深耕教材，拓展提升：一道三角函數(shù)題的判斷

摘要：深耕高中數(shù)學(xué)教材是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與高考復(fù)習(xí)備考的關(guān)鍵，越來越受到師生的重視.結(jié)合一道高考模擬題，鏈接教材，結(jié)論拓展，解題應(yīng)用，變式探究，合理總結(jié)解題規(guī)律與類比拓展，實(shí)現(xiàn)教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)的優(yōu)化與減負(fù).

關(guān)鍵詞：教材；拓展；正切公式；三正切公式；變式

基于新教材、新課標(biāo)與新高考“三新”背景，新高考改革的不斷推進(jìn)以及“雙減”政策的穩(wěn)步落實(shí)，深耕教材，充分研究和挖掘教材中例（習(xí)）題的內(nèi)在功能，不但會(huì)減輕教師的教學(xué)壓力，還能夠培養(yǎng)學(xué)生的教材閱讀和分析能力，逐步成為高考命題的一種新導(dǎo)向與新熱點(diǎn)，倍受各方關(guān)注.在復(fù)習(xí)備考階段，應(yīng)合理回歸教材，深耕教材，從中探尋問題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，挖掘背后的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法等，進(jìn)行有效備考與復(fù)習(xí)，提升高考復(fù)習(xí)備考的效益.

1 問題呈現(xiàn)

問題 〔江蘇省如皋市2023年高考適應(yīng)性考試（二）（2023年4月）數(shù)學(xué)試卷·4〕若a=（1+tan 20°）＼5（1+tan 21°），b=（1+tan 24°）（1+tan 25°），則下列結(jié)論不正確的是（" ）.

A.alt;b

B.ab=4

C.a+bgt;4

D.a2+b2=9

借助兩個(gè)正切函數(shù)所對(duì)應(yīng)的三角關(guān)系式加以創(chuàng)設(shè)，以代數(shù)式大小關(guān)系、乘積定值、和式大小關(guān)系以及代數(shù)式的平方和定值等幾個(gè)結(jié)論來分析與判斷，考查的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)眾多，涉及正切函數(shù)的單調(diào)性、三角恒等變換公式、基本不等式等相關(guān)知識(shí)，綜合考查邏輯推理能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等.

此題難度中等程度，題目簡(jiǎn)潔明了，借助兩個(gè)三角關(guān)系式之間大小關(guān)系的判斷與運(yùn)算來設(shè)置對(duì)應(yīng)的選項(xiàng)，試題具有很好的“新穎性”與“綜合性”，是不可多得的一道“好題”與創(chuàng)新題.

2 鏈接教材

認(rèn)真研究和學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)教材，追根溯源，深挖教材中一些典型的例（習(xí)）題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，深入領(lǐng)會(huì)對(duì)應(yīng)例（習(xí)）題所展示出來的命題意圖，就地取材，豐富教學(xué)內(nèi)容，加以全面研究和開發(fā).

習(xí)題 （人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第五章“三角函數(shù)”復(fù)習(xí)參考題5第12題）

（1）證明tan α+tan β=tan（α+β）-tan αtan β＼5tan（α+β）；

（2）求tan 20°+tan 40°+3tan 20°tan 40°的值；

（3）若α+β=3π4，求（1-tan α）（1-tan β）的值；

（4）求tan 20°+tan 40°+tan 120°tan 20°tan 40°的值.

答案：（1）略； （2）3； （3）2； （4）-3.

在證明三角函數(shù)式或求解三角函數(shù)值時(shí)，借助兩角和的正切公式tan（α+β）=tan α+tan β1-tan αtan β或兩角差的正切公式tan（α-β）=tan α-tan β1+tan αtan β等進(jìn)行變形與應(yīng)用，從而得以分析與求解，進(jìn)而可以得到以下對(duì)應(yīng)的一般性結(jié)論.

2.1 結(jié)論總結(jié)，回歸一般

結(jié)論1：（1）若α+β=3π4，則（1-tan α）（1-tan β）=2；

（2）若α+β=π4，則（1+tan α）（1+tan β）=2.

具體證明過程可以借助兩角和的正切公式或上面習(xí)題對(duì)應(yīng)的三角關(guān)系式tan α+tan β=tan（α+β）-tan αtan βtan（α+β），加以合理展開與應(yīng)用，這里不多加以敘述，直接作為結(jié)論展示出來.

2.2 場(chǎng)景變換，類比拓展

結(jié)論2：（三正切公式）在斜三角形ABC中，恒有關(guān)系式tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C成立.

證明：在斜三角形ABC中，令α=A，β=B，則有A+B=α+β=π-C.

代入上面習(xí)題對(duì)應(yīng)的三角關(guān)系式tan α+tan β=tan（α+β）-tan αtan βtan（α+β），

得tan A+tan B=tan（A+B）-tan A＼5tan Btan（A+B），則有tan A+tan B=tan（π-C）-tan Atan Btan（π-C）=-tan C+tan Atan Btan C，整理可得tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.

以上兩個(gè)結(jié)論所對(duì)應(yīng)問題的立意是以教材中對(duì)應(yīng)的習(xí)題為基礎(chǔ)，并做一定的修改，結(jié)合相關(guān)結(jié)論加以深入挖掘與拓展提升.

3 問題破解

3.1 巧用結(jié)論，通性通法

解析：根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性，可知0lt;tan 20°lt;tan 25°，0lt;tan 21°lt;tan 24°，

則0lt;（1+tan 20°）＼5（1+tan 21°）lt;（1+tan 24°）（1+tan 25°），即alt;b，故選項(xiàng)A正確；

由20°+25°=21°+24°=45°，

利用結(jié)論1，可得

（1+tan 20°）（1+tan 25°）=2，

（1+tan 21°）（1+tan 24°）=2，

所以ab=（1+tan 20°）（1+tan 21°）（1+tan 24°）＼5（1+tan 25°）=4，故選項(xiàng)B正確；

由于0lt;alt;b，ab=4，利用基本不等式，可得a+bgt;2ab=4，故選項(xiàng)C正確.

綜上分析，由排除法可知，只有選項(xiàng)D不正確.

故選擇答案：D.

3.2 回歸本質(zhì)，其他方法

其實(shí)，除了以上解題方法，對(duì)于選項(xiàng)B的判斷，一般的思維方式可以參照以下兩種對(duì)應(yīng)的方法來分析與應(yīng)用.

方法1：由于20°+25°=21°+24°=45°，

而

（1+tan 20°）（1+tan 25°）=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°tan 25°=1+tan（20°+25°）＼5（1-tan 20°tan 25°）+tan 20°tan 25°=1+1-tan 20°＼5tan 25°+tan 20°tan 25°=2，

（1+tan 21°）（1+tan 24°）=1+tan 21°+tan 24°+tan 21°tan 24°=1+tan（21°+24°）（1-tan 21°tan 24°）+tan 21°tan 24°=1+1-tan 21°tan 24°+tan 21°tan 24°=2，

所以，ab=（1+tan 20°）（1+tan 21°）（1+tan 24°）＼5（1+tan 25°）=4，故選項(xiàng)B正確.

方法2：根據(jù)b=（1+tan 24°）（1+tan 25°）=[1+tan（45°-21°）][1+tan（45°-20°）]，可得到b=

1+tan 45°-tan 21°1+tan 45°tan 21°1+tan 45°-tan 20°1+tan 45°tan 20°=1+1-tan 21°1+tan 21°1+1-tan 20°1+tan 20°=21+tan 21°·21+tan 20°=4a，

所以ab=4，故選項(xiàng)B正確.

對(duì)于選項(xiàng)C的判斷，如果不借助基本不等式，也可以采用以下對(duì)應(yīng)的方法來分析與應(yīng)用.

由于a=（1+tan 20°）（1+tan 21°）=1+tan 20°+tan 21°+tan 20°tan 21°，b=（1+tan 24°）（1+tan 25°）=1+tan 24°+tan 25°+tan 24°tan 25°，

則有

a+b=2+（tan 20°+tan 25°）+（tan 21°+tan 24°）+tan 20°tan 21°+tan 24°tan 25°

=2+tan（20°+25°）＼5（1-tan 20°tan 25°）+

（1-tan 21°tan 24°）

＼5

tan（21°+24°）+

tan 20°tan 21°+tan 24°tan 25°=4-tan 20°tan 25°-tan 21°tan 24°+tan 20°tan 21°+tan 24°tan 25°

=4+tan 25°（tan 24°-tan 20°）-tan 21°（tan 24°-tan 20°）

=4+（tan 24°-tan 20°）＼5（tan 25°-tan 21°）gt;4.

故選項(xiàng)C正確

.

4 變式拓展

4.1 改變視角，拓展題型

變式1 （多選）若a=（1+tan 20°）（1+tan 21°），b=（1+tan 24°）（1+tan 25°），則下列結(jié)論正確的是（" ）.

A.alt;b

B.ab=4

C.a+bgt;4

D.a2+b2=9

答案：ABC.

由原來的單項(xiàng)選擇題改變視角轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)選擇題，比較吻合新高考數(shù)學(xué)試卷中多項(xiàng)選擇題的創(chuàng)新題型，只是選項(xiàng)D的判斷比較困難，也成為該變式多項(xiàng)選擇題的一個(gè)變點(diǎn)與創(chuàng)新點(diǎn).

4.2 妙用結(jié)論，創(chuàng)新應(yīng)用

變式2 在銳角三角形ABC中，已知1tan A+1tan B=tan C2，則tan Atan B=.

解析：根據(jù)1tan A+1tan B=tan C2，整理可得tan A+tan Btan Atan B=tan C2，即

tan Atan Btan C=2（tan A+tan B）.

根據(jù)三角形的三正切公式tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C，得

2（tan A+tan B）=tan A+tan B+tan C，即tan A+tan B=tan C.

代入三角形的三正切公式有tan Atan Btan C=2tan C，即tan Atan B=2.故填答案：2.

5 教學(xué)啟示

5.1 深耕教材，落實(shí)“四基”

對(duì)于歷年的高考真題以及對(duì)應(yīng)的高考模擬題，眾里尋根千百度，根源卻在教材例（習(xí)）題處.這就再次提醒我們，課堂教學(xué)與復(fù)習(xí)備考時(shí)一定要以教材為根本，深耕教材上的例（習(xí)）題，把問題研究透徹，充分落實(shí)“四基”，全面提升數(shù)學(xué)能力.這樣即使遇到所謂的新穎題目也能以不變應(yīng)萬變！

5.2 開拓思維，總結(jié)規(guī)律

借助數(shù)學(xué)“四基”的落實(shí)，合理開拓思維與深入研究，巧妙總結(jié)歸納一些相應(yīng)的規(guī)律或結(jié)論——“二級(jí)結(jié)論”或變形公式等，是對(duì)教材的再加工、再探究，可以更加有效且快速地解決一些相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，從而全面掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與提升數(shù)學(xué)基本能力，優(yōu)化解題過程，提升解題效益，拓展數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).