依托變換巧應用，回歸定義妙轉化

摘要：基于數學問題應用場景的知識應用與思維的展開，是破解數學問題的基本思維方向之一.結合一道三角函數求值的高考真題，從問題條件入手，結合多思維視角切入，從三角恒等變換思維與三角函數定義思維等展開，利用不同技巧解決，探尋三角函數求值的規律與策略，形成數學思維習慣，有效指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：三角函數；求值；三角恒等變換；定義

三角函數的求值及其綜合應用問題，往往能較好地融合三角函數的定義、基本概念、基本公式、圖象與性質等，是三角函數知識模塊的重點與難點之一，成為高考及競賽等命題中的重要知識點.三角函數的求值及其綜合應用問題，知識交匯融合，思維視角多樣，方法技巧多變，是全面考查數學“四基”與數學能力、展示知識交匯與體現方法多樣性的一個重要載體，備受各方關注.

1 真題呈現

（2024年高考數學新高考Ⅱ卷·13）已知α為第一象限角，β為第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=2+1，則sin（α+β）=.

該問題以兩個確定象限范圍的角為問題場景，結合兩角的正切值之和、正切值之積為已知條件來創設問題，進而求解兩角和的正弦值.

問題簡單明了，通過三角函數的場景，利用兩個角所對應的正切值之間的關系來設置問題，進而求解與之相關的兩角和的三角函數值，以“定（量）”創設來求解“定（量）”問題，吻合辯證唯物主義思想.

在具體解決問題時，可以回歸三角函數的本質，利用三角恒等變換思維進行三角轉換與運算，不同的公式應用與切入轉化，對應不同的技巧方法，側重于數學運算與邏輯推理；也可以借助三角函數的定義，利用三角函數定義思維進行三角轉換與運算，結合定義的應用、公式的變形來達到目的.思維視角不同，解題技巧各樣，殊途同歸.

2 真題破解

2.1 三角恒等變換思維

三角恒等變換思維的根本就是借助三角恒等變換公式，合理通過兩角和或差、二倍角公式及三角函數的其他基本公式來綜合與應用.

方法1：三角恒等變換法1.

由于α為第一象限角，β為第三象限角，則知π+2kπlt;α+βlt;2π+2kπ，k∈Z.

由tan α+tan β=4，tan αtan β=2+1，可得

tan（α+β）=tan α+tan β1－tan αtan β=－22lt;0.

所以3π2+2kπlt;α+βlt;2π+2kπ，k∈Z，即α+β為第四象限角.

所以cos（α+β）=cos 2（α+β）sin 2（α+β）+cos 2（α+β）=11+tan 2（α+β）=13，從而可得到sin（α+β）=－1－cos 2（α+β）=－223.故填答案：－223.

點評：這里確定相關角的關系式的取值范圍，成為解決問題的關鍵.

方法2：三角恒等變換法2.

由tan α+tan β=4，tan αtan β=2+1，可得

tan（α+β）=tan α+tan β1－tan αtan β=－22lt;0.

由tan α+tan β=4，可得sin αcos α+sin βcos β=4，整理得sin（α+β）=4cos αcos β.結合α為第一象限角，β為第三象限角，可得sin（α+β）=4cos αcos βlt;0.

所以sin（α+β）=－sin 2（α+β）sin 2（α+β）+cos 2（α+β）=－tan 2（α+β）tan 2（α+β）+1=－223.故填答案：－223.

點評：這里的關鍵就是直接利用所求的三角關系式的正負來分析與應用.

方法3：三角恒等變換法3.

依題，由α為第一象限角，β為第三象限角，可得cos αgt;0，cos βlt;0.

由tan α+tan β=4，tan αtan β=2+1，

可得sin（α+β）=sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β＼5（tan α+tan β）=4cos αcos αβ.

于是，有sin（α+β）=－4cos 2αsin 2α+cos2α×cos2βsin2β+cos2β.

所以，可得

sin（α+β）－41tan 2α+1×1tan 2β+1

=－41tan 2αtan 2β+（tan α+tan β）2－2tan αtan β+1

=－41（2+1）2+42－2（2+1）+1=－223.

故填答案：－223.

點評：對應三角關系式的正負取值確定后，處理起來就比較方便.

2.2 三角函數定義思維

三角函數定義思維的根本就是回歸三角函數的定義，通過對應角的終邊上相關點的坐標及該點到原點的距離來確定對應三角函數的比例值，為進一步分析與求解創造條件.

方法4：定義法1.

由于α為第一象限角，β為第三象限角，則知π+2kπlt;α+βlt;2π+2kπ，k∈Z.

由tan α+tan β=4，tan αtan β=2+1，可得tan（α+β）=tan α+tan β1－tan αtan β=－22lt;0.

根據三角函數的定義，可知tan（α+β）=－22=yx，其中ylt;0，則y=－22x，xgt;0.

所以r=x2+y2=3x，則sin（α+β）=yr=－22x3x=－223.故填答案：－223.

點評：回歸三角函數的定義，是解決三角函數值及其相關綜合問題時比較常用的一種技巧方法.

方法5：定義法2.

依題，由α為第一象限角，β為第三象限角，可得sin αgt;0，cos αgt;0，sin βlt;0，cos βlt;0.

設tan α=mgt;0，tan β=ngt;0.由tan α+tan β=4，tan αtan β=2+1，可得m+n=4，mn=2+1.

根據三角函數的定義，可知sin α=m1+m2，cos α=11+m2，sin β=－n1+n2，cos β=－11+n2.

所以sin（α+β）=sin αcos β+cos αsin β=－m+n1+m2×1+n2=－223，其中這里（1+m2）×

（1+n2）=m2n2+m2+n2+1=（m+n）2+（mn－1）2=18.故填答案：－223.

點評：回歸三角函數的定義，往往是解決問題的突破口與創新應用.

3 變式拓展

（1）類比變式

基于高考真題及其應用，保留問題應用場景，合理類比與拓展，得到以下對應的變式問題.

變式1 已知α為第一象限角，β為第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=2+1，則cos（α+β）=.

（2）深入變式

依托高考真題及其應用，通過合理變形與轉化，不斷深入探究與應用，在此基礎上得到以下對應的變式問題.

變式2 已知α，β均為銳角，tan α+tan β=4sin（α+β），則cos（α+β）的最小值為.

4 教學啟示

4.1 熟練掌握三角公式，把握解題常規方法

涉及三角函數的求值綜合問題，往往要回歸三角函數自身特點，正確理解并掌握三角函數的定義、三角公式，利用三角函數中的同角公式、誘導公式、三角恒等變換公式等加以轉化與變形，這是解決三角函數求值問題中的常規技巧與方法，也是該模塊知識的“基石”所在.

當然，在此基礎上，有時還要綜合三角函數的函數特性、三角函數的幾何性質及三角函數與其他相關知識的應用等來解決一些相關的三角函數求值問題，這都是必須掌握的常規思想方法與技巧策略.

4.2 充分落實“通性通法”，開拓應用“巧技妙法”

解決問題的基本思維方向往往是基于題目場景、題目條件及題目本質或內涵等，從這些基本條件、基本要素等入手，尋找解決問題的切入點，為解題思維的獲取提供更加豐富的信息.

這就要求在實際解題與應用過程中，全面挖掘數學問題的內涵與實質，從問題的本質上獲取一些相關的基本信息，為破解問題“通性通法”的選取奠定基礎；在此基礎上，也為破解問題“巧技妙法”的應用揭開“面紗”.