抽象函數(shù)常考題型例析

抽象函數(shù)問(wèn)題是近年高考數(shù)學(xué)中的一個(gè)高頻考點(diǎn)，故必須引起我們的高度重視.基于此，本文中著重闡述抽象函數(shù)常考題型，旨在通過(guò)歸類舉例解析的形式，具體說(shuō)明常用解題思維方法、解題技巧，進(jìn)一步提高對(duì)抽象函數(shù)問(wèn)題的分析、求解能力，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 判斷抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性

根據(jù)題設(shè)條件，分析抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性時(shí)，均需要對(duì)已知含變量的等式靈活“賦值”.通過(guò)探尋f（-x）與±f（x）滿足的關(guān)系等式，有利于根據(jù)定義準(zhǔn)確判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；通過(guò)探尋f（x2）與f（x1）的大小關(guān)系，有利于根據(jù)定義準(zhǔn)確判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

例1 已知定義在（-∞，+∞）上的函數(shù)y=f（x）滿足以下兩個(gè)條件：①函數(shù)的值域?yàn)椋?1，1），且當(dāng)xgt;0時(shí)，-1lt;f（x）lt;0；②x，y∈（-∞，+∞）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）1+f（x）f（y）.

（1）判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性，并加以證明；

（2）判斷函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性，并加以證明.

解析：（1）函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，具體證明如下.

取x=y=0，則根據(jù)條件②得f（0）=2f（0）1+f2（0），解得f（0）=0，或f（0）=±1（這與函數(shù)的值域?yàn)椋?1，1）矛盾，故應(yīng)舍去），因此f（0）=0.

取y=-x，于是根據(jù)條件②可得f（0）=f（x）+f（-x）1+f（x）f（-x），結(jié)合f（0）=0可得

f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x）.

又y=f（x）的定義域?yàn)椋?∞，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù).

（2）函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，具體證明如下.

任取x1，x2∈（-∞，+∞），且x2gt;x1，因?yàn)閤2-x1gt;0，所以根據(jù)條件①知

-1lt;f（x2-x1）lt;0.

取x=x2，y=-x1，則根據(jù)條件②得f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）1+f（x2）f（-x1）.又由y=f（x）是奇函數(shù)，可得f（-x1）=-f（x1），所以可得f（x2-x1）=f（x2）-f（x1）1-f（x2）f（x1）.

因?yàn)楦鶕?jù)條件①知f（x1）∈（-1，1），f（x2）∈（-1，1），則有f（x1）f（x2）∈（-1，1），所以可得1-f（x2）f（x1）gt;0.于是，結(jié)合f（x2-x1）lt;0，可知f（x2）-f（x1）lt;0，即f（x2）lt;f（x1）.

故根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可知函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減.

評(píng)注：本題設(shè)計(jì)較好，側(cè)重考查抽象函數(shù)的性質(zhì)以及推理證明，而證明的關(guān)鍵在于考慮函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的定義，對(duì)含有變量的已知等式巧妙“賦值”，以便根據(jù)定義獲證.

2 利用抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解題

抽象函數(shù)問(wèn)題中常常會(huì)設(shè)計(jì)求解不等式的子問(wèn)題，而解不等式的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，因而解題時(shí)需要分析函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，有助于順利分析、解決目標(biāo)問(wèn)題.

例2 已知定義在D=（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足對(duì)于x，y∈D，恒有f（xy）=f（x）+f（y）成立，且滿足當(dāng)xgt;1時(shí)，f（x）gt;0.

（1）證明：fxy=f（x）-f（y）；

（2）若f（-2）=1，解不等式f（1-2x）lt;-2.

（1）證明：對(duì)于x，y∈D，根據(jù)題設(shè)條件可得f（x）=fxy·y=fxy+f（y），所以

fxy=f（x）-f（y），故得證.

（2）解：由f（-2）=1，得f（4）=f=f（-2）+f（-2）=1+1=2.

于是，不等式f（1-2x）lt;-2，即為f（1-2x）+2lt;0，亦即f（1-2x）+f（4）lt;0，再變形可得f（4-8x）lt;0，且滿足x≠12.

因?yàn)閷?duì)于x，y∈D，恒有f（xy）=f（x）+f（y）成立，所以取x=y=1可得f（1）=2f（1），化簡(jiǎn)得f（1）=0，從而需要求解不等式f（4-8x）lt;f（1），其中x≠12.

接下來(lái)，分析函數(shù)f（x）的奇偶性、單調(diào)性.

取x=y=-1，根據(jù)題設(shè)條件可得f（1）=f=f（-1）+f（-1）=2f（-1），而f（1）=0，所以2f（-1）=0，化簡(jiǎn)得f（-1）=0.

于是，取y=-1，根據(jù)題設(shè)條件得f（-x）=f（x）+f（-1），再根據(jù)f（-1）=0化簡(jiǎn)得f（-x）=f（x），又注意到函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），顯然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以可知函數(shù)f（x）是偶函數(shù).

對(duì)于任意的xgt;ygt;0，因?yàn)閤ygt;1，所以根據(jù)題設(shè)條件“當(dāng)xgt;1時(shí)，f（x）gt;0”可得fxygt;0.于是，根據(jù)（1）的結(jié)論可知f（x）-f（y）=fxygt;0，所以f（x）gt;f（y），從而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義即得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

下面求解不等式f（4-8x）lt;f（1）.先由f（x）是偶函數(shù)可將不等式等價(jià)變形為f（|4-8x|）lt;f（1），再由f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增以及x≠12可得|4-8x|lt;1，且其中x≠12，解得38lt;xlt;12或12lt;xlt;58.

故所求不等式f（1-2x）lt;-2的解集為38，12∪12，58.

評(píng)注：利用本題第（1）問(wèn)的結(jié)論，有利于簡(jiǎn)捷證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性.本題第（2）問(wèn)較難，求解關(guān)鍵點(diǎn)在于以下幾點(diǎn).一是等價(jià)轉(zhuǎn)化需要求解的目標(biāo)不等式；二是準(zhǔn)確分析函數(shù)f（x）的奇偶性、單調(diào)性；三是靈活運(yùn)用函數(shù)f（x）的奇偶性、單調(diào)性解題.

3 利用抽象函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性解題

根據(jù)抽象函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性，能夠求解形如f（x）gt;f（y）型不等式問(wèn)題，求解的關(guān)鍵是充分根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性，靈活脫去對(duì)應(yīng)法則“f”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式問(wèn)題.

例3 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）在，有不等式f（3m+1）≥f（x-2）恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（" ）.

A.-12，12〗

B.

C.0，12〗

D.

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f（x+1）是偶函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.于是，結(jié)合函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增.

如圖1所示，畫(huà)出一個(gè)適合題意的函數(shù)f（x）的圖象.于是，由圖易知不等式f（3m+1）≥f（x-2）等價(jià)于|3m+1-1|≤|x-2-1|，即|3m|≤|x-3|.

因此，根據(jù)題意可知不等式|3m|≤|x-3|對(duì)任意的x∈恒成立，即不等式|3m|≤3-x對(duì)任意的x∈恒成立，所以|3m|≤（3-x）min=3，即|m|≤1.故選：B.

評(píng)注：本題側(cè)重考查函數(shù)的性質(zhì)（涉及函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性）與含參不等式恒成立的交匯，解題關(guān)鍵是綜合運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，借助數(shù)形結(jié)合的方法，將題設(shè)不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為不含對(duì)應(yīng)法則“f”的不等式，從而便于進(jìn)一步分析、解決目標(biāo)問(wèn)題.

總之，只要理解、掌握了處理抽象函數(shù)問(wèn)題的常用策略（即常用解題思維方法、技巧等），那么今后遇到此類問(wèn)題時(shí)，就能夠努力做到以理論指導(dǎo)解題實(shí)踐，實(shí)現(xiàn)解題思路的迅速突破，進(jìn)而獲得目標(biāo)問(wèn)題的順利求解.

參考文獻(xiàn)：

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