如何培養學生分類討論的數學思想

分類討論就是這樣一種重要的數學思想方法，是自然科學乃至社會科學中最基本的邏輯方法，自然也是每年全國各地中考壓軸題必考的數學思想方法之一。分類討論思想不像一般數學知識那樣，通過幾節課的教學就能掌握。它要根據學生的認知規律，逐步滲透，螺旋上升，不斷豐富內涵。一般來說，教師在教學活動中可按以下三個步驟引導學生建立分類討論的思想，學會分類方法，揭示分類討論思想的本質，自覺合理地運用分類討論的思想解決問題，形成能力。

一、滲透分類討論思想

初中教材中分類討論的思想無處不在。很多定義、定理、公式本身是分類定義、分類概括的。七年級上冊教科書在引進負數的概念后，將有理數按定義分為整數和分數，按正負性分為正有理數、0、負有理數。思考：—a一定是負數嗎？這時就要引導學生對a按正負性進行分類討論。在絕對值這個知識點中，正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0，在定義上對絕對值進行了分類。七年級下冊教科書中不等式的性質2：不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等式號的方向不變；不等式的性質3：不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等式號的方向改變。這兩個不等式的性質都蘊含著分類討論的思想。這種在日常教學中有意識、有計劃、有步驟地滲透，能使學生在學習的過程中逐步領悟和接受解決問題中的分類討論思想，明確分類討論的思想是解決某些數學問題的一種重要有用的思想方法。

二、積累分類討論經驗

分類討論是重要的數學思想方法，但初中生常常分類討論的意識不強，不知道哪些問題需要分類及如何合理的分類。這就需要教師在教學中結合教材，舉一些符合大綱要求且學生能夠接受的，需要區分種種情況進行討論的問題，啟發誘導，揭示分類討論思想的本質，積累分類討論的經驗。

問題1：已知等腰三角形的一邊長等于5，一邊長等于6，求它的周長。等腰三角形的一個角是80°，它的另外兩個角是多少度？

問題2：已知一個直角三角形兩條邊長為3，4，求第三條邊的長.

問題3：在一個半徑為10的圓中，有兩條平行弦的長度分別為12與16，那么這兩條弦之間的距離為（ ）

A．2 B．6"" C．6或14 D．14或2

問題4：在半徑為7cm的圓中，若弦AB＝7cm，則弦AB所對的圓周角的度數是

等腰三角形：如果等腰三角形給出兩條邊求第三條邊或給出一角求另外兩角時，要考慮所給出的邊是腰還是底邊，所給出的角是頂角還是底角分類解決。

直角三角形：在直角三角形中給出兩邊的長度，確定第三邊時，若沒有指明直角邊和斜邊，要注意分情況進行討論，然后利用勾股定理即可求解。

圓：圓的一條弦（直徑除外）對著兩條弧，常分為優弧和劣弧兩種情況討論；求圓中兩條平行弦的距離，常分兩弦在圓心的同旁和兩旁兩種情況討論。

相似三角形：如果題目中出現兩個三角相似，需要討論各邊的對應關系；若出現位似，則要分兩個圖形在位似中心的同旁或兩旁兩種情況討論。

三、創設分類討論情境

問題5：甲、乙兩商場以同樣的價格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優惠方案：在甲商場累計購物超過100元后，超出100元的部分按90%收費；在乙商場累計購物超過50元后，超出50元的部分按95%收費．設顧客累計購物x元（x＞100），請根據x的值，確定顧客到哪家商場購物花費少？

這是一道經典的分類討論的題目，此題分三種情況討論是關鍵：①若到甲商場購物花費少，則100+0.9（x-100）＜50+0.95（x-50）；②若到乙商場購物花費少，則100+0.9（x-100）＞50+0.95（x-50）；③若到甲，乙商場購物花費一樣多，則100+0.9（x-100）＝50+0.95（x-50），

分類討論的策略大致有以下幾個步驟：首先要明確需要討論的對象，以及討論對象所包含的全體范圍；其次是要確定科學的分類標準，正確進行合理分類，即標準統一、不漏不重，然后對所分種類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；最后是進行歸納小結，綜合得出結論。掌握用分類討論思想解題的關鍵是搞清楚哪些情況下會引起分類討論，下面就引起分類討論的一些常見情況進行歸納：（1）有些知識本身是分類定義和分類概括的，如絕對值；（2）研究含有參數的方程、不等式和函數時；（3）涉及動態幾何圖形和位置的問題；（4）開放性的數學問題。

責任編輯 邱 麗