利用端點(diǎn)效應(yīng)揭示2023年全國(guó)甲卷理科第21題

摘要：2023年全國(guó)甲卷第21題是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性、求參數(shù)取值范圍的相關(guān)知識(shí)，落實(shí)了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).該題是與三角函數(shù)相關(guān)的含參討論問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯分析能力要求較高，在解題過(guò)程中可以充分借助“端點(diǎn)效應(yīng)”解決問(wèn)題.本研究通過(guò)試題分析和一題多解的方式，讓學(xué)生達(dá)到舉一反三的效果.

關(guān)鍵詞：端點(diǎn)效應(yīng)；三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1 真題呈現(xiàn)

（2023年全國(guó)甲卷理科第21題）

已知函數(shù)f（x）=ax-sin xcos 3x，x∈0，π2.

（1）當(dāng)a=8時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）lt;sin 2x，求a的取值范圍.

2 思維分析與思維導(dǎo)圖

2.1 思維分析

對(duì)于第（2）問(wèn)，構(gòu)造函數(shù)是成功解決問(wèn)題的重要一步.構(gòu)造函數(shù)g（x）=sin 2x+sin xcos 3x-ax后可以發(fā)現(xiàn)，端點(diǎn)處恰好有g(shù)（0）=0，符合端點(diǎn)效應(yīng)的特征.在恒成立問(wèn)題中，我們常常能見(jiàn)到類似的命題，如“對(duì)于任意的x∈，都有f（x）≥0恒成立”（f（x）中包含參數(shù)），這里的端點(diǎn)a，b往往是使結(jié)論成立的臨界條件.我們把通過(guò)觀察區(qū)間端點(diǎn)的值來(lái)解決問(wèn)題的方法，稱之為端點(diǎn)效應(yīng).結(jié)合端點(diǎn)效應(yīng)，本題的解題思路可由g′（0）=0得到命題成立的必要條件，從必要條件入手進(jìn)一步尋找充要條件.

對(duì)于在高等數(shù)學(xué)方面有涉足的學(xué)生，可以借助高等數(shù)學(xué)中一些常見(jiàn)的不等式來(lái)幫助解決問(wèn)題.在第（2）問(wèn)中可以嘗試借助帕德逼近和泰勒公式等相關(guān)公式解題，適合基礎(chǔ)較好且對(duì)高觀點(diǎn)解題背景感興趣的學(xué)生.

2.2 思維導(dǎo)圖

第（1）問(wèn)的思維導(dǎo)圖如圖1所示：

討論f（x）=8x-sin xcos3x的單調(diào)性

討論f′（x）=8-cos4x+3sin2xcos2xcos6 x的符號(hào)

解法1：因式分解

分解因式，得f′（x）=

（2cos2x-1）（4cos2x+3）cos4x

解法2：換元轉(zhuǎn)化

f′（x）=8-3cos4x-2cos2x，令t=1cos2x

第（2）問(wèn)的思維導(dǎo)圖如圖2所示：

3 解答

3.1 第（1）問(wèn)的解答過(guò)程

3.1.1 解法1：因式分解

當(dāng)a=8時(shí)，f（x）=8x-sin xcos 3x，x∈0，π2，則

f′（x）=8-cos 4x+3sin 2xcos 2xcos 6x=8-cos 2x+3sin 2xcos 4x=（2cos 2x-1）（4cos 2x+3）cos 4x.

令f′（x）=0，得2cos 2x-1=0，又x∈0，π2，則x=π4.

當(dāng)x∈0，π4時(shí)，cos x∈22，1，2cos 2x-1gt;0，f′（x）gt;0，f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈π4，π2時(shí)，cos x∈0，22，2cos 2x-1lt;0，f′（x）lt;0，f（x）單調(diào)遞減.

3.1.2 解法2：換元轉(zhuǎn)化

當(dāng)a=8時(shí)，f（x）=8x-sin xcos 3x，f′（x）=8-1+2sin 2xcos 4x=8-3-2cos 2xcos 4x=8-3cos 4x-2cos 2x.

令t=1cos 2x，由x∈0，π2可得t∈（1，+∞）.

設(shè)h（t）=8-（3t2-2t）=-（t-2）（3t+4）.

當(dāng)t∈（1，2）時(shí)，有x∈0，π4，f′（x）gt;0，f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)t∈（2，+∞）時(shí)，有x∈π4，π2，f′（x）lt;0，f（x）單調(diào)遞減.

3.2 第（2）問(wèn)的解答過(guò)程

3.2.1 解法1：換元簡(jiǎn)化運(yùn)算

由f（x）lt;sin 2x，可得sin 2x+sin xcos 3x-axgt;0.

設(shè)g（x）=sin 2x+sin xcos 3x-ax，x∈0，π2，

則g′（x）=3-2cos 2xcos 4x+4cos 2x-a-2=3cos 4x-2cos 2x+4cos 2x-a-2.

令t=1cos 2x∈（1，+∞），

設(shè)h（t）=3t2-2t+4t-a-2，則h′（t）=6t-2-4t2gt;6-2-4=0，所以y=h（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)，則h（t）gt;h（1）=3-a.所以當(dāng)h（1）=3-a≥0，即a≤3時(shí)，g′（x）gt;0，g（x）在0，π2上單調(diào)遞增，g（x）gt;g（0）=0.

下面是agt;3時(shí)的情況：

算法1：證明存在區(qū)間（0，α）使得g（x）在（0，α）上單調(diào)遞減且g（0）=0，所以agt;3不成立.

因?yàn)閔（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，且h（1）=3-alt;0，h（t）=t2+2t2-2t+4t-a-2gt;t2-a-2，所以h（a+2）gt;0，所以存在α∈（0，a+2），使得h（α）=0.所以g（x）在（0，α）上單調(diào)遞減，在（α，+∞）上單調(diào)遞增.又因?yàn)間（0）=0，所以g（x）在（0，α）上小于零，不合題意.

算法2：端點(diǎn)效應(yīng).當(dāng)agt;3時(shí)，

此時(shí)g′（0）=3-alt;0，故存在區(qū)間（0，α），使得g′（x）lt;0，所以g（x）在（0，α）上單調(diào)遞減，g（x）lt;g（0）=0，即g（x）在（0，α）上均為負(fù)值，不合題意.

綜上所述，a≤3

端點(diǎn)效應(yīng)的原理：端點(diǎn)效應(yīng)應(yīng)用了函數(shù)極限的原理，在高等數(shù)學(xué)中有鄰域的概念，若不等關(guān)系在區(qū)間上恒成立，則在端點(diǎn)處也要成立.如果f（x）≥0在區(qū)間上恒成立，且滿足f（m）=0，

則當(dāng)k足夠小時(shí)，在區(qū)間內(nèi)f（x）必定單調(diào)遞增，f′（m）≥0;同理，若f（n）=0，則當(dāng)k足夠小時(shí)，在區(qū)間內(nèi)f（x）必定單調(diào)遞減，f′（n）≤0.注意這種情況的使用前提條件.

3.2.2 解法2：端點(diǎn)效應(yīng)確定討論標(biāo)準(zhǔn)（對(duì)運(yùn)算素養(yǎng)要求高）

由f（x）lt;sin 2x，得sin 2x+sin xcos 3x-axgt;0，設(shè)g（x）=sin 2x+sin xcos 3x-ax，x∈0，π2，則可得

g′（x）=3-2cos 2xcos 4x+4cos 2x-a-2，注意到g（0）=0.由題意可知，g′（0）≥0是g（x）≥0成立的必要條件，由g′（0）=3-a≥0得a≤3.

下證充分性，討論agt;3和a≤3.

當(dāng)a≤3時(shí)，g′（x）≥3-2cos 2xcos 4x+4cos 2x-5=（cos 2x-1）2（4cos 2x+3）cos 4xgt;0，所以g（x）在0，π2上單調(diào)遞增，g（x）gt;g（0）=0.

下面是agt;3時(shí)的情況：

算法1：當(dāng)agt;3時(shí)，證明存在區(qū)間（0，α）使得g（x）在（0，α）上單調(diào)遞減，且g（0）=0，所以agt;3不成立.

令h（x）=g′（x）=3-2cos 2xcos 4x+4cos 2x-a-2=3cos 4x-2cos 2x+4cos 2x-a-2，

則

h′（x）=（cos x）′×-12cos 5x+4cos 3x+8cos x=2sin x6-2cos 2x-4cos 6xcos 5xgt;0.

所以h（x）在0，π2上單調(diào)遞增，注意到h（0）lt;0，由解法1可知3cos 4x-2cos 2x+4cos 2xgt;1cos 4x.

所以h（x）=3cos 4x-2cos 2x+4cos 2x-a-2gt;1cos 4x-a-2（注意認(rèn)識(shí)清楚關(guān)鍵部分，大膽放縮至最簡(jiǎn)）.取cos 4t=1a+2，t∈0，π2，則h（t）gt;1cos 4t-a-2=0.所以存在α∈（0，t），使得h（α）=0.所以g（x）在（0，α）上單調(diào)遞減，在（α，+∞）上單調(diào)遞增.

又因?yàn)間（0）=0，所以g（x）在（0，α）上小于零，不合題意.

算法2：端點(diǎn)效應(yīng)，同解法1的算法2.

綜上所述，a≤3.

利用端點(diǎn)效應(yīng)解題步驟：

（1）找必要條件.考慮函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)值是否具有特殊性，利用特殊性縮小范圍：通過(guò)不等式成立的必要條件，初步求出參數(shù)的取值范圍.

（2）證充分條件.在該范圍內(nèi)進(jìn)行討論，驗(yàn)證充分性：通過(guò)判斷函數(shù)單調(diào)性求解，證明必要條件亦即充分條件.

3.2.3 解法3：參變分離，極限說(shuō)明

思維分析：因?yàn)閤∈0，π2，則f（x）lt;sin 2x可化為alt;sin 2xx+sin xxcos 3x，由解法2確定了參數(shù)的取值范圍為a≤3，因此只需要證明3lt;sin 2xx+sin xxcos 3x即可.

解答過(guò)程：下面證明sin 2x+sin xcos 3xgt;3x.令h（x）=sin 2x+sin xcos 3x-3x，則h′（x）=3cos 4x-2cos 2x+4cos 2x-5=（cos 2x-1）2（4cos 2x+3）cos 4xgt;0，所以h（x）在0，π2上單調(diào)遞增，則有h（x）gt;h（0）=0，即sin 2x+sin xcos 3xgt;3x.又因?yàn)閘imx→0sin 2x+sin xcos 3x=0，

所以a≤3lt;sin 2xx+sin xxcos 3x

通過(guò)以上從多個(gè)角度解題的過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是必須具備的條件，而適當(dāng)?shù)慕忸}工具和方法更是可以迅速幫我們找到解題切入點(diǎn).在今后的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)：理解落實(shí)教材，理解概念與過(guò)程，理解方法與模型，理解命題意圖，反思升華思維，基礎(chǔ)訓(xùn)練保證量，難題思維深刻保證質(zhì)，做到“基礎(chǔ)與能力并舉，思想與方法同行”.

4 鏈接

（1）（2015北京卷理科第18題）已知函數(shù)f（x）=ln 1+x1-x.

①求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；

②求證：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）gt;2x+x33.

（2）（2008全國(guó)卷Ⅱ理科第22題）設(shè)函數(shù)f（x）=sin x2+cos x.

①求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

②如果對(duì)任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范圍.

③設(shè)實(shí)數(shù)k使得f（x）gt;kx+x33對(duì)x∈（0，1）恒成立，求k的最大值.