依托平面幾何基本定理，破解解三角形問(wèn)題

摘要：在高中解三角形應(yīng)用問(wèn)題中，經(jīng)常要用到初中平面幾何中的一些基本定理來(lái)切入與轉(zhuǎn)化.結(jié)合平面幾何中的幾個(gè)比較常見的基本定理的應(yīng)用，如三角形的內(nèi)角平分線定理、中線定理、射影定理以及斯庫(kù)頓定理等，通過(guò)實(shí)例剖析與應(yīng)用來(lái)展開，歸納總結(jié)解題技巧與策略，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：平面幾何；基本定理；解三角形；平分線；中線

在解三角形問(wèn)題中，往往離不開平面幾何圖形的直觀與平面幾何性質(zhì)的應(yīng)用.特別是，結(jié)合三角形中相關(guān)基本定理及其應(yīng)用，如三角形的內(nèi)角平分線定理、三角形中線定理、三角形射影定理以及其他一些重要的定理如斯庫(kù)頓定理等，給解三角形問(wèn)題的切入與應(yīng)用開拓更加寬闊的空間，成為解決解三角形問(wèn)題的重要突破口與切入點(diǎn)之一，備受各方關(guān)注.

1 三角形的內(nèi)角平分線定理

三角形的內(nèi)角平分線定理，是依托三角形的內(nèi)角平分線場(chǎng)景.

例1 〔2024年江西省八所重點(diǎn)中學(xué)高三（4月份）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷·13〕如圖1，在△ABC中，BC=4，角A的平分線AD交BC于點(diǎn)D.若BDDC=13，則△ABC面積的最大值為.

分析：本題依托題設(shè)條件中三角形的內(nèi)角A的平分線AD，結(jié)合三角形內(nèi)角平分線定理，合理構(gòu)建三角形中對(duì)應(yīng)線段之間的比例關(guān)系，能夠給問(wèn)題的進(jìn)一步深入與應(yīng)用創(chuàng)造條件，也是該問(wèn)題切入的一個(gè)重要突破口.

解析：在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別是a，b，c，結(jié)合三角形內(nèi)角平分線定理，有cb=BDDC=13，即b=3c.

在△ABC中，利用余弦定理，可得16=b2+c2－2bccos A，結(jié)合b=3c，整理并化簡(jiǎn)可得

c2=85-3cos A.

所以△ABC的面積S=12bcsin A=12sin A5-3cos A，則5S=12sin A+3Scos A=144+9S2sin（A+φ），可得5S≤144+9S2，解得S≤3，當(dāng)且僅當(dāng)cos A=35，sin A=45時(shí)，等號(hào)成立.

所以△ABC面積的最大值為3.

點(diǎn)評(píng)：借助三角形的內(nèi)角平分線定理，根據(jù)題設(shè)條件，回歸解三角形問(wèn)題的本質(zhì)與內(nèi)涵，借助解三角形中的正弦定理、余弦定理以及三角形的面積計(jì)算公式等，構(gòu)建對(duì)應(yīng)邊與角之間的關(guān)系式，為問(wèn)題的進(jìn)一步探究與應(yīng)用奠定基礎(chǔ).借助解三角形思維，從“數(shù)”的視角來(lái)構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式，或從角所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)關(guān)系式，或從邊所對(duì)應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式等的構(gòu)建，利用代數(shù)思維中的函數(shù)與方程、不等式等相關(guān)知識(shí)來(lái)分析與解決.

2 三角形的中線定理

三角形的中線定理，是依托三角形的中線場(chǎng)景.

例2 〔2024屆廣東省佛山市普通高中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一）高三數(shù)學(xué)試卷·16〕已知△ABC中，AB=2BC=2，AB邊上的高與AC邊上的中線相等，則tan B=.

分析：依托題設(shè)條件中AC邊上的中線，結(jié)合輔助線的構(gòu)建來(lái)找到對(duì)應(yīng)的高線，利用三角形的中線定理來(lái)構(gòu)建對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的深入與應(yīng)用.

解析：設(shè)AC邊上的中線為BD，AB邊上的高為CE=h，如圖2所示，設(shè)BE=x.

在Rt△CEB中，利用勾股定理有

x2+h2=1.

①

在Rt△CEA中，利用勾股定理有

（2+x）2+h2=AC2.

利用三角形的中線定理，可得AC2+4BD2=2（AB2+BC2），即

（2+x）2+h2+4h2=10.

②

由①和②式消去參數(shù)h，可得4x2－4x+1=0，解得x=12，于是h=32，則有∠CBE=60°，∠ABC=120°，故tan B=tan 120°=－3.

點(diǎn)評(píng)：本題主要是根據(jù)題設(shè)條件中三角形的中線，借助三角形的中線定理，以及三角形的高線的輔助，構(gòu)建對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而通過(guò)對(duì)應(yīng)角的求解來(lái)確定對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)值.

3 三角形的射影定理

三角形的射影定理，是依托三角形的場(chǎng)景.

例3 〔2024年山西省部分學(xué)校高考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）〕銳角三角形ABC的內(nèi)角A的對(duì)邊為a，若△ABC的面積是a2，則sin Acos Bcos C的最小值是.

分析：依托題設(shè)條件中所求三角代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到三角形的射影定理所對(duì)應(yīng)的代數(shù)式，借助三角形的射影定理來(lái)創(chuàng)設(shè)，為進(jìn)一步綜合應(yīng)用基本不等式創(chuàng)造條件，實(shí)現(xiàn)最值的求解與應(yīng)用.

解析：由三角形面積公式，可得S△ABC=12bcsin A=a2，即bcsin A=2a2.

利用三角形的射影定理，有a=bcos C+ccos B.結(jié)合△ABC是銳角三角形，則有bcos Cgt;0，ccos Bgt;0.

由基本不等式，可得sin Acos Bcos C=bcsin Abccos Bcos C=2a2（bcos C）（ccos B）≥2a2bcos C+ccos B22=2a2a22=8，當(dāng)且僅當(dāng)bcos C=ccos B時(shí)，等號(hào)成立.

所以sin Acos Bcos C的最小值是8.

點(diǎn)評(píng)：借助三角形的射影定理，源于所求信息代數(shù)式的特征，借助關(guān)系式中兩角余弦值的乘積，考慮到三角形的射影定理中有關(guān)兩角余弦值的代數(shù)式關(guān)系，合理構(gòu)建與轉(zhuǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的切入與應(yīng)用.三角形的射影定理的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用是解題中比較難想到的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，也是解決問(wèn)題的一個(gè)突破口.

4 三角形的斯庫(kù)頓定理

三角形的斯庫(kù)頓定理，是依托三角形的內(nèi)角平分線場(chǎng)景.

例4 在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，AD是∠A的平分線，若AD=3，且BD·CD=1，則sin B+sin Csin A=.

分析：依托題設(shè)條件中AD是∠A的平分線，借助三角形的斯庫(kù)頓定理來(lái)構(gòu)建對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而得以確定三角形兩邊長(zhǎng)的乘積，綜合解三角形中相關(guān)公式、定理等的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的突破與求解.

解析：設(shè)△ABC三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別是a，b，c

由于AD是∠A的平分線，如圖3所示，結(jié)合斯庫(kù)頓定理有AD2=AB·AC－BD·CD=bc－1=3，可得bc=4.

利用三角形面積關(guān)系有S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得12bcsin A=12c·3·sin A2+12b·3·sin A2，所以b+c=bcsin A3sin A2=4sin A3sin A2=8cos A23.

結(jié)合余弦定理有a2=b2+c2－2bccos A=（b+c）2－2bc（1+cos A）=64cos 2A23－8（1+cos A）=64cos 2A23－16cos 2A2=163cos 2A2，可得a=43cos A2.

所以，結(jié)合正弦定理有

sin B+sin Csin A=b+ca=83cos A243cos A2=2.

點(diǎn)評(píng)：借助三角形的斯庫(kù)頓定理，利用邊長(zhǎng)之間的關(guān)系來(lái)確定兩邊的乘積關(guān)系.三角形的斯庫(kù)頓定理，是課外的一個(gè)拓展與提升，初中教材中并沒(méi)有涉及，是一個(gè)非常特殊且用處較大的平面幾何基本定理.

在實(shí)際解決三角形中邊與角關(guān)系的相關(guān)應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件中的關(guān)系式及相應(yīng)的結(jié)論特征，巧妙融合平面幾何中對(duì)應(yīng)三角形的基本定理，借助三角形的內(nèi)角平分線定理、中線定理、射影定理及斯庫(kù)頓定理等，或直接轉(zhuǎn)化，或合理配湊，綜合解三角形中正弦定理或余弦定理的應(yīng)用，或數(shù)形結(jié)合直觀處理，或邏輯推理代數(shù)運(yùn)算，從而實(shí)現(xiàn)解三角形問(wèn)題的突破與求解.