例談一題多解視域下的數學思維培養

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中強調數學思維的培養是課程的重要目標之一，尤其在問題解決能力的提升上，提出了“數學活動要體現探究性、開放性和多樣性”的要求.例談一題多解視域下的數學思維培養，正是對這一要求的具體體現.通過引導學生思考一題多解，能夠有效培養學生的創新思維、推理能力和靈活性.不同的解法不僅能幫助學生深入理解數學概念，還能增強他們解決問題的信心和自主學習能力.在這一過程中，學生需要對數學問題進行多角度思考，探索不同的思路和方法，培養他們從不同角度審視和解決問題的能力.

基于此，筆者結合以下一道解三角形模擬題，利用求解三角形中一內角的正弦值，探究如何增強學生的知識遷移、解題技巧等方面的能力，并培養數學思維.

問題 已知三角形ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若cos B+cos C=1，b+c=32a，則sin A=.

1 試題解法及思維培養

1.1 分析與推理思維

方法1：角化邊法.

依題，不妨設a=2，則b+c=32a=3.由cos B+cos C=1，利用余弦定理，可得a2+c2-b22ac+a2+b2-c22ab=c2-b2+44c+b2-c2+44b=1.

所以4bc=b（c2－b2+4）+c（b2－c2+4）=（c2－b2）（b－c）+4（b+c）=（c+b）（c－b）（b－c）+4（b+c）=－3（b－c）2+12=－3（b+c）2+12bc+12=12bc－15，解得bc=158.

所以由余弦定理，可得cos A=b2+c2-a22bc=（b+c）2-2bc-a22bc=13.

所以sin A=1-cos 2A=223.故填答案：223.

本題通過角化邊法來解決三角形中的角度與邊的關系，強調了在幾何問題中分析與推理思維的培養.角化邊法不僅需要學生掌握基本的幾何定理和公式，還要求他們能通過合理的假設與代數化的推理過程將題目中的已知條件轉化為新的信息，從而一步步推導出未知量.這一過程培養了學生在面對復雜問題時的系統思維能力和嚴謹的邏輯推理能力.

首先，題目通過給定條件“cos B+cos C=1”及“b+c=32a”，結合余弦定理，提出了一個典型的幾何與代數結合的解題場景.學生需要通過對已知條件的轉換進行推理，而不是直接使用公式或解法.

在此推理過程中，角化邊法的核心是通過對邊的代數操作來簡化角度之間的關系，使得原本通過角度來解題的三角形問題轉化為邊長之間的代數關系.這種轉化方法有助于學生從幾何的角度看待三角形，進而利用代數方式求解，避免了純粹的幾何圖形求解的局限性.

1.2 轉換與創新思維

方法2：邊化角法.

依題，由b+c=32a，利用正弦定理，可得sin B+sin C=32sin A.

由cos B+cos C=1及A+B+C=π，可得1=－cos（C+A）－cos（B+A）=－（cos Ccos A－sin Csin A）－（cos Bcos A－sin Bsin A）=sin A＼5（sin B+sin C）－cos A（cos B+cos C）=32sin2A－cos A=32（1－cos2A）－cos A.

整理可得3cos2A+2cos A－1=0，解得cos A=13或cos A=－1（舍去）.

所以sin A=1-cos 2A=223.故填答案：223.

采用邊化角法來解決三角形中角度與邊的關系，主要培養學生的轉換與創新思維.在這一解法中，學生通過不同的數學視角和工具（如正弦定理、余弦定理等）對問題進行多角度的轉換與創新性處理，從而找到解決問題的路徑.此方法強調了數學思維的靈活性和跨領域知識的整合.

在解題過程中，首先，利用給定條件“cos B+cos C=1”和“b+c=32a”，結合正弦定理，轉化為“sin B+sin C=32sin A”.這一轉換本身即為一種創新思維的體現，因為它突破了直接使用余弦定理的傳統方式，通過正弦定理對問題進行了重構，進一步為解題提供了新的切入點.學生需要充分理解正弦定理的應用背景及其在三角形中的重要性，這有助于加強學生對三角形性質的全面理解.

其次，利用“cos B+cos C=1”，結合角度和三角函數的關系，通過對角度之間的余弦和正弦的組合進行代數變換，得到式子“3cos2A+2cos A－1=0”.這一步驟顯示了如何通過代數和三角函數的關系進行數學推導，培養了學生的符號操作和公式變形能力.

最后，解得cos A=13，進一步計算出sin A=223.這個結果不僅是數學推導的最終目標，還體現了學生在解題過程中對數學公式的精準掌握與應用能力.

1.3 空間想象與幾何構建思維

方法3：坐標法.

依題，不妨設a=4，則b+c=32a=6.結合以上條件并聯想到橢圓的定義，如圖1所示，在平面直角坐標系中，|BC|=4，B（－2，0），C（2，0），則點A在橢圓x29+y25=1上（不包括x軸上的頂點），其中橢圓的長半軸a′=3，離心率e=23.

設A（x0，y0）（x0≠±3），由橢圓的焦半徑公式有|AB|=a′+ex0=3+23x0，|AC|=a′－ex0=3－23x0.

由cos B+cos C=1，可得2+x03+23x0+2-x03-23x0=1，整理并化簡可得x20=278.

所以bc=|AC||AB|=9－49x20=152.

所以由余弦定理，可得cos A=b2+c2-a22bc=（b+c）2-2bc-a22bc=13.

所以sin A=1-cos 2A=223.故填答案：223.

使用坐標法解決三角形問題，強調了空間想象與幾何構建思維的培養.將幾何問題轉化為平面直角坐標系中的坐標計算，學生能夠通過形象化的幾何結構更直觀地理解三角形的性質，并利用橢圓的幾何特征求解.

首先，通過設定邊長a=4，b+c=32a=6等條件，將問題轉化為平面坐標系中的幾何圖形.這一設定幫助學生將問題幾何化，極大地鍛煉了學生在平面幾何中的空間構建能力.其次，橢圓定義和焦半徑公式的運用進一步強化了學生的幾何構建思維.這種處理方法培養了學生在空間幾何中從具體圖形到代數式的轉換能力.

進一步，學生運用余弦定理求解角度A的正弦值，通過坐標法與代數式的結合，體現了數學中的幾何與代數思維的深度融合.

2 基于試題進行思維培養的啟示

首先，思維轉換的訓練對高中數學教學具有重要意義.通過不同的解法路徑（如角化邊法、邊化角法和坐標法），可以培養學生靈活轉換思維的能力.這種能力不僅能幫助學生掌握多種解題方法，還能深化他們對數學概念的理解.高中數學教學應鼓勵學生多角度思考，培養其在不同數學工具之間靈活切換的能力.教師可以設計更為開放的問題，提供多種解決方案，促使學生深入思考不同方法的優缺點，從而增強他們的創新思維和問題解決能力.

其次，空間想象和幾何構建思維的培養是高中數學教學中的關鍵.本題的坐標法解法，學生不僅需要具備對幾何圖形的空間感知能力，還要能夠將抽象的幾何問題轉化為代數問題.這一過程要求學生在解題時能夠清晰地理解幾何圖形的結構，并利用代數工具進行分析.教師應在教學中加強幾何與代數的結合，鼓勵學生通過圖形構建和坐標運算等方式直觀理解抽象的數學概念.同時，可以更多地引入數學模型和實際問題，幫助學生理解如何將抽象的數學知識應用于實際情境中，提升他們的數學綜合素養.