本設計了“結論的探索過程”和“結論的應用過程”兩個環節：（1）結論的探索過程：讓學生用數軸分別表示4個有代表性的有理數：①正整數+3；②負整數4；③正分數；④負小數.這些有理數，具有代表一類數的作用與特點，將它們在數軸上用一個點來表示，讓學生認識到和它們同類的數也可以在數軸上用點來表示，那么其他“任何”有理數就可以在數軸上用一個點來表示，完成由“特殊”到“一般”的歸納過程，讓“有限”擴展至“無限”。（2）結論的應用過程。由“特殊事例”歸納得到的“一般結論”，屬于合情推理，處于個人知識構建的前階段——猜想。若學生對猜想的結論，不利用原有的知識體系進行合理解釋或意義建構，其原來的思維過程就會被打斷，結論也就不能納入個人原有的知識體系。

三、由“已知”通向“未知”

正有理數的大小比較是以客觀世界中的實物數量為基礎，符合人的實際生活經驗，可數可感可信，易于為學生接受。負數概念比較抽象，難于一下子理解和接受；同時，由于學生缺乏負數使用的直接經驗，會導致在操作負數過程出現思維困難。因此，利用有形的數軸，通過“數的位置”來比較“數的大小”，實質上是利用“形的直觀”化解“數的抽象”，從而有效地避開直接操作負數上的困難。

課本讓學生觀察數軸（如圖2），并提出探究問題：數軸上的兩點，右邊點表示的數與左邊點表示的數有怎樣的大小關系？

學生經過觀察、思考、交流，容易得出結論：數軸上，右邊的點的數總比左邊的大。教師教學用書給出的教學建議是利用生活經驗促進理解，例如由溫度計的使用知識易知比的溫度高，從而。這是借助實物來說明結論的合理性，也就是“實物類比”，雖有助于學生的形象理解，但顯然缺少數理上的解釋，無法達到邏輯上的認同。學生“以物為據”，認可了結論的正確性，缺失的是“有理有據”的數學思考，沖淡了“數學”的味道！既然學生已經掌握了正數的大小比較，那么觀察數軸上表示正數的點的位置，容易發現“正數大的點位于正數小的點的右邊”，也即是“對于正數，數軸上兩個點表示的數，右邊的總比左邊大”。由“正數的比較”得到的結論，遷移得到“負數的比較”，從而實現由“已知”通向“未知”的跨越，也在一定程度上幫助學生的思維從“具體運算階段”向“形式運算階段”發展。

責任編輯 邱 麗