創設問題“促”探究 引導學生“做”數學

摘要：本文中用等比情境“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”引入錯位相減法教學，其優勢在于該情境問題處于學生的最近發展區，適合不同層次學生，并且有助于學生發現錯位相減法、經歷過程、感悟數學思想和發展學科核心素養.

關鍵詞：發現;錯位相減法;情境問題

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標》）提出：“……，創設合適的教學情境、提出合適的數學問題，引發學生思考交流，形成和發展數學學科核心素養.”“……，不同的人在數學上得到不同的發展.”[1]《中國高考評價體系》明確提出考查“學科素養和關鍵能力”，即“能發現問題，提出問題，綜合與靈活地應用所學的數學知識與思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進行獨立的思考探索和研究，提出解決問題的思路，創造性地解決問題”[2].

錯位相減法被直接應用于等比數列求和公式的推導及差比數列求和等問題；錯位相減法的發現、推導過程，有利于培養學生的數學學科關鍵能力，發展邏輯推理、數學運算等數學學科核心素養.由于錯位相減法相對隱蔽，很難引導學生比較自然地發現，導致很多教師采用告訴的方式完成該方法的教學，未能達到《課標》和高考中對學科素養、關鍵能力的過程性教學要求.如何設計教學才能有效、合理地引導學生自然發現并掌握錯位相減法？筆者認為設計好錯位相減法的引入非常關鍵.

1 錯位相減法的引入設計

創設情境：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”（如圖1）

問題1 從情境“一日之棰，日取其半，萬世不竭”中能提出那些問題？

追問1：如果截取6天，截取的長度之和是多少？

追問2：你能把追問1用數學式子表示出來嗎？

追問3：請用不同的方法計算“S6=12+14+18+116+132+164=？”

追問4：猜想12+14+18+……+12n=.

問題2 探究證明“12+14+18+……+12n=2n－12n”的思路，并展示交流.

思路1：觀察12+14=34，12+14+18=78，12+14+18+116=1516，…….設n是大于等于2的正整數，歸納得出12+14+……+12n=2n－12n.

思路2：一個完整的餅，每天吃掉前一天剩余的一半（如圖2），經過n天，一共吃了多少？小學解決這個問題時，是把一個完整的餅看成1，然后觀察n天后餅剩余的量為12n，得出12+14+……+12n=1－12n.

思路3：如果觀察每天吃掉的量，則會發現第一天吃掉的量為1－12，……，第n天吃掉的量為12n－1－12n，于是n天一共吃掉的量為

12+14+18+……+12n

=1－12+12－14+14－18+……+12n－2－12n－1+12n－1－12n=1+12+14+18+……+12n－1－12+14+18+……+12n－1+12n=1－12n.

這是從幾何直觀出發聯想到裂項相消求和法，在此基礎上，請學生觀察被減項1+12+14+18+……+12n－1與減項12+14+18+116+……+12n的關系，學生會發現減項是被減項的公比倍，從而可以相減消項求和，到此錯位相減法呼之欲出.

2 錯位相減法的引入設計分析

2.1 改進錯位相減法引入設計的原因

2.1.1 國王賞麥故事引入存在的問題

傳統教學中教師幾乎都采用了國王賞麥的故事來引入等比數列的前n項和公式的探討.從特殊“1+2+4+8+16+……+263=？”到一般等比數列的前n項和公式.

這個設計看似合情合理，但在實際教學中我們會發現，這個看似簡單的“1+2+4+……+263=？”問題，對多數學生而言根本不知如何下手，只有少數預習過的學生能夠模仿教材提供的一般等比數列求和過程來解決問題.因此，采用國王賞麥的故事引入來得出錯位相減法的教學設計，容易讓教學過程變成教師或教材告訴學生應該這么做，學生不能再發現、再創造.

2.1.2 教參設計的錯位相減法引入的不足之處

研讀教材、教參，教參給出直接在等比數列前n項的和式兩邊同時乘q的一種解釋：“從等比數列的定義可知，ai=qai－1（i=2，3，……，n），于是，在Sn=a1+a2+……+an的兩邊同乘q，有qSn=qa1+qa2+……+qan=a2+a3+……+an+an+1.”[3]然后通過消去兩式中的相同項，就得到了等比數列的前n項和的公式.

這種解釋有一定的道理，由于等比數列相鄰兩項為公比倍，所以在等比數列前n項的求和等式兩邊同時乘公比q，得到的兩個和式就構造出了n－1個相同項，這就能解釋為什么要同時乘公比q，但不能引導學生自己去發現同時乘公比q.教參沒有提供教師引導學生發現錯位相減法的思路，這為廣大教師充分發揮自己的教學智慧提供了機會.

2.2 改進錯位相減法引入設計的思考

2.2.1 本設計處于學生的最近發展區

學生在小學時大部分都做過分餅吃的問題：一個餅，每天吃掉前一天剩余的一半，經過6天，一共吃了多少？小學生可以把一個完整的餅看成1，然后觀察6天后，餅剩余的數量為164，二者作差即得到所吃掉餅的數量的和為1－164，具有幾何直觀性.在初中時，學生基本做過找規律的題：觀察12+14=34，12+14+18=78，12+14+18+116=1516，……，設n是大于等于2的正整數，猜測12+14+……+12n=.由此可見，求等比數列的和問題“S6=12+14+……+164=？”處于他們的最近發展區.

2.2.2 本設計適用于不同層次學生

由于“問題1”和“追問3”具有較強的開放性，不同基礎的學生可以提出不同的問題，可能會選擇不同的求和方法.學生可以直接通分計算；也可以采用幾何直觀得到1－164=6364，間接計算求解；還可以類似初中尋找規律問題，由12+14=34，12+14+18=78，12+14+18+116=1516，……，歸納猜想得結果，甚至猜出前n項求和的結果.

2.2.3 有助于學生發現錯位相減法

在探究追問3的過程中，教師可以引導學生觀察數據12，14，18，……，每個數據除表示每天所吃掉的量為前一天的12以外，還有沒有其他意義？學生探究發現：每個數據是與每天吃前的量和吃后剩余的量相聯系的，如吃前的量是12，今天吃后剩余的是14，那么今天吃了12－14.教師可進一步借助幾何直觀引導學生觀察第1次截取的數量為1－12，第2次截取的數量為12－14，……，從而6次截取的數量的和可表示為6個差的和，即裂項相消求和方法.故S6=12+14+18+116+132+164

=1－12+12－14+14－18+18－116+116－132+132－164=1+12+14+18+116+132－12+14+18+116+132+164

=1－164=6364.

接著，教師引導學生觀察求和過程中的兩個式子1+12+14+18+116+132（記為①式）和12+14+18+116+132+164（記為②式），請學生觀察兩個式子的聯系.學生能夠比較容易發現②中的每一項都是①式對應項的12倍.教師通過追問12與這個數列有什么關系，可以引導學生發現12是該等比數列的公比，進一步得出本情境問題的一個新的求和思路.

根據設計的問題串的引導，學生基本能寫出錯位相減法的解答過程：

S6=12+14+18+116+132+164，③

由③×12，得

12S6=14+18+116+132+164+1128；④

③-④，得12S6=1－1128.

故S6=1－164=6364.

于是，學生自己發現了錯位相減法.再通過探究證明的思路3，把這一解決6項和思路推廣到解決任意的前n項的和，更具有一般性.

2.2.4 有助于學生經歷過程，感悟思想，發展素養

從12+14=34，12+14+18=78，……，到猜測出12+14+18+……+12n的值，為計算等比數列｛an｝的前項和Sn=a1+a2+a3+……+an打下了方法和思維的基礎，讓學生經歷由少到多，由特殊到一般；用錯位相減法計算12+14+18+116+132+164和12+14+18+……+12n，讓學生經歷由繁到簡，由無限到有限.利用問題1，引導學生從故事中發現并提出問題，提升“四能”；利用追問2，引導學生把文字語言翻譯成數學符號語言，經歷抽象過程，發展數學抽象核心素養.

從計算S6=12+14+……+164=？聯想到吃餅，把計算S6轉化為吃六天餅后剩的部分，體會轉化，感悟轉化與化歸思想；用圖形表示每天吃餅剩的部分，直觀形象，非常易于理解，體驗幾何直觀，感悟數形結合思想，發展直觀想象核心素養；發現裂項之后，探究出錯位相減法，構造出S6或Sn的方程，解出S6或Sn，體驗用方程求解未知數，感悟方程思想.

2.2.5 本設計的反思

從問題選取上看，兩種設計方式的問題情境都來源于教材，都充分尊重了教材，用教材教.從問題的設計上看，改進后的設計選擇了項數不太多的等比數列問題作為基點，更貼近學生的最近發展區，讓所有學生能夠在問題的引領下，積極思考，探究解決問題的思路.改進后的設計不足之處是：裂項的發現對于基礎較差的學生還是有一定的難度，引入中問題的解決所需時間較長.但從解決問題上看，改進后的引入設計，解決思路靈活，方便教學，課堂上能真正落實“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”[1]的理念.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2]教育部考試中心.中國高考評價體系[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書教師教學用書＼5選擇性必修第二冊[M].北京：人民教育出版社，2020.