圓錐曲線最值問題探究

摘要：近幾年高考中的圓錐曲線最值問題常常以弦長最值、離心率范圍，以及與圓錐曲線相關的三角形或四邊形的面積或周長最值問題的形式出現.本文中選取橢圓和雙曲線的兩道試題，進行深入探討，引導學生掌握此類題型的解題思路，并形成有效的解題策略.

關鍵詞：圓錐曲線；最值；策略探究

1 利用函數性質求最值

圓錐曲線的最值問題是高中數學的一個難點，這類問題往往與動點、動直線等知識點緊密相關.解題的關鍵在于根據題意，巧妙地引入參數，并靈活運用圓錐曲線的基礎知識.在解題過程中，要特別注意利用韋達定理、弦長公式、距離公式等工具，將問題轉化為關于某個變量的函數式.

例1 （2024·山東臨沂高三檢測）已知動圓的圓心在x軸上，且該動圓經過點（－4，0），（x，0），（0，y）.

（1）求點（x，y）的軌跡C的方程；

（2）設過點E（－1，0）的直線l交軌跡C于A，B兩點，若A（x0，4），G為軌跡C上位于點A，B之間的一點，點G關于x軸的對稱點為點Q，過點B作BM⊥AQ，交AQ于點M，求|AM|·|AQ|的最大值.

解析：（1）根據題意，因為動圓的圓心在x軸上，所以設圓心坐標為（a，0），半徑為r.

由題意可得（a+4）2=a2+y2，即y2=8a+16.

由圓心是點（－4，0），（x，0）所連線段的中點，

由中點坐標公式可得a=12（x－4）.代入y2=8a+16可得y2=4x，故點（x，y）的軌跡C的方程為y2=4x.

（2）根據題意可知，點A（x0，4）在拋物線C上，則42=4x0，所以x0=4，即A（4，4）.

由于過點E（－1，0）的直線l交軌跡C于A，B兩點，則直線l的斜率為44－（－1）=45，故l的方程為y=45（x+1）.

聯立y2=4x和y=45（x+1），得y2－5y+4=0，

解得y=1或y=4，故有B14，1，則B關于x軸的對稱點為B′14，－1.由題意，結合圖1知，直線AQ的斜率存在，設為k，直線AB′的斜率為kAB′=43，則kgt;43.

設直線AQ：y－4=k（x－4）kgt;43，Q（xQ，yQ），M（xM，yM）.

因為點Q在拋物線C上，則y－4=k（x－4），y2=4x，可得y2－4ky+16k－16=0，所以yAyQ=16k－16，則yQ=4k－4，xQ=y2Q4=41k－12.

因為BM⊥AQ，所以直線BM的方程為y－1=－1kx－14.

由y－1=－1kx－14，y－4=k（x－4），得xM=4k2－3k+14k2+1.

因為|AM|·|AQ|=AM·AQ=（xM－4，yM－4）·（xQ－4，yQ－4）

=（xM－4）（xQ－4）+（yM－4）（yQ－4）

=（xM－4）（xQ－4）+k2（xM－4）（xQ－4）

=（k2+1）×（xM－4）（xQ－4）

=（k2+1）4k2－3k+14k2+1－4

×

41k－12－4〗

=24k2+18k－15k2=－151k2+18×1k+240lt;1klt;34，所以當1k=－182×（－15）=35時，即k=53時，|AM|·|AQ|取到最大值，最大值為1475.

2 利用基本不等式求最值

例2 （2024·福建福州高三檢測）已知雙曲線C和橢圓x24+y2=1有公共焦點，且離心率e=62.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）如圖2，過點P（2，1）作兩條相互垂直的直線PM，PN，分別交雙曲線C于不同于點P的M，N兩點，求點P到直線MN距離的最大值.

解析：（1）因為橢圓x24+y2=1的焦點在x軸上，

所以雙曲線C的半焦距c=4－1=3.又因為e=ca=3a=62，所以a=2，b=c2－a2=1.

所以雙曲線C的方程為x22－y2=1.

（2）當直線MN的斜率不存在時，設M（x0，y0）（y0gt;0），則N（x0，－y0）.此時

PM=（x0－2，y0－1），PN=（x0－2，－y0－1），

則PM·PN=（x0－2，y0－1）·（x0－2，－y0－1）=0，

即（x0－2）2－（y20－1）=0.

整理得x20－4x0－y20+5=0.

由x20－4x0－y20+5=0，x202－y20=1，可解得x0=6，y0=17，或x0=2，y0=1（舍去），所以M（6，17），N（6，－17）.此時點P到直線MN的距離為6－2=4.

當直線MN的斜率存在時，設M（x1，y1），N（x2，y2），直線MN的方程為y=kx+m.

聯立y=kx+m，x22－y2=1，消去y并化簡整理，可得（2k2－1）x2+4kmx+2m2+2=0.又因為判別式是

Δ=16k2m2－4（2k2－1）（2m2+2）=－16k2+8m2+8gt;0，則m2－2k2+1gt;0.由韋達定理可知x1+x2=－4km2k2－1，x1x2=2m2+22k2－1.

根據已知條件，可得

PM·PN=（x1－2，y1－1）（x2－2，y2－1）=0.

所以（x1－2）（x2－2）+（y1－1）（y2－1）=（x1－2）＼5（x2－2）+（kx1+m－1）（kx2+m－1）=（k2+1）

×x1x2+（km－k－2）（x1+x2）+m2－2m+5

=（k2+1）·2m2+22k2－1+（km－k－2）·－4km2k2－1+m2－2m+5=0.將該式子整理，可得m2+8km+12k2+2m－3=0，

即（m+2k－1）（m+6k+3）=0.由于P直線MN，所以1≠2k+m，所以m+6k+3=0，所以m=－6k－3.

函數y=m2-2k2+1=（－6k－3）2－2k2+1=34k2+36k+10開口向上，又其判別式Δ1=－362－4×34×10=1 296－1 360=－64lt;0，所以m2-2k2+1gt;0恒成立，故直線MN的方程為y=kx－6k－3，即kx－y－6k－3=0.

所以點P到直線MN的距離

d=|2k－1－6k－3|k2+1=4|k+1|k2+1.

所以d42=k2+1+2kk2+1=1+2kk2+1.

當k≤0時，1+2kk2+1≤1；當kgt;0時，1+2kk2+1=1+2k+1k≤1+22k·1k=2，

當且僅當k=1k，即k=1時等號成立.

所以d42≤2，則d4≤2，所以d≤42.

綜上所述，點P到直線MN距離的最大值為42.

近年，在新高考背景下，圓錐曲線的最值和范圍問題逐漸成為統考壓軸題的熱點.這類問題全面考查解析幾何的重要知識點、數形結合法以及高中數學的其他核心思想方法，綜合性強，解題方法靈活多變，能夠真實反映學生的數學運算能力和問題解決能力，因此具有很高的區分度.解決這類問題的關鍵在于識別核心變量，建立不等關系或運用數學建模思想研究最值或函數值域問題.在求解過程中，需要準確分析題目中的變量，選擇適當的方法建立不等關系，確定變量范圍，并找到相關變量的函數關系式.最后，結合導數或基本不等式等知識，利用變量范圍和函數關系式求出函數的值域，從而找到最值.通過這種強化思維的訓練，學生可以多動腦、多思考，學會靈活運用所學知識點和數學思想方法來探究和解決問題，不斷提升數學抽象、數學運算及邏輯推理等數學核心素養水平.