基本不等式應用的技巧

摘要：掌握基本不等式應用的一些基本技巧，是利用基本不等式解決問題的關鍵所在.結合實例，就配湊法、代換法、消元法以及分步法等技巧加以剖析，總結解題技巧，以指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：基本不等式；技巧；配湊；代換；消元；分步

基本不等式是不等式模塊知識中的重要內容，更是數學解題中合理放縮與應用的重要工具.基本不等式的合理放縮與巧妙應用，在很多數學知識點中都有其影子.借助基本不等式的合理放縮與巧妙轉化，合理把握問題的本質與內涵，通過基本不等式應用時必須同時具備的“一正、二定、三相等”這三個基本原則，對條件進行必要的轉化處理與合理變形，成為正確應用的關鍵.本文中將結合實例加以歸納與剖析.

1 系數巧拆分，配湊法應用

對于一些復雜的代數式最值問題，合理比較題設條件與結果所求中代數式的結構特征，借助相關系數的巧妙拆分處理，經常可以考查借助基本不等式放縮中的配湊法來處理.配湊法的實質是合理添加項、拆分項等，使之能夠借助基本不等式的放縮來溝通條件與結果中不同代數式之間的關系，經常通過配系數、湊常數等方式來變形處理.

例1 〔2024屆廣東省湛江市普通高考測試（一）數學試卷〕已知abgt;0，a2+ab+2b2=1，則a2+2b2的最小值為（" ）.

A.8-227

B.223

C.34

D.7-228

解析：由abgt;0，a2+ab+2b2=1，結合基本不等式，

合理配湊得1=a2+ab+2b2=a2+2b2+12a×2b≤a2+2b2+12×a2+2b22=22+122（a2+2b2）.

整理可得a2+2b2≥2222+1=8-227，當且僅當a=2b時，等號成立.

所以a2+2b2的最小值為8-227.

點評：合理對比題設條件與結果中代數式的結構特征，合理加以配湊變形與恒等轉化，利用基本不等式進行巧妙放縮處理.配湊法是處理此類代數式最值問題常用的一種方法.破解問題的關鍵在于合理的配湊變形與恒等轉化，這對數學運算與邏輯推理的素養有較高的要求.

2 齊次化變形，代換法應用

對于一些復雜的代數式最值問題，通過常數與參數之間的關系的巧妙變形與轉化，經常可以借助代換法形式，利用基本不等式的巧妙放縮來處理.依托代換法思維，實現代數式中相關常數與參數之間的變換與轉化，為進一步利用基本不等式的放縮與應用奠定基礎.特別是常數“1”的代換，經常用到.

例2 〔2024屆高三第二次學業質量評價（T8聯考）數學試題〕已知x1，x2是實數，滿足x21+8x22－4x1x2=8，當|x1|取得最大值時，|x1+x2|=.

解析：由x21+8x22－4x1x2=8，齊次化處理并利用基本不等式，

可得

|x1|=22x21x21+8x22-4x1x2

=22x21x21+8x22-2×22x1×22x2

≤22x21x21+8x22-22x12+（22x2）2〗

=22x21x21+8x22-12x21-8x22=4，

當且僅當22x1=22x2，即x1=4x2時，|x1|取得最大值4.

由x1=4x2，結合x21+8x22－4x1x2=8，解得|x2|=1，則有|x1+x2|=5|x2|=5.

所以當|x1|取得最大值時，|x1+x2|=5.

點評：根據題設中的代數關系式，結合所求|x1|取得最大值，給齊次化處理創設條件，進而對比分式中的結構特征，合理進行配湊處理，通過基本不等式來合理放縮并巧妙消元，使得|x1|的最大值得以確定，給問題的求解奠定基礎.

3 雙變元首選，消元法應用

對于一些基于雙變元滿足的方程條件下的復雜代數式的最值問題，借助雙變元之間關系的變形與轉化，經常可以采用消元法，通過基本不等式的巧妙放縮來處理.依托消元法思維，巧妙減元處理，合理將雙變元轉化為單變量問題，為進一步利用基本不等式的放縮與應用提供條件.

例3 〔2024屆遼寧省實驗中學高三第二次月考（10月份）數學試卷〕已知a2+2ab－b2=1，則a2+b2的最小值為.

解析：由于a2+2ab－b2=1，顯然a≠0.設ba=t，則1+2t－t2=1a2gt;0.解一元二次不等式，得1－2lt;tlt;1+2，則0lt;2－2lt;t+1lt;2+2.

將整式齊次式轉化為分式齊次式，并利用基本不等式，

可得a2+b2=a2+b2a2+2ab-b2=1+ba21+2×ba-ba2=1+t21+2t-t2

=（t2-2t-1）+2t+2-t2+2t+1=

2（t+1）-t2+2t+1－1=2（t+1）-（t+1）2+4（t+1）-2－1

=2-（t+1）+4-2t+1－1≥2-2（t+1）×2t+1+4－1=2-22+4－1=1+22－1=22，當且僅當t+1=2t+1，即t=2－1，亦即b=（2－1）a時，等號成立，

所以a2+b2的最小值為22.

點評：根據目標結論中的關系式，利用條件中的關系式進行整體換元，實現消元的目的.在問題題設中對變形后的代數式的某個部分（或特殊結構），經常是將比值、差值等進行整體換元，能夠凸現出某些關系式的特定的解題形式，為進一步巧妙引導、合理求解開拓空間.

4 多層次推進，分步法應用

對于一些比較復雜的多變元代數式的最值問題，特別是其中一些變元之間的“地位”有相同的，也有不相同的，經常可以借助基本不等式放縮中的分步法來處理.分步法處理的依據就是將變元之間的關系進行分層次考慮，逐步消元與減元，多次利用基本不等式的放縮來達到目的.在多次放縮與轉化時，要保證每次放縮時等號成立的一致性與統一性.

例4 （浙江寧波市“十校”2024屆高三3月份適應性考試數學試卷）已知正實數a，b，c滿足b+c=1，則8ab2+abc+18a+1的最小值為.

解析：

合理配湊并整理，可得8ab2+abc+18a+1=a·8b2+1bc+18a+1

=a·8b2+（b+c）2bc+18a+1=a·9b2+2bc+c2bc+18a+1=a·9bc+cb+2+18a+1.

由于b，c為正實數，則由基本不等式可得9bc+cb≥29bc×cb=6，當且僅當9bc=cb，即b=14，c=34時，等號成立.

所以a·9bc+cb+2+18a+1≥8a+18a+1=8（a+1）+18a+1－8≥28（a+1）×18a+1－8=16，當且僅當8（a+1）=18a+1，即a=12時，等號成立.

綜上分析，8ab2+abc+18a+1的最小值為16.

點評：根據題設條件，參數b，c的“地位”相同，而參數a與b，c的“地位”不相同，借助代數式的結構特征，對常數“1”的代換進行齊次化處理，結合代數式的變形利用基本不等式進行第一次放縮；進而通過整體化思想，設“a+1”為元，進行第二次放縮，有效實現最值的突破與求解.合理借助分步法來實現問題的突破與求解.分步法解決代數式最值的根本就是合理綜合應用相應的基本方法（如配湊法、換元法或消元法等）來巧妙轉化.

在利用基本不等式解決一些相關綜合問題時，基于基本不等式應用的“一正、二定、三相等”這三個基本應用原則，綜合利用相關的技巧策略，或系數巧拆分進行配湊，或齊次化變形進行代換，或雙變元首選進行消元，或多層次推進進行分步處理等，充分理解并掌握一些解決問題的“通技通法”，實現問題的突破與巧妙應用.

在實際應用基本不等式的過程中，要合理根據代數式的結構特征，掌握與之相關的技巧策略，合理舉一反三，巧妙融會貫通，靈活變形轉化，巧妙綜合應用，從而養成良好的數學思維習慣，全面提升數學能力.