合理引參創(chuàng)設(shè)，破解一道立體幾何題

立體幾何場景下的“動態(tài)”與“靜態(tài)”問題，涉及位置關(guān)系、距離長度與角度大小等要素，可合理確定所求值，可巧妙進(jìn)行最值（或取值范圍）判斷，通常是高考數(shù)學(xué)試卷命題中的一個基本考點(diǎn)與創(chuàng)新點(diǎn)，備受各方關(guān)注.

1 試題及分析

題1 （2025屆湖北省武漢市部分學(xué)校高三年級九月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷·14）如圖1，兩個有共同底面的正三棱錐P-ABC與Q-ABC，它們的各頂點(diǎn)均在半徑為1的球面上，若二面角P-AB-Q的大小為120°，則△ABC的邊長為.

在實(shí)際解題時，關(guān)鍵是通過圖形直觀，從邊參視角或角參視角，借助不同思維與方法來分析，巧妙突破幾何與三角、函數(shù)與方程等之間的巧妙轉(zhuǎn)化，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)問題的求解.

此題以兩個同底且“一正一倒”的正三棱錐與對應(yīng)的外接球的組合體為試題場景，設(shè)計(jì)巧妙.

2 試題破解

2.1 邊參思維

解法1：邊參法.

依題，設(shè)外接球的球心為O，AB的中點(diǎn)為D，根據(jù)題設(shè)條件可知P，O，Q三點(diǎn)共線，設(shè)PQ∩平面ABC=E，則知E為△ABC的中心，二面角P-AB-Q的平面角為∠PDQ，即∠PDQ=120°，如圖2所示.

令|DE|=x，|OE|=y，則有|OC|2=|OE|2+|CE|2，即1=y2+4x2.

|PD|2=|DE|2+|PE|2=x2+（1+y）2，|QD|2=|DE|2+|QE|2=x2+（1－y）2.

在△PDQ中，利用余弦定理可得2|PD||QD|×

cos∠PDQ=|PD|2+|QD|2－|PQ|2，

則－|PD|×|QD|=2x2+2y2－2=－6x2，即|PD||QD|=6x2=32（1－y2）.

|PD|2|QD|2=[x2+（1+y）2][x2+（1－y）2]=（x2+y2+1）2－4y2=（3y2+5）216－4y2=94（1－y2）2，整理可得27y4－38y2+11=0，即（y2－1）（27y2－11）=0，解得y2=1（舍去）或y2=1127.

于是可得x2=14（1－y2）=427，解得x=233，則有|AB|=3xsin 60°=43，即△ABC的邊長為43.

故填答案：43.

點(diǎn)評：解決此類問題的常規(guī)思維就是合理引入邊參，借助立體幾何問題的空間圖形，合理化立體幾何為平面幾何，借助平面幾何圖形的基本性質(zhì)來合理構(gòu)建邊參之間的關(guān)系式，通過解三角形思維來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)邊參之間的變形與轉(zhuǎn)化，為問題的分析與求解創(chuàng)造條件.這里借助兩個邊參的巧妙引入來處理，結(jié)合勾股定理與余弦定理來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，數(shù)學(xué)運(yùn)算過程比較繁雜，邏輯推理復(fù)雜，解題時要細(xì)致認(rèn)真.

2.2 角參思維

解法2：角參法1.

依題，設(shè)外接球的球心為O，AB的中點(diǎn)為D，根據(jù)題設(shè)條件可知P，O，Q三點(diǎn)共線，設(shè)PQ∩平面ABC=E，則知E為△ABC的中心，二面角P-AB-Q的平面角為∠PDQ，即∠PDQ=120°，如圖2所示.

令|BD|=x，|OE|=y，設(shè)∠PDE=α，∠QDE=β，則有tan α=1+y|DE|，tan β=1－y|DE|，α+β=∠PDQ=120°.

由|DE|2+x2+y2=1，且|DE|=33x，可得43x2=1－y2.

又tan αtan β=1+y|DE|·1－y|DE|=1－y2|DE|2=43x213x2=4，tan α+tan β=1+y|DE|+1－y|DE|=2|DE|=23x，所以

－3=tan∠PDQ=tan（α+β）=tan α+tan β1－tan αtan β=23x1－4，解得x=23，則有|AB|=2x=43，即△ABC的邊長為43.

方法3：角參法2.

依題，設(shè)外接球的球心為O，AC的中點(diǎn)為N，根據(jù)題設(shè)條件可知P，O，Q三點(diǎn)共線，設(shè)PQ∩平面ABC=M，則知M為△ABC的中心，如圖3所示.

設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，則|BM|=r，|MN|=r2，可得OM=1－r2.

設(shè)∠PNM=α，∠QNM=β，則tan α=|PM||MN|=1+1－r2r2gt;0.

同理可得tan β=1－1－r2r2gt;0.

所以tan αtan β=1+1－r2r2·1－1－r2r2=4，tan α+tan β=1+1－r2r2+1－1－r2r2=4r，于是有

－3=tan∠PNQ=tan（α+β）=tan α+tan β1－tan αtan β=4r1－4，解得r=433，則有|AB|=32rsin 60°=43，即△ABC的邊長為43.

點(diǎn)評：解決此類問題的另一常規(guī)思維就是合理引入角參，借助三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用，以及代數(shù)關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化來合理構(gòu)建相關(guān)的關(guān)系式.

3 試題探源

前文所給試題與2024年江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試卷的第8題有很大的相似之處，二者之間存在一些共同點(diǎn).在一定程度上，可以認(rèn)為前文所給試題是由其改編而成的，改編得非常精妙與合理.原考題如下：

題2 〔2024年江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試卷·8〕正三棱錐P-ABC和正三棱錐Q-ABC共底面ABC，這兩個正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一個球面上，點(diǎn)P和點(diǎn)Q在平面ABC的異側(cè)，這兩個正三棱錐的側(cè)面與底面ABC所成的角分別為α，β，則當(dāng)α+β最大時，tan（α+β）=（" ）.

A.－13

B.－23

C.－1

D.－43

4 變式拓展

變式 兩個有共同底面的正三棱錐P-ABC與Q-ABC，它們的各頂點(diǎn)均在同一個球面上，點(diǎn)P和點(diǎn)Q在平面ABC的異側(cè)，這兩個正三棱錐的側(cè)面與底面ABC所成的角分別為α，β，則可得tan αtan β=.

該變式只是題1或題2中的一個過程量，也是立體幾何圖形“動”與“靜”結(jié)合的一個關(guān)鍵產(chǎn)物，借助兩正三棱錐的側(cè)面與底面ABC所成角的正切值之積為定值來設(shè)置，有效實(shí)現(xiàn)立體幾何中動點(diǎn)的“動”與三角函數(shù)關(guān)系式中變量的“靜”之間的巧妙轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

5 教學(xué)啟示

解決此類涉及立體幾何中二面角及其相關(guān)應(yīng)用的取值或最值（或取值范圍）問題，關(guān)鍵在于正確構(gòu)建與之對應(yīng)的空間幾何體及其數(shù)學(xué)模型，借助空間幾何體之間的位置關(guān)系與結(jié)構(gòu)特征，或者相關(guān)動點(diǎn)變化規(guī)律與運(yùn)動情況，巧妙思維，創(chuàng)新應(yīng)用，有效交匯并融合眾多的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，具有較強(qiáng)的綜合性和技巧性，可以很好地考查考生的數(shù)學(xué)“四基”與“四能”，有效實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)試題的選拔性與區(qū)分度.

解題時，巧妙化“動”為“靜”，“動”“靜”結(jié)合，合理化“三維”為“二維”，正確進(jìn)行維度轉(zhuǎn)化.在這個過程中，巧妙引入?yún)?shù)或相關(guān)的變量，通過“靜”態(tài)思維與模型構(gòu)建，結(jié)合相關(guān)的函數(shù)或方程、三角函數(shù)或解三角形、不等式及其應(yīng)用、平面幾何直觀及其他相關(guān)思維等來分析與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)問題的巧妙解決，全面提升數(shù)學(xué)能力，優(yōu)化數(shù)學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).