極點和極線背景下的解析幾何題目命制

摘要：圓錐曲線是高考的熱點和難點，近年來全國多套試卷都出現了以“極點和極線”為背景的題目，本文中在此背景下命制題目，著重考查考生綜合運用函數與方程、化歸與轉化、數形結合等數學思想，以及運算求解、邏輯推理、分析問題和解決問題等能力.

關鍵詞：圓錐曲線；極點極線；數學能力

1 原創命題過程

通過對近幾年解析幾何題目的系統分析，發現這些題目大部分與“極點和極線”有關，著重考查解析幾何中的主干知識、基本思想方法、數學運算核心素養等.筆者結合《中國高考評價體系》的要求，以圓錐曲線中拋物線的“極點和極線”為命題背景設計以下試題.

原創題 在平面直角坐標系中，已知動點P滿足到定點A（1，0）的距離比它到y軸的距離大1，動點P的軌跡為曲線Γ.

（Ⅰ）求曲線Γ的方程；

（Ⅱ）過點B（2，0）的兩條直線m，n分別交曲線Γ于點D，E和M，N（點D，E，M，N均在y軸右側），求證：直線DM與直線EN的交點H在定直線上.

命題思路如圖1所示：

2 試題分析

本題以圓錐曲線中拋物線的“極點和極線”為背景，考查學生的數學運算能力、邏輯推理能力，以及綜合運用函數與方程、化歸與轉化、數形結合等數學思想方法分析問題和解決問題的能力.第（Ⅰ）問考查拋物線的定義以及求動點的軌跡方程問題，要注意“去雜補遺”或分類討論〔不能忽略射線y=0（xlt;0）〕.第（Ⅱ）問考查直線與拋物線相交的問題，通過設出直線DM的方程，代入拋物線方程y2=4x，消元得關鍵方程，結合韋達定理得到點D，M的坐標滿足的等式，類比得到點E，N的坐標滿足的等式.將直線DM與直線EN的方程表示出來，聯立方程消去y，求出交點H的橫坐標為定值－2，從而得到直線DM與直線EN的交點H在定直線x=－2上.

2.1 第（Ⅰ）問的分析

第（Ⅰ）問解題思維導圖如圖2所示.

2.2 第（Ⅱ）問的分析

第（Ⅱ）問解題思維導圖如圖3所示.

注意：試題的具體解析過程可掃碼下載.

3 試題測試情況分析

（1）命題雙向細目分析

命題雙向細目分析如表1所示.

（2）實測得分情況

參與本次試題測試的學生為高三某班全體學生（50人），測試時間共20分鐘，學生已經經過了較為系統的圓錐曲線復習，對圓錐曲線題型有了一定的把握.測試情況為：①有5人得滿分12分；②有3人第一問忽略了射線y=0（xlt;0），第二問全對，得10分；③有10人第一問滿分，第二問沒有計算化簡出來，得8分；④有21人第一問忽略了射線y=0（xlt;0），第二問沒有計算化簡出來，得6分；⑤有2人第一問滿分，第二問沒有多少思路，得6分；⑥有6人第一問忽略了射線y=0（xlt;0），第二問沒有多少思路，得4分；⑦有3人第一問忽略了射線y=0（xlt;0），第二問沒做，得2分.全班平均分5.16分.學生所得分數統計如圖4所示.

從試題測試結果反饋來看，本試題達到了預期要求.分析不難發現，第一問與我們的預設差不多，全班只有17人考慮了射線y=0（xlt;0）的情況，有33人未進行“去雜補遺”而忽略了這種特殊情況.第二問拉開了比較大的差距，正確的只有15人，其中有10人是先利用“極點和極線”背景探索出結論，再進行常規的計算，另外5人是直接計算得結論；其余35人由于運算求解能力不夠、邏輯推理能力不夠或綜合運用函數與方程、化歸與轉化、數形結合等數學思想方法分析問題和解決問題的能力不夠，導致得分不理想.

4 變式問題

變式1 （多選題）在平面直角坐標系中，已知動點P滿足到定點A（1，0）的距離比它到y軸的距離大1，動點P的軌跡為曲線Γ，點B（2，0），過點A的直線交曲線Γ于M，N兩點，設直線MB，NB與曲線Γ的另一個交點分別為D，E（D，E，M，N均在y軸右側），直線DE交x軸于點G，記直線MN，DE的傾斜角分別為α，β，則下列結論成立的是（" ）.

A.曲線Γ的方程為y2=4x

B.點A，B，G的橫坐標依次成等比數列

C.若直線MN，DE相交，則交點Q在直線x=－2上

D.tan（α－β）的取值范圍為－24，24〗

變式2 在平面直角坐標系中，已知動點P滿足到定點A（1，0）的距離比它到y軸的距離大1，動點P的軌跡為曲線Γ，點B（t，0），C（λt，0）（常數tgt;0，常數λgt;1），過點B的直線交曲線Γ于M，N兩點.設直線MC，NC與曲線Γ的另一個交點分別為D，E，記直線MN，DE的傾斜角分別為α，β.

（Ⅰ）求曲線Γ的方程，并證明：直線DE過定點G，且B，D，G三點的橫坐標成依次等比數列；

（Ⅱ）當α－β取得最大值時，求直線AB的方程.

5 反思

試題第一問考查拋物線的定義及軌跡方程的求法，既可用定義法求解，也可用直接法求解，看似送分題，實為易錯題，考生采用定義法容易忽略當xlt;0時的特殊情況，由此可見方法選擇的重要性和嚴謹思考問題的重要性.第二問雖然看起來比較復雜，但在得出直線DM的方程后可以通過類比得到直線EN的方程，同樣，在得出y2y4（y1+y3）=－8（y2+y4）后可以通過類比得到y1y3（y2+y4）=－8（y1+y3），減少一定的計算量；第二問的難點在于將②式化簡為4x=－8，這里考查了過定點的含參問題的構造方式.因此，本題對學生的數學運算能力、邏輯推理能力，以及綜合運用函數與方程、化歸與轉化、數形結合等數學思想方法分析問題和解決問題的能力等方面的考查效果非常不錯，具有良好的導向作用，也有助于發展學生的數學運算、邏輯推理等核心素養.

變式1可作為選做題的壓軸題，雖然有難度，但考生可以拾級而上；變式2對考生運算能力的要求又上了一個臺階，需要進行抽象的字母運算.

命題就像破繭成蝶，在一次次探索、討論、修改與實踐中完成蛻變，逐漸成長.命題有助于提高教師自身的命題能力、解題能力、合作探究能力以及綜合素質，有助于進一步提高教育教學質量，對教研工作具有導向作用，讓我們成為一位更加優秀的教師.