開拓數學思維，巧妙運算

摘要：復數是每年高考必考的基本知識點之一，往往難度不大，考查方式以復數的概念與復數的運算等為主，考查內容離不開復數的四則運算及其應用.以一道高考真題中的復數運算，開拓數學思維，從不同思維視角切入，歸納總結技巧，有效指導數學教學與學習.

關鍵詞：復數；四則運算；方程；待定系數法

涉及復數的基本運算或基本性質問題，是復數章節模塊知識考查的基本點，也是高考命題的一個基本方向與一類基本考查題型.特別是，近年新高考數學試卷中，經常以復數為問題場景，結合單項選擇題或多項選擇題來創設情境，全面考查復數的基本概念、基本運算與基本性質等，將復數的四則運算融入其中，對復數基礎知識等提出更高的要求.本文中借助2024年高考數學新高考I卷第2題的復數運算，開拓數學思維，歸納總結解題策略，有效指導數學教學與復習備考.

1 真題呈現

高考真題 （2024年高考數學新高考Ⅰ卷·2）若zz－1=1+i，則z=（" ）.

A.－1－i

B.－1+i

C.1－i

D.1+i

此題以復數的四則運算為問題場景，屬于基本題，也是簡單題，是歷年高考復數模塊知識的常見考查點之一.借助復數的四則運算的考查與應用，有效考查代數式的變形與應用，以及數學運算能力等，運算量不大，計算也不復雜.

有關復數的四則運算問題，關鍵是基于復數范圍與場景，抓住復數的加、減、乘、除、乘方等代數形式的運算，以基本運算法則與常規計算為主.

2 真題破解

2.1 代數運算思維

解法1：恒等變換法1.

由zz－1=z－1+1z－1=1+1z－1=1+i，得1z－1=i，即z－1=1i=－i2i=－i，所以z=1－i.

解法2：恒等變換法2.

由zz－1=1+i，可得z－1z=11+i，即1－1z=1－i（1+i）（1－i）=1－i2=12－12i，則1z=1+i2，z=21+i=2（1－i）（1+i）（1－i）=2（1－i）2=1－i.

點評：結合復數代數式的結構特征，通過一次式合理分離常數來巧妙轉化，或借助倒數關系的變形與應用加以轉化，都可以對原關系式進行合理變形，進而借助恒等變換思維來分析與處理，實現復數問題的突破與求解.借助復數關系式的恒等變換，合理進行代數運算，是解決復數四則運算問題的“通性通法”.

2.2 復數方程思維

解法3：方程法.

由zz－1=1+i，可得z=（z－1）（1+i），展開有z=z（1+i）－（1+i），則zi=1+i，所以z=1+ii=（1+i）ii2=i－1－1=1－i.

點評：以所求的復數z為變量來求解對應的復數方程，借助函數與方程思維來處理，將問題看成含參綜合問題，也是處理此類復數的四則運算問題的基本技巧與方法.

2.3 待定系數思維

解法4：待定系數法.

設z=a+bi（a，b∈R）.

由zz－1=1+i，可得z=（1+i）（z－1）.

將z=a+bi代入，得a+bi=（1+i）（a+bi－1），展開可得a+bi=a－b－1+（a+b－1）i.

利用復數相等的條件，可得a=a－b－1，b=a+b－1，解得a=1，b=－1，則z=a+bi=1－i.

點評：在處理復數問題時，經常借助設參，利用待定系數法處理與解決問題.待定系數法思維是解決復數問題時常用的一種技巧.

2.4 間接思維

解法5：逐一驗證法.

對于選項A，若z=－1－i，則zz－1=－1－i－1－i－1=1+i2+i=（1+i）（2－i）（2+i）（2－i）=3+i5≠1+i，故選項A錯誤；

對于選項B，若z=－1+i，則zz－1=－1+i－1+i－1=1－i2－i=（1－i）（2+i）（2－i）（2+i）=3－i5≠1+i，故選項B錯誤；

對于選項C，若z=1－i，則zz－1=1－i1－i－1=1－i－i=（1－i）i－i2=1+i1=1+i，故選項C正確.

點評：對于單項選擇題，特別是對于此類答案可確定的問題，只要通過對各選項的逐一分析與排查，得到正確的結論后，往往就可以直接結束驗證.在時間有空余時再驗證還沒有驗證的選項，取舍有度，合理把握.間接思維下的逐一驗證法，看似繁雜，其實是處理此類問題的常用的一種基本技巧.

3 變式拓展

變式1 〔2024年九省聯考高考數學適應性試卷（1月份）〕（多選題）已知復數z，w均不為0，則（" ）.

A.z2=|z|2

B.zz=z2|z|2

C.z－w=z－w

D.zw=|z||w|

解析：設z=a+bi（a，b∈R），w=c+di（c，d∈R）.

對于選項A，z2=（a+bi）2=（a2－b2）+2abi，而|z|2=a2+b2，則選項A錯誤；

對于選項B，zz=z2z＼5z=z2|z|2，則選項B正確.

對于選項C，由于z－w=（a－c）+（b－d）i，則z－w=（a－c）－（b－d）i，又z－w=（a－bi）－（c－di）=（a－c）－（b－d）i，有z－w=z－w，則選項C正確；

對于選項D，由于zw2=zw·zw=|z|2|w|2，所以zw=|z||w|，則選項D正確.

綜上分析，選擇答案：BCD.

變式2 （多選題）已知模長均為1的復數z1，z2滿足z1+z2=z1z2，則（" ）.

A.|z1+z2|=1

B.z1+z2=1

C.|z31+z32|=2

D.z31+z32=2

解析：對于選項A，利用復數的模的基本性質，可得|z1+z2|=|z1z2|=|z1||z2|=1，故選項A正確；

對于選項B，由于z1·z1=|z1|2=1，可得1z1=z1，同理可得1z2=z2，

而由z1+z2=z1z2，可得1z1+1z2=1，則有z1+z2=1，所以z1+z2=1，故選項B正確；

對于選項C與D，由以上選項B中的分析，可得z1z2=z1+z2=1，所以z31+z32=（z1+z2）[（z1+z2）2－3z1z2]=1×（12－3×1）=－2，則有|z31+z32|=2，故選項C正確，選項D錯誤.

綜上分析，選擇答案：ABC.

變式3 〔20名校聯盟（浙江省名校新高考研究聯盟）2025屆高三第一次聯考數學試卷〕若復數z滿足z+z=2，z·z=2，則|z－2z|=.

解析：|z－2z|2=（z－2z）·（z－2z）=5z·z－2（z2+z2）=5z·z－2[（z+z）2－2z·z]=9z·z－2（z+z）2=9×2－2×22=10.

解得|z－2z|=10.故填答案：10.

4 教學啟示

其實，解決復數的基本概念與四則運算問題時，關鍵在于充分理解并把握題設條件，結合復數的基本概念，抓住復數的四則運算法則，挖掘題設條件的內涵與所求結論之間的聯系，合理應用相應的復數運算技巧與基本策略，使得復數的一些相關數學運算更加易于變形與轉化.

而在實際解題中，涉及復數的四則運算問題，經常離不開的一些基本技巧與策略包括：待定系數法巧換元處理，數字特征法巧觀察變形，復數模的性質巧應用轉化，復數方程結論妙應用轉化等，綜合四則運算來分析與處理.

同時，在進行復數的四則運算時，通過相應數學思維與方法的應用，合理減少數學運算量，巧妙優化數學運算過程，從而可以快捷地處理相應的運算問題，達到全面提升數學能力、優化數學品質、培養數學核心素養的目的.