巧用教材的“邊角料”

關(guān)于高考和教材的關(guān)系，專家們都在提倡高考是源于教材而又高于教材，所以二者是密不可分的.通過(guò)對(duì)比教材和考試真題可以發(fā)現(xiàn)，教材不僅僅是知識(shí)的載體，同時(shí)內(nèi)部也含有許多“邊角料”，值得一線教師和廣大學(xué)子“咀嚼”和“回味”.

1 函數(shù)

1.1 函數(shù)的凹凸性

教材鏈接 2019年人教A版必修一第三章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”復(fù)習(xí)參考題3中綜合運(yùn)用部分的第8（2）題：若g（x）=x2+ax+b，證明gx1+x22≤g（x1）+g（x2）2.該題雖然用代入作差的方法也可以證明，但其本質(zhì)與函數(shù)的凹凸性有關(guān)，高等數(shù)學(xué)教材中對(duì)凹凸性的說(shuō)明如下：

一、函數(shù)凹凸性定義

設(shè)f（x）在區(qū)間I上有定義

（1）若對(duì)任意的x1，x2∈I且x1≠x2，有

fx1+x22gt;f（x1）+f（x2）2，

則稱f（x）在（a，b）內(nèi)為凸函數(shù)，如圖1；

（2）若對(duì)任意的x1，x2∈I且x1≠x2，有

fx1+x22lt;f（x1）+f（x2）2，

則稱f（x）在（a，b）內(nèi)為凹函數(shù)，如圖2.

二、函數(shù)凹凸判別法

定理 （1）若在（a，b）內(nèi)有f″（x）gt;0，則f（x）在（a，b）內(nèi)為凹函數(shù)；

（2）若在（a，b）內(nèi)有f″（x）lt;0，則f（x）在（a，b）內(nèi)為凸函數(shù).

真題展現(xiàn)：

例1 （2018全國(guó)Ⅰ卷理科第16題）已知函數(shù)f（x）=2sin x+sin 2x，則f（x）的最小值是.

例2 （“宜荊荊恩”2024屆高三起點(diǎn)考試12題）關(guān)于函數(shù)f（x）=ln（e2x+1）－x，下列說(shuō)法正確的有（" ）.

A.f（x）在R上是增函數(shù)

B.f（x）為偶函數(shù)

C.f（x）的最小值為ln 2，無(wú)最大值

D.對(duì)x1，x2∈（0，+∞），都有fx1+x22≥f（x1）+f（x2）2

分析：例1的常規(guī)解法為求導(dǎo)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性來(lái)解答，思路簡(jiǎn)單但計(jì)算量較大；若熟悉函數(shù)的凹凸性，則函數(shù)可轉(zhuǎn)化為f（x）=sin x+sin x+sin （π－2x），再根據(jù)它為奇函數(shù)、周期T=2π以及當(dāng)x∈0，π2時(shí)sin x為凸函數(shù)，可得x∈0，π2時(shí)有sin x+sin x+sin （π－2x）≤3sinx+x+π－2x3=332，即f（x）的最大值為332，最小值為－332.例2的D選項(xiàng)只需驗(yàn)證f″（x）與0的相對(duì)大小即可判斷.

1.2 放縮不等式

教材鏈接 人教A版選擇性必修二“5.3.2函數(shù)的極值與最大（小）值”正文部分證明了不等式“當(dāng)xgt;0時(shí)，1－1x≤ln x”，并且在后面的練習(xí)題中證明不等式“x－1≥ln x，x∈（0，+∞）”，這樣就有1－1x≤ln x≤x－1，x∈（0，+∞）.

（習(xí)題5.3中綜合運(yùn)用部分的第12題）利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過(guò)函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證：（1）exgt;1+x，x≠0；（2）ln xlt;xlt;ex，xgt;0.

真題展現(xiàn)：

例3 〔貴陽(yáng)一中2024屆高考適應(yīng)性月考卷（二）第16題〕已知對(duì)任意x，都有e3x－a－1≥1+ln xx，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

分析：由題可得a≤e3x－1+ln xx－1，設(shè)f（x）=e3x－1+ln xx－1=e3x+ln x－1－ln xx－1，根據(jù)ex≥1+x可推得e3x+ln x≥1+3x+ln x，即可得到f（x）≥2，所以f（x）min=2，則a∈（－∞，2〗.該題很好地體現(xiàn)了放縮不等式的巧妙之處.若利用求導(dǎo)的常規(guī)方法來(lái)解答，則費(fèi)時(shí)費(fèi)力而且不易得分.

1.3 泰勒展開(kāi)

教材鏈接 人教A版必修一第五章“三角函數(shù)”復(fù)習(xí)參考題5的第26題介紹了正余弦函數(shù)的泰勒展開(kāi)式：

英國(guó)數(shù)字學(xué)泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：

sin x=x-x33！+x55！-x77！+…，

cos x=1-x22！+x44！-x66！+…，

其中n！=1×2×3×4×…×n.

這些公式被編入計(jì)處工具，計(jì)算工具計(jì)算足夠多的項(xiàng)就可以確保顯示值的精確性.比如，用前三項(xiàng)計(jì)算cos 0.3，就得到cos 0.3≈1-0.322！+0.344！=0.955 337 5.

試用你的計(jì)算工具計(jì)算cos 0.3，并與上述結(jié)果比較.

這屬于教材中的“高觀點(diǎn)”內(nèi)容.

真題展現(xiàn)：

例4 （2022數(shù)學(xué)高考甲卷第12題）已知a=3132，b=cos14，c=4sin14，則（" ）.

A.cgt;bgt;a

B.bgt;agt;c

C.agt;bgt;c

D.agt;cgt;b

分析：將x=14代入正余弦的泰勒展開(kāi)式中，截取前2到3項(xiàng)即可判斷出cgt;bgt;a.該方法運(yùn)用泰勒展開(kāi)，即不超綱，也不需要繁雜的求導(dǎo)計(jì)算.

2 幾何與代數(shù)

教材鏈接 人教A版選擇性必修二“4.2等差數(shù)列”節(jié)后習(xí)題綜合運(yùn)用部分的第7題：

已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.

（1）證明Snn是等差數(shù)列；

（2）設(shè)Tn為數(shù)列Snn的前n項(xiàng)和，若S4=12，S8=40，求Tn.

真題展現(xiàn)：

例5 （2023新課標(biāo)Ⅰ卷第7題）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙：Snan為等差數(shù)列，則（" ）.

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

分析：該題可在教材中精準(zhǔn)找到源頭，教師在平時(shí)教學(xué)應(yīng)中多研究、多思考、多反問(wèn)學(xué)生，即可推出甲是乙的充要條件.

3 概率與統(tǒng)計(jì)

3.1 二項(xiàng)分布的最值

教材鏈接 人教A版選擇性必修三“7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布”小節(jié)后的閱讀材料部分介紹了二項(xiàng)分布的性質(zhì)，對(duì)pk的增減變化及最大值做了分析推理，具體如下：

記pk=P（X=k），觀察圖形我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)k由0增大到n時(shí)，pk先增后減，在某一個(gè)（或兩個(gè)）k值處達(dá)到最大.二項(xiàng)分布當(dāng)p=0.5時(shí)是對(duì)稱的，當(dāng)plt;0.5時(shí)向左偏倚，當(dāng)pgt;0.5時(shí)向右偏倚.

下面，我們利用分布列的表達(dá)式來(lái)研究pk的增減變化及最大值.

pkpk-1=Cknpk（1-p）n-kCk-1n（1-p）n-k+1=（n-k+1）pk（1-p）

=k（1-p）+（n+1）p-kk（1-p）=1+（n+1）p-kk（1-p）.

當(dāng)klt;（n+1）p時(shí)，pkgt;pk-1，pk隨k值的增加而增加；當(dāng)kgt;（n+1）p時(shí)，pklt;pk-1，pk隨k值的增加而減小.

如果（n+1）p為正整數(shù)，當(dāng)k=（n+1）p時(shí)，pk=pk-1，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值.如果（n+1）p為非整數(shù)，而k取（n+1）p的整數(shù)部分，則pk是唯一的最大值.

真題展現(xiàn)：

例6 （2018年全國(guó)I卷理科第20題）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0lt;plt;1），且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點(diǎn)p0;

（2）略.

例7 （湖北省重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三第一次聯(lián)考第9題）下列說(shuō)法正確的是（" ）.

A.某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中10次射擊成績(jī)（單位：環(huán)）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為8

B.對(duì)于隨機(jī)事件A與B，若P（B）=0.3，P（B|A）=0.7，則事件A與B獨(dú)立

C.若隨機(jī)變量X～B（6，p），E（X）=4.8，若P（X=k）最大，則D（kX+1）=24

D.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），若P（ξgt;1）=p，P（－1lt;ξlt;0）=12－p

分析：例6的第（1）問(wèn)和例7的C選項(xiàng)都與二項(xiàng)分布pk的最值有關(guān)，傳統(tǒng)做法是利用不等式求解，計(jì)算量較大，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，若熟悉教材中的結(jié)論則可以直接套用結(jié)論得到結(jié)果.

3.2 馬爾科夫鏈

馬爾可夫鏈?zhǔn)歉怕收摵蛿?shù)理統(tǒng)計(jì)中的一種隨機(jī)過(guò)程，它具有馬爾可夫性質(zhì)，即一個(gè)隨機(jī)變量的當(dāng)前狀態(tài)僅取決于其前一個(gè)狀態(tài)，而與其過(guò)去的狀態(tài)無(wú)關(guān)，該模型在教材和真題中均有體現(xiàn).

教材鏈接 人教A版選擇性必修三第七章“隨機(jī)變量及其分布”復(fù)習(xí)參考題7的第10題：

甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人.求n次傳球后球在甲手中的概率.

真題展現(xiàn)：

例8 （2023年新課標(biāo)I卷第21題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8，由抽簽決定第一次投籃的人選，第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率;

（2）求第i次投籃的人是甲的概率;

（3）略.

分析：教材中呈現(xiàn)的是一個(gè)簡(jiǎn)單的馬爾科夫鏈.熟悉教材的學(xué)生在做例8第（2）問(wèn)時(shí)就能迅速反應(yīng)出第i次投籃的人是甲的概率pi取決于pi－1，即可列出關(guān)系式pi=0.6pi－1+0.2（1－pi－1），再聯(lián)系數(shù)列求解；不熟悉教材的學(xué)生不了解馬爾科夫鏈模型，可能無(wú)從下手.

由上面對(duì)于函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)的教材與考試真題的分析可以看出，教材的課后習(xí)題和閱讀材料我們都需要關(guān)注，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生多讀教材，從題海戰(zhàn)術(shù)中擺脫出來(lái)，讓教材發(fā)展為學(xué)材，真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的資源和學(xué)習(xí)的工具.