培養數學抽象能力 發展數學核心素養

數學抽象是數學學科中最具特色的一種基本素養，成為《普通高中數學課程標準（2017年版）》中概括、創新性地提出的六大“數學學科核心素養”之一，是在剝離數學問題的一切外在的物理屬性后，正確抽象并揭示數學問題本質與研究對象等的一種基本素養，全面貫穿于數學學習以及終生學習過程中的一條思維性強、隱藏性深的鏈條.

在數學學習以及數學解題過程中，往往通過不同的思維視角，綜合問題情境合理抽象出問題的內在屬性或規律結構等，進而借助數學語言或數學符號加以表征或書寫，為數學問題的深入分析與解決提供條件.

1 應用形象，認識本質規律

數學形象思維是數學抽象思維過程中的一個“墊腳石”，應用形象，結合圖象、圖形、圖表等形象表征，有效引導并幫助學生探究數學本質及規律，進行合理數學抽象，進而認識問題的本質規律.

例1 〔2023年教育部新課標四省（云南、吉林、黑龍江、安徽）高考適應性考試數學試卷（2023年2月）〕三棱錐A-BCD中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD.若AB=3，BD=1，則該三棱錐體積的最大值為（" ）.

A.2

B.43

C.1

D.23

分析：根據題意，利用空間中的線線垂直、線面垂直以及面面垂直加以轉化與推理，合理數學抽象，選擇△ADB為三棱錐體積計算的底面，通過高線CE的構建，結合動點C的軌跡與運動變化規律，通過圖形的直觀來認識問題的本質，進而確定對應三棱錐體積的最大值.

解析：由AC⊥平面BCD，得AC⊥BD，AC⊥CD.

又因為BD⊥CD，AC∩CD=C，所以BD⊥平面ACD.又BD平面ABD，則平面ABD⊥平面ACD.

過點C作CE⊥AD于點E，如圖1所示，則知CE⊥平面ABD.

在Rt△ADB中，由AB=3，BD=1，BD⊥AD，可得AD=AB2-BD2=22.

所以點C在以AD=22為直徑的圓上運動（除端點A，D外）.

所以VA-BCD=VC-ABD=13S△ADB·CE=23CE.

顯然當C為弧AD的中點，即CE=12AD=2時，VA-BCD取得最大值為23.

故選擇答案：D.

點評：結合題設中已知的或通過題設構建出來的圖象、圖形、圖表等形象表征，合理數學抽象，建立起問題本質與對應形象之間的聯系，從而更加有效科學地認識問題的本質規律，或數學運算，或邏輯推理，或數形結合等，多思維視角應用，給問題的分析與解決提供更加廣闊的空間.

2 借助參數，開展形式運算

數學問題中的數、式、參數等都是數學運算與邏輯推理的基礎所在，借助參數，結合數、式等的規律與結構特征，合理進行數學抽象，探究內在隱含的本質，進而開展合理、有效的數學形式運算.

例2 〔2023屆江蘇省蘇北七市（南通、泰州、淮安、宿遷、連云港、鎮江、徐州）聯考數學試卷（蘇北七市一模）〕已知函數f（x）的定義域為R，且f（2x+1）為偶函數，f（x）=f（x+1）-f（x+2），若f（1）=2，則f（18）=（" ）.

A.1

B.2

C.-1

D.-2

分析：根據題目中抽象函數的基本性質加以數學抽象，通過關系式與參數的變形與轉化，確定對應函數圖象的對稱性，進而結合特殊值思維的應用，合理構建特殊的三角函數，結合三角恒等變形來驗證其滿足對應的抽象關系式，進而再利用所構建的三角函數進行求值處理.

解析：因為f（2x+1）為偶函數，所以f（2x+1）=f（-2x+1），即f（x+1）=f（-x+1），則函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱.

構建函數f（x）=2sinπ3x+π6，其圖象關于直線x=1對稱，且f（1）=2sinπ3+π6=2.

易得f（x）+f（x+2）=2sinπ3x+π6+2sinπ3x+5π6=2sinπ3xcosπ6+cosπ3xsinπ6+sinπ3xcos5π6+cosπ3xsin5π6=2cosπ3x.

又易知f（x+1）=2sinπ3（x+1）+π6，也即f（x+1）=2sinπ3x+π2=2cosπ3x.

所以f（x+1）=f（x）+f（x+2），即特殊函數f（x）=2sinπ3x+π6符合條件.

于是f（18）=2sin6π+π6=2sinπ6=1.

故選擇答案：A.

點評：借助函數的奇偶性并結合抽象函數的關系式，利用特殊值法思維構建與之相吻合的具體函數模型，實現數學抽象與具體數學模型之間的“無縫”聯系，通過關系式的恒等變形與性質的應用，化抽象為具體，由具體解抽象，實現抽象與具體之間的巧妙轉化與聯系，進而達到解決問題的目的.

3 創新定義，挖掘深層內涵

創新意識與創新應用是新時代倡導的一種基本素養，也是學生能力發展與素養養成的基本組成部分.創新定義，成為一個聯系已有數學知識與深層未知知識之間的有效通道，是對客觀事物的一種抽象概括，深刻理解并進行數學抽象，可以有效挖掘定義背后的深層內涵.

例3 〔2023屆山西省呂梁市高三（上）期末數學試卷〕（多選題）定義：在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新的數列，這樣的操作叫作該數列的一次“美好成長”.將數列1，4進行“美好成長”，第一次得到數列1，4，4；第二次得到數列1，4，4，16，4；……；設第n次“美好成長”后得到的數列為1，x1，x2，……，xk，4，并記an=log4（1·x1·x2·……·xk·4），則（" ）.

A.a2=5

B.an+1=3an-1

C.k=2n+1

D.數列{nan}的前n項和為3n+1（2n-1）+3+2n（n+1）8

分析：結合創新定義，借助數學抽象與歸納推理，易得a2及數列{an}的遞推公式，通過構造等比數列求出數列{an}的通項公式，再利用錯位相減法求出數列{nan}的前n項和，從而判斷選項A，B，D的真假；結合數列“美好成長”的過程加以歸納，可得每次插入項的個數構成的數列是一個等比數列，進而通過等比數列的求和公式來分析與判斷選項C的真假.

解析：對于選項A，a2=log4（1×4×4×16×4）=log445=5，故選項A正確.

對于選項B，由于an+1=log4[（1·x1·x2·……·xk·4）·（1·x1）·（x1·x2）·……·（xk-1·xk）·（xk·4）]=log4（1·x1·x2·……·xk·4）3×14=3log4（1·x1·x2·……·xk·4）-1=3an-1，故選項B正確.

對于選項C，設每次插入項的個數構成數列{bn}，則b1=1，b2=2，b3=22，……，歸納可知數列{bn}是首項為1，公比為2的等比數列，所以數列{bn}的前n項和即為k，此時k=1-2n1-2=2n-1，故選項C錯誤.

對于選項D，由選項B中的分析可得an+1=3an-1，且a1=log4（1×4×4）=2.

而an+1-12=3an-12，又a1-12=32，則知數列an-12是首項為32，公比為3的等比數列.

所以an-12=32×3n-1=12×3n，即an=12×3n+12，則nan=12（n+n·3n）.

設數列{n·3n}的前n項和為Tn，則

Tn=1×31+2×32+……+n×3n，

3Tn=1×32+2×33+……+n×3n+1，

兩式對應相減，得-2Tn=31+32+33+……+3n-n×3n+1=3（1-3n）1-3-n×3n+1=3n+1（1-2n）-32.

所以Tn=3n+1（2n-1）+34.

所以數列{nan}的前n項和為12n（n+1）2+Tn=3n+1（2n-1）+3+2n（n+1）8，選項D正確.

故選擇答案：ABD.

點評：解決與創新定義相關的數學問題，就是正確分析定義的內涵，合理數學抽象，抓住定義的本質，挖掘創新定義中的深層內涵，合理聯系相關的已有知識，進而轉化為熟知的問題來分析與處理.基于已有數學知識的創新與應用，是數學知識與數學思維的綜合與拓展.

4 歸納方法，拓展思維深度

數學思想與技巧方法是數學學習的靈魂所在，也是學生終生學習的基石.歸納方法，借助掌握的數學思想與技巧方法進行合理歸納或類比，結合數學抽象，有效滲透到所要解決的問題中去，真正拓展學生的數學思維深度.

例4 （2023屆江蘇省鹽城市、南京市高三第一學期期末調研測試數學試卷）某研究性學習小組發現，由雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的兩條漸近線所成的角可求離心率e的大小.聯想到反比例函數y=kx（k≠0）的圖象也是雙曲線，據此可進一步推斷雙曲線y=5x的離心率為（" ）.

A.2

B.2

C.5

D.5

分析：根據題意，通過一般雙曲線的兩條漸近線所成的角與對應離心率e之間的關系與求解方法加以類比，合理數學抽象，巧妙歸納并拓展，應用到特殊的雙曲線上去，形成良好的數學思維與技巧方法.

解析：由于雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的兩條漸近線的方程為y=±bax，其中一條漸近線y=bax的斜率k=ba，對應的傾斜角為θ，則可知當θ∈0，π4時兩條漸近線所成的角為2θ，當θ∈π4，π2時兩漸近線的夾角為π-2θ.

而雙曲線y=5x的兩條漸近線為x軸與y軸，其所成的角2θ=π2，即θ=π4，則知k=ba=tan θ=1，

所以雙曲線y=5x的離心率為e=ca=1+b2a2=2.

故選擇答案：A.

點評：借助不同數學知識、相似數學知識等之間的思想方法進行推理與歸納，利用數學抽象構建起數學思維之間的聯系，由點到線，由線到面，由面到體，不斷拓展提升，有效利用數學抽象加以提升與拓展

數學思維深度，形成良好的思維品質，這才是真正有效地提升數學能力與素養.

作為數學核心素養之一的數學抽象素養，是實際數學教學學習必備的一種基本技巧與技能，可以有效幫助學生深化對知識本質的理解，還可以提高學生解決數學實際問題的能力，進而全面合理提升數學抽象能力，不斷提高數學應用與數學能力，增強數學思維品質，培養數學核心素養.