高考概率解答題的幾類常見類型

摘要：概率解答題是高考數(shù)學(xué)試卷中的一類基本題型，與現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際聯(lián)系比較密切，更加適合考查綜合能力與創(chuàng)新能力.借助概率解答題中的馬爾科夫鏈、極大似然估計(jì)、科學(xué)性決策以及新情境加持等熱點(diǎn)場(chǎng)景創(chuàng)設(shè)與應(yīng)用，合理展開，挖掘本質(zhì)，歸納技巧，總結(jié)規(guī)律，有效指導(dǎo)高考復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：概率；馬爾科夫鏈；極大似然估計(jì)；決策；情境

對(duì)于高考數(shù)學(xué)試題，涉及概率的高考解答題，問題場(chǎng)景設(shè)置更加創(chuàng)新新穎，以概率與統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)為基石，或深入研究概率或統(tǒng)計(jì)中相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)與綜合應(yīng)用，或與函數(shù)與方程、數(shù)列、不等式等其他知識(shí)來交匯綜合，考查的知識(shí)點(diǎn)更加多樣，考查的數(shù)學(xué)能力也更加全面，越來越引起大家的高度重視.

1 概率與馬爾科夫鏈

例1 〔2023屆浙江省杭州市高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（二模）數(shù)學(xué)試題〕概率統(tǒng)計(jì)中有一個(gè)重要模型——馬爾科夫鏈，如著名的賭徒模型.

假如一名賭徒進(jìn)入賭場(chǎng)參與一個(gè)賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?0%，且賭輸就要輸?shù)?元.賭徒會(huì)一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會(huì)結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達(dá)到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博.記賭徒的本金為A（A∈N*，Alt;B），賭博過程如圖1的數(shù)軸所示.

當(dāng)賭徒手中有n元（0≤n≤B，n∈N）時(shí)，最終輸光的概率為P（n），請(qǐng)回答下列問題：

（1）請(qǐng)直接寫出P（0）與P（B）的數(shù)值.

（2）證明{P（n）}是一個(gè)等差數(shù)列，并寫出公差d.

（3）當(dāng)A=100時(shí)，分別計(jì)算B=200，B=1 000時(shí)，P（A）的數(shù)值，并結(jié)合實(shí)際，解釋當(dāng)B→+∞時(shí)，P（A）的統(tǒng)計(jì)含義.

分析：（1）明確n=0和n=B的含義，即可得答案；（2）由全概率公式可得P（n）=12P（n-1）+12P（n+1），通過整理變形，結(jié)合等差數(shù)列的定義或基本性質(zhì)等即可證明；（3）由（2）的結(jié)論可得P（A）的表達(dá)式，即可求得B=200與1 000時(shí)，其相應(yīng)的概率值，進(jìn)而結(jié)合概率值的變化情況與趨勢(shì)來剖析與應(yīng)用.

解析：（1）依題，當(dāng)n=0時(shí)，賭徒已輸光，則P（0）=1；

當(dāng)n=B時(shí)，賭金已達(dá)到預(yù)期，則P（B）=0.

（2）記事件M=“賭徒有n元最后輸光”，事件N=“賭徒有n元下一場(chǎng)贏”.

而P（M）=P（N）P（M|N）+P（N）P（M|N），即P（n）=12P（n-1）+12P（n+1）.

結(jié)合等差數(shù)列的定義，可知數(shù)列{P（n）}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，

則有

P（n）-P（n-1）=d，P（n-1）-P（n-2）=d，……，P（1）-P（0）=d，

將以上n個(gè)關(guān)系式對(duì)應(yīng)相加，可得P（n）-P（0）=nd.

所以P（B）-P（0）=Bd=-1，即d=-1B.

（3）由（2）可知P（n）-P（0）=nd，所以

P（A）-P（0）=Ad，即P（A）=1-AB.

當(dāng)B=200時(shí)，可得P（A）=50%；當(dāng)B=1 000時(shí)，可得P（A）=90%.

當(dāng)B→+∞時(shí)，P（A）→1，因此可知“久賭無贏家”.

點(diǎn)評(píng)：借助概率遞推與馬爾科夫鏈，以新穎的場(chǎng)景加以創(chuàng)設(shè)，題目的應(yīng)用場(chǎng)景可以綜合實(shí)際問題合理變化，只要抓住馬爾科夫鏈與數(shù)列的遞推關(guān)系本質(zhì)，合理分析與巧妙轉(zhuǎn)化，就能為問題的解決開拓一個(gè)視角.

2 極大似然估計(jì)

例2 〔2024屆浙江省名校新高考研究聯(lián)盟（Z20名校聯(lián)盟）高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷〕2023年中央一號(hào)文件指出，民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村必振興.為助力鄉(xiāng)村振興，某電商平臺(tái)準(zhǔn)備為某地的農(nóng)副特色產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專場(chǎng).直播前，此平臺(tái)用不同的單價(jià)試銷，并在購(gòu)買的顧客中進(jìn)行體驗(yàn)調(diào)查問卷.已知有N（Ngt;30）名熱心參與問卷的顧客，此平臺(tái)決定在直播中專門為他們?cè)O(shè)置兩次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每次抽獎(jiǎng)都是由系統(tǒng)獨(dú)立、隨機(jī)地從這N名顧客中抽取20名顧客，抽中顧客會(huì)有禮品贈(zèng)送.若直播時(shí)這N名顧客都在線，記兩次抽中的顧客總?cè)藬?shù)為X（不重復(fù)計(jì)數(shù)）.

（1）若甲是這N名顧客中的一人，且甲被抽中的概率為925，求N；

（2）求使P（X=30）取得最大值時(shí)的整數(shù)N.

分析：（1）利用相互獨(dú)立事件的概率公式，結(jié)合超幾何分布對(duì)立事件的概率公式等加以分析與求解，進(jìn)而得以確定N的值；（2）利用古典概型的概率公式來確定P（X=30）的表達(dá)式，合理構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合比值的轉(zhuǎn)化加以分析與求解，進(jìn)而解決問題.

解析：（1）記事件A=“甲被抽中”，Ai=“甲第i次被抽中”（i=1，2）.

由P（A）=P（A1＼5A2）=C20N-1C20N×C20N-1C20N=N-20N×N-20N=1-P（A）=1-925=1625，解得N=100.

（2）依題可知，兩次抽獎(jiǎng)活動(dòng)所包含的基本事件總數(shù)是C20NC20N.

當(dāng)X=30時(shí)，兩次都中獎(jiǎng)的人數(shù)為20×2-30=10，那么第一次抽獎(jiǎng)的基本事件數(shù)為C20N，第二次抽獎(jiǎng)的基本事件是從第二次沒抽到的剩下（N-20）個(gè)人中抽取10人，從第一次抽到的20人中抽取10人，即為C10N-20C1020，

則有P（X=30）=C20NC10N-20C1020C20NC20N=C10N-20C1020C20N.

記f（N）=C10N-20C20N，即求f（N）在何時(shí)取到最大值.下面討論f（N）的單調(diào)性：

由f（N+1）f（N）=C10N-19C20NC20N+1C10N-20=（N-19）（N-19）（N+1）（N-29）≥1，

解得N≤39，即當(dāng)N=39或40時(shí)，P（X=30）取得最大值.

點(diǎn)評(píng)：通過極大似然估計(jì)（ML）這一基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)方法，借助“模型已定，參數(shù)未知”來合理設(shè)置，通過社會(huì)現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用場(chǎng)景等的巧妙設(shè)置與綜合應(yīng)用，利用具體實(shí)際中的若干次試驗(yàn)觀察其結(jié)果，合理設(shè)置問題，進(jìn)而利用試驗(yàn)結(jié)果得到相應(yīng)參數(shù)值能夠使得樣本出現(xiàn)的概率為最大值.

3 科學(xué)性決策

例3 〔2023年湖北省荊州中學(xué)高三（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷〕我國(guó)在芯片領(lǐng)域的短板有光刻機(jī)和光刻膠，某風(fēng)險(xiǎn)投資公司準(zhǔn)備投資芯片領(lǐng)域，若投資光刻機(jī)項(xiàng)目，據(jù)預(yù)期，每年的收益率為30%的概率為p，收益率為-10%的概率為1-p；若投資光刻膠項(xiàng)目，據(jù)預(yù)期，每年的收益率為30%的概率為0.4，收益率為-20%的概率為0.1，收益率為零的概率為0.5.

（1）已知投資以上兩個(gè)項(xiàng)目，獲利的期望是一樣的，請(qǐng)你從風(fēng)險(xiǎn)角度考慮，為該公司選擇一個(gè)較穩(wěn)妥的項(xiàng)目；

（2）若該風(fēng)險(xiǎn)投資公司準(zhǔn)備對(duì)以上你認(rèn)為較穩(wěn)妥的項(xiàng)目進(jìn)行投資，4年累計(jì)投資數(shù)據(jù)如表1所示.

請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于μ的經(jīng)驗(yàn)回歸方程=μ+，并預(yù)測(cè)到哪一年年末，該投資公司在芯片領(lǐng)域的投資收益預(yù)期能達(dá)到0.75億元.

附：收益=投入的資金×獲利的期望；經(jīng)驗(yàn)回歸方程=x+中，=∑ni=1（xi-x-）（yi-y-）∑ni=1（xi-x-）2=∑ni=1xiyi-nx-×y-∑ni=1x2i-nx-2，=y--x-.

分析：（1）根據(jù)已知條件，通過對(duì)應(yīng)公式的應(yīng)用，分別求出兩個(gè)項(xiàng)目的期望與方差，通過相關(guān)數(shù)據(jù)的大小比較，進(jìn)而作出科學(xué)性決策；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合最小二乘法公式，以及“收益=投入的資金×獲利的期望”進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理，進(jìn)而分析與求解，作出合理預(yù)測(cè)與判斷.

解析：（1）若投資光刻機(jī)項(xiàng)目，設(shè)收益率為X，則E（X）=0.3p+（-0.1）×（1-p）=0.4p-0.1；

若投資光刻膠項(xiàng)目，設(shè)收益率為Y，則E（Y）=0.3×0.4+（-0.2）×0.1+0×0.5=0.1.

由于投資兩個(gè)項(xiàng)目獲利的期望是一樣的，有0.4p-0.1=0.1，解得p=0.5.

而D（X）=（0.3-0.1）2×0.5+（-0.1-0.1）2×0.5=0.04，

D（Y）=（0.3-0.1）2×0.4+（-0.2-0.1）2×0.1+（0-0.1）2×0.5=0.03.

所以E（X）=E（Y），D（X）gt;D（Y）.

故建議該公司投資光刻膠項(xiàng)目.

（2）依題可得μ-=2.5，y-=4，∑4i=1μiyi=47，∑4i=1μ2i=30.

所以=∑ni=1μiyi-nμ-×y-∑ni=1μ2i-nμ-2=1.4，=y--μ-=0.5.

故線性回歸方程為=1.4μ+0.5.

設(shè)該公司在芯片領(lǐng)域的投資收益為Z，則由Z=0.1×（1.4μ+0.5）≥0.75，解得μ≥5.

故到2023年年末，該投資公司在芯片領(lǐng)域的投資收益預(yù)期能達(dá)到0.75億元.

點(diǎn)評(píng)：在實(shí)際科學(xué)性決策過程中，往往基于概率的最值、數(shù)學(xué)期望或方差的的大小等來分析與判斷.而概率與經(jīng)驗(yàn)回歸方程的綜合常涉及概率、分布列、離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征、二項(xiàng)分布、超幾何分布及經(jīng)驗(yàn)回歸方程等知識(shí)，主要考查學(xué)生的閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí).

4 新情境加持

例4 〔2024屆北京四中高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷〕2022年第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，為保障冬奧會(huì)順利運(yùn)行，組委會(huì)共招募約2.7萬人參與賽會(huì)志愿服務(wù)，賽會(huì)共設(shè)對(duì)外聯(lián)絡(luò)服務(wù)、競(jìng)賽運(yùn)行服務(wù)、文化展示服務(wù)等共12類志愿服務(wù).

（1）甲、乙兩名志愿者被隨機(jī)分配到不同類志愿服務(wù)中，每人只參加一類志愿服務(wù).求甲被分配到對(duì)外聯(lián)絡(luò)服務(wù)且乙被分配到競(jìng)賽運(yùn)行服務(wù)的概率.

（2）已知在2.7萬名志愿者中，18～35歲人群占比達(dá)到95%，為了解志愿者們對(duì)某一活動(dòng)方案是否支持，通過分層隨機(jī)抽樣獲得表2中的數(shù)據(jù).

假設(shè)志愿者對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.將志愿者支持方案的概率估計(jì)值記為p0，去掉其他人群后志愿者支持方案的概率估計(jì)值記為p1，試比較p0與p1的大小.（結(jié)論不要求證明）

分析：（1）依題，結(jié)合志愿者這一新情境的加持，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式直接計(jì)算即可；（2）根據(jù)古典概型的計(jì)算公式分別計(jì)算p0與p1的值，進(jìn)而比較大小.

解析：（1）由A212=12×11=132，可知甲、乙兩名志愿者被隨機(jī)分配到不同類志愿服務(wù)中，每人只參加一類志愿服務(wù)的樣本空間Ω有132個(gè)基本事件.

設(shè)事件A=“甲被分配到對(duì)外聯(lián)絡(luò)服務(wù)且乙被分配到競(jìng)賽運(yùn)行服務(wù)”，則事件A包含1個(gè)基本事件，所以P（A）=1132.

（2）由已知可得志愿者支持方案的概率估計(jì)值為p0=90+190+5+1+4=91100.

去掉其他人群志愿者，支持方案的概率估計(jì)值記為p1=9090+5=1819gt;91100.

故p0lt;p1.

點(diǎn)評(píng)：依托新情境的加持，借助志愿者服務(wù)這一基本社會(huì)應(yīng)用場(chǎng)景，通過具體問題的設(shè)置與創(chuàng)新，數(shù)學(xué)信息量大，綜合應(yīng)用性強(qiáng).以新情境加持的多變性，融入概率或統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)，進(jìn)而利用概率的概念、公式或相應(yīng)的應(yīng)用來分析與求解，達(dá)到全面考查“四基”的目的.

借助高考中概率解答題的幾類常見與創(chuàng)新的應(yīng)用場(chǎng)景，以馬爾科夫鏈、極大似然估計(jì)、科學(xué)性決策以及新情境加持等熱點(diǎn)場(chǎng)景來設(shè)置，結(jié)合概率的概念應(yīng)用、公式計(jì)算與綜合應(yīng)用等來考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，閱讀理解能力、數(shù)據(jù)處理分析能力以及創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用能力等，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用，更加有效地服務(wù)于高考，更加針對(duì)性地進(jìn)行有效選拔與合理區(qū)分.

參考文獻(xiàn)：

王恒睿.高考概率題的考查方向.中學(xué)生數(shù)理化（高考數(shù)學(xué)），2023（12）：33-35.

林國(guó)紅.盤點(diǎn)高考概率題中的“賽制”.高中數(shù)理化，2023（7）：75-78.

黃鐘慧，廖小蓮.近年來高考數(shù)學(xué)試題中概率與統(tǒng)計(jì)試題探析.數(shù)理化解題研究，2022（19）：67-69.

張軍偉.基于兩道高考概率題的深入思考.數(shù)理化解題研究，2023（19）：91-94.

林太南.新高考背景下統(tǒng)計(jì)概率復(fù)習(xí)備考策略.高考，2024（23）：105-108.