“動”中找“定”，以“靜”制“動”

2022年12月由華東師范大學教師教育學院和湖北大學《中學數學》雜志主辦，上海市普陀區新素養教育服務中心承辦的“高中數學命題比賽”中，筆者有幸參賽并獲得特等獎，現將整個試題的命制過程展現如下，以供大家參考.

原創題 如圖1，熱電廠的冷卻塔采用單葉旋轉雙曲面的形狀，它是由雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面，這種旋轉曲面形狀冷卻塔中間窄底部拓寬，空氣流速加快，且通過計算得出這種雙曲線的切線方向線速度最大，可以達到最大自然通風量，保證冷卻效果.

已知某冷卻塔雙曲線E：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）的焦距為6，其一條漸近線方程為5x－2y=0.

（1）求雙曲線E的方程；

（2）過雙曲線E的左頂點P作圓心為（0，2）的動圓M的兩條切線，分別交雙曲線于B，C兩點，試判斷直線BC是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，說明理由.

1 編寫過程

第一稿：已知雙曲線E：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）的焦距為6，其一條漸近線方程為2x－5y=0.

（1）求雙曲線E的方程；

（2）過雙曲線E的左頂點P作圓心為（0，2）的動圓M的兩條切線，分別交雙曲線于B，C兩點，證明：直線BC過定點.

說明：命題的初衷是直奔主題求直線BC所過的定點，免去對直線斜率不存在或為零等特殊情況的討論，解題過程中發現問題——①得到關于切線斜率k的方程（5－r2）k2－45k+4－r2=0（r為圓半徑），k1k2無定值；②通過GeoGebra演示可發現，即使k1k2的值不確定，依然有定點，但定點不在坐標軸上，這加大了求定點時化簡計算的難度；③為適當降低計算難度，通過命題小組討論將漸近線方程改為5x－2y=0，則k1k2有定值且定點在x軸上，此時通過雙參化單參，為計算提供一定便利，從而得到第二稿試題.

第二稿：將已知條件“其一條漸近線方程為2x－5y=0”改為“其一條漸近線方程為5x－2y=0”.

說明：運算能力一直是很多學生的“短板”，將漸近線方程由2x－5y=0改為5x－2y=0后，通過對切線特殊位置的討論可猜測定點的大致位置，這樣可以引導學生通過“先猜后證”簡化運算量，破解解析幾何運算難的問題.圓錐曲線試題不但要重視計算經驗的積累，也要注重提升學生的發散思維能力.將第（2）問證明題改為了存在性的探究題，給答案設置了不確定性，體現試題的開放性與探索性，從而得到第三稿試題.

第三稿：已知條件不變，第（2）問中“證明：直線BC過定點”改為“試判斷直線BC是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，說明理由”.

說明：為了體現“無情境，不成題”的高考命題思想，以及促進學生了解雙曲線的實際應用背景和雙曲線在生產生活中的應用價值，在第三稿中添加了與雙曲線緊密相關的冷卻塔的知識，從而定稿.

2 試題立意

平面解析幾何課程標準內容要求“了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用；了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它的簡單幾何性質；能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題”;學業要求“能夠根據不同的情境，建立平面直線與圓的方程，建立雙曲線的標準方程，能夠運用代數的方法研究上述曲線之間的基本關系，能夠運用平面解析幾何的思想解決一些簡單的實際問題”.

本題遵照“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”的命題要求，以“三線（核心價值金線、能力素養銀線、情境載體串聯線）”為框架，理解“無價值，不入題”“無思維，不命題”“無情境，不成題”的命題思想.結合經濟社會發展成就、科學技術進步、生產生活實際創設真實情境，考查學生靈活運用所學知識發現問題、分析問題和解決問題的能力.

3 試題分析及思維導圖

本題以冷卻塔為情境、雙曲線方程為載體，考查直線、圓與雙曲線三者的位置關系問題.第一問通過信息符號轉化，用待定系數法求雙曲線方程；第二問設置動直線與動圓相切的問題情境，利用圓心與直線距離公式研究切線PB，PC的斜率關系，這也是本題的創新之處，于動態變化中探究不變性，通過參數的變化求定點坐標.

本題第（2）問的一種方法的思維導圖如圖2所示.

4 試題解析

對于第（1）問，易得雙曲線E：x24－y25=1.

對于第（2）問，分兩種情況.

（ⅰ）當動圓M的半徑為2時，切線PB，PC的斜率一個為0，一個不存在，可知直線BC過定點29，0.

（ⅱ）當切線PB，PC斜率都存在時，如圖3，設過點P的直線l的方程為y=k（x+2）.

因為直線l與圓相切，設動圓M的半徑為r（rlt;2），所以

圓心M（0，2）到直線l的距離為|－2+2k|k2+1=r.

化簡，得（4-r2）k2-8k+4-r2=0.

可知切線PB，PC的斜率k1，k2是上述方程的兩根，得k1k2=1.下面有三種處理方法：

法一：特殊到一般的方法，即根據動點或動直線的特殊情況探索出定點，也就是先猜后證思想，比如定點常在坐標軸上，再證明該定點與變量無關.

設直線PB：y=k1（x+2），B（x1，y1），C（x2，y2）.

聯立y=k1（x+2），x24－y25=1，得

（5－4k21）x2－16k21x－16k21－20=0，

有（－2）·x1=16k21+204k21－5，則B8k21+105-4k21，20k15-4k21.

由k2=1k1，同理可得C10k21+85k21-4，20k15k21-4.

故kBC=y2－y1x2－x1=－180k31+180k1－80k41+80=9k14（k21+1）.

所以，直線BC的方程為

y－20k15－4k21=9k14（k21+1）x－8k21+105－4k21.①

根據雙曲線的對稱性，若定點存在則一定在x軸上，不妨設為（x0，0）.

將點（x0，0）代入方程①，整理得8k21－36k21x0+45x0－10=0，

即（8－36x0）k21+45x0－10=0，此式子與k1無關，則

8－36x0=0，45x0－10=0.

解得x0=29.

綜上所述，可知直線BC過定點29，0.

法二：參數法，即引進動點的坐標或動直線中的參數，其中核心變量是k，b，利用條件找到k，b的關系式，消去參數，得到直線的定點.

設直線BC：y=mx+n（m≠0）.

聯立y=mx+n，x24－y25=1，得

（5－4m2）x2－8mnx－4n2－20=0.

Δ=64m2n2+4（5－4m2）（4n2+20）=80（n2－4m2+5）gt;0.②

設B（x1，y1），C（x2，y2），則

x1+x2=8mn5－4m2，x1x2=4n2+204m2－5.

③

由直線PB，PC斜率之積為1，即y1x1+2·y2x2+2=1，得

（mx1+n）（mx2+n）=x1x2+2（x1+x2）+4.

化簡，得

（m2－1）x1x2+（mn－2）（x1+x2）+n2－4=0.

結合③式，得

（m2－1）4n2+204m2－5+（mn－2）8mn5－4m2+n2－4=0.

化簡，得4m2+16mn－9n2=0，解得n=－29m或n=2m.

當n=－29m時，直線BC：y=mx－29，過定點29，0.

將n=－29m代入②式，解得－98lt;mlt;98（m≠0）.

當n=2m時，直線BC的方程為y=m（x+2），定點（－2，0）與點P重合，不符合題意.

綜上所述，直線BC過定點29，0.

法三：齊次化法，即通過平移圖形或坐標系，使得兩條直線的斜率是關于k的一個齊次方程的兩根，根據韋達定理得到斜率之和、斜率之積，從而簡化運算.

由坐標平移變換X=x+2，Y=y，可得x=X－2，y=Y，代入雙曲線方程得5（X－2）2－4Y2=20.

整理，得4Y2－5X2+20X=0.

設新坐標系下直線BC的方程為mX+nY=1.

進行齊次化，聯立得4Y2－5X2+20X（mX+nY）=0.

變形，得4Y2+20nXY+（20m－5）X2=0.

因為平移坐標后直線PB，PC的斜率不發生變化，即k=YX=yx+2，則

4k2+20nk+（20m－5）=0.

所以k1k2=20m－54=1，解得m=920，代入方程mX+nY=1，可得920X－1+Yn=0.

所以直線BC在新坐標下恒過定點209，0，

則原坐標系下直線BC恒過29，0.

綜上所述，直線BC過定點29，0.

5 試題實測

本試題中等難度，實測人數40人，測試時間15分鐘，試題分值12分，平均得分5.975分，若以9分作為高分，高分率為0.05，分值分布如圖4所示.

主要錯因分析如下：

（Ⅰ）轉化能力不足

在第（2）問中，由直線與圓相切，即圓心到直線的距離等于半徑，轉化得到兩切線斜率之積為定值1，這是本題的關鍵突破點.

（Ⅱ）思維方向不明

在第（2）問中，探究直線過定點的基本思想是確定直線方程，即使用一個參數表示直線方程，根據方程的成立與參數值無關得出關于x，y的方程組，以方程組的解為坐標的點就是直線所過的定點，核心方程是指已知條件中的等量關系.而部分學生無法用一個參數表示直線方程，導致解答過程無法繼續.

（Ⅲ）運算能力欠缺

關于純字母的代數運算，學生會被復雜的形式嚇到而猶豫不決，半途而廢肯定是不會成功的，因此，平時的練習中一定要將每道題做到底，適量復雜的運算，在解析幾何中是難免的，只有多練、勤練才能提高運算能力.

6 參賽體會

通過這次參賽試題的命制過程，筆者進一步理解了高考的基本功能是為不同類型的高校選拔出符合要求的新生，這就決定了高考的內容選取和價值導向必須與高校新生知識和素養構成的要求高度一致；平時在命制試題時要貼合高考命題的宗旨，合理選取情境型材料，以綜合性考查要求的落實為參照；命題要能全面考查學生的關鍵能力，突出考查數學核心素養.因此，教學中要注意歸納相似問題的解決思路和解題策略：設—聯—列—解；存在性問題的解題策略：假設—推理與計算—矛盾.