一題多解，鏈接高考，發散思維

摘要：本文中從“通法”“向量法”“坐標法”三種解題方法對2023年全國乙卷理科第19題進行了解析，在此基礎上，基于“高觀點”的視角，在“一題多解”中提升學生的發散性思維能力.

關鍵詞：線面平行；面面垂直；二面角；向量法；一題多解；高觀點

數學家波利亞認為：“掌握數學就是意味著善于解題，中學數學教學首要的任務就是加強解題訓練.”[1]在數學教學中，“一題多解”是一種最常用、最有效的教學手段[2].此外，德國數學家克萊因認為基礎數學的教師應該站在更高的視角（高等數學）來審視、理解初等數學問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單.基于此，本文中將從一道高考題的多種解法出發，滲透“高觀點”的思想內容，逐步培養學生的發散性思維和高階思維.

1 真題呈現

高考真題 （2023年全國乙卷理科·19）如圖1，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，AD=5DO，點F在AC上，BF⊥AO.

（1）證明：EF∥平面ADO；

（2）證明：平面ADO⊥平面BEF；

（3）求二面角D-AO-C的正弦值.

此題以三棱錐為背景，考查線面平行、面面垂直及二面角三角函數值的計算，難度適中.

2 真題破解

2.1 第（1）問的證法分析

第（1）問是證明直線和平面平行，利用直線與平面平行的判定定理，需要證明直線EF∥DO，關鍵是證明F是AC的中點.

2.1.1 方法1：通法——平行四邊形

依據已知條件，證明四邊形ODEF為平行四邊形，再利用直線與平面平行的判定推理作答.

證明：連接DE，OF，設AF=λAC，則

BF=（1-λ）BA+λBC，

AO=AB+BO=-BA+12BC.

又BF⊥AO，AB⊥BC，則

BF·AO=+λBC〗·-BA+12BC

=（λ-1）BA2+12λBC2=4（λ-1）+4λ=0.

解得λ=12，所以

F為AC的中點.

由D，E，O，F分別為PB，PA，BC，AC的中點，得

DE"12AB，

所以四邊形DEFO為平行四邊形，則EF∥DO.

又因為DO平面ADO，EF平面ADO，所以

EF∥平面ADO.

點評：第（1）問的關鍵是證明F是AC的中點，利用平面向量的三點共線定理，BP=λBA.由BF⊥AO列方程證得F是AC的中點，充分利用了向量兼具數和形的特征，簡化了解題過程.

2.1.2 方法2：通法——平行公理

進一步修改方法1，利用平行公理，證明EF∥DO，再利用直線與平面平行的判定推理作答.

證明：首先證得F為AC的中點（同解法1）.

所以EF∥DO.

又因為DO平面ADO，EF平面ADO，所以

EF∥平面ADO.

點評：平行公理是證明兩條直線平行的基本公理.本問求證的切入點是利用三角形中位線定理，證明兩條直線平行于同一條直線.

2.1.3 方法3：向量法

利用已知條件中眾多的中點關系及空間向量知識，證明EF=DO，即可證明EF∥DO，再利用直線與平面平行的判定推理作答.

證明：首先證得F為AC的中點（同解法1），則有

EF=EA+AF=12PA+12AC

=12PC=12（PB+BC）

=DB+BO=DO.

所以EF∥DO.

又因為DO平面ADO，EF平面ADO，所以

EF∥平面ADO.

點評：利用向量法證明立體幾何中的線線平行，本質上是共線向量定理的運用，可以融“數”“形”為一體，巧妙地將空間位置關系轉化為數量關系，從而降低求證問題的難度.

2.1.4 方法4：坐標法

建立空間直角坐標系，利用空間向量的計算，證明EF=DO，即可證明EF∥DO，再利用直線與平面平行的判定推理作答.

證明：以B為原點，建立如圖2所示的空間直角坐標系，則

A（2，0，0），C（0，22，0），O（0，2，0）.設P（a，b，c），則Da2，b2，c2.

依據題意，設

BF=λBA+（1-λ）BC

=（2λ，22-22λ，0）.

由BF⊥AO，得BF·AO=0，得

λ=12，則F（1，2，0）.

由PB=PC=6，AD=5DO，得

a2+b2+c2=6，a2+（b-22）2+c2=6，a2-22+b22+c22=5×622.

解得a=-1，b=2，c=3.

易得EF=12，22，-32=

DO，則EF∥DO.

又因為DO平面ADO，EF平面ADO，所以

EF∥平面ADO.

點評：坐標法體現了由形到數的轉化思想，將幾何特征轉化到數學運算上，可以降低思維難度，達到解題的目的.

2.2 第（2）問的解法分析

第（2）問是證明平面和平面垂直，若利用平面與平面垂直的判定定理，需要證明直線AO⊥EF，關鍵是證明AO⊥OD.若利用向量法，需要求出平面BEF和ADO的法向量，求平面的法向量除了初等數學的方法，還可以利用高等數學的方法.

2.2.1 方法1：通法

利用勾股定理的逆定理，證明OD⊥AO，從而證明AO⊥平面BEF，最后應用兩個平面垂直的判定定理即可證明.

證明：由（1），可知EF∥OD.

在Rt△ABO中，AO=|AB|2+|BO|2=6.

由題意知DO=PC2=62，則AD=5DO=302.

在△AOD中，OD2+AO2=622+（6）2=152=AD2，

依據勾股定理逆定理知OD⊥AO，則EF⊥AO.

又AO⊥BF，BF∩EF=F，BF平面BEF，EF平面BEF，所以

AO⊥平面BEF.

又AO平面ADO，所以

平面ADO⊥平面BEF.

點評：題目中已知眾多三角形的邊長或三角形內部的線段長，所以利用勾股定理和中位線定理求出所需邊長，再結合勾股定理逆定理即可證得線線垂直.

2.2.2 方法2：坐標法

建立空間直角坐標系，計算兩個平面的法向量數量積，從而證明兩個平面垂直.

證明：以B為原點，建立如圖2所示的空間直角坐標系，則

A（2，0，0），C（0，22，0），O（0，2，0）.

根據（1）的方法4（坐標法），可知F（1，2，0）.

P（-1，2，3），D-12，22，32，E12，22，32.

所以BF=（1，2，0），BE=12，22，32，

AO=（-2，2，0），OD=-12，-22，32.

計算平面BEF的法向量有如下三種方法：

法1：方程組法.

設平面BEF的一個法向量為n=（x，y，z），則n·BF=0，n·BE=0，即x+2y+0·z=0，12x+22y+32z=0.

令y=-1，則x=2，z=0.

故平面BEF的一個法向量為n=（2，-1，0）.

點評：通過解方程組求平面的法向量是常規方法，原理是公理2的推論2（經過兩條相交直線有且只有一個平面）以及直線與平面垂直的判定定理，易于理解，但是計算繁瑣，易出錯.所以可以利用高等數學的解法——向量叉積（法2，過程略）.

法3：平面方程.

平面BEF的方程可設為x+By+Cz=0.

將點E12，22，32，F（1，2，0）代入平面BEF的方程得

12+22B+32C=0，1+2B+0·C=0.解得

B=-22，C=0.

故平面BEF的一個法向量為n=（2，-1，0）.

點評：利用平面方程法求平面的法向量也是高等數學的方法，優點是步驟簡潔，計算量小，但是解答題中不能直接使用.

同理可得，平面ADO的一個法向量為m=（1，2，3）.

所以m·n=0，

故平面ADO⊥平面BEF.

2.3 第（3）問的解法分析

第（3）問是求二面角D-AO-C的正弦值，可以利用定義法直接找到二面角的平面角，也可以利用垂直于棱的兩異面直線所對應的向量的夾角間接求解.

2.3.1 方法1：通法

在前面證明了OD⊥AO，以及已知AO⊥BF的條件下，作OH∥BF，則計算出△DOH三邊長，利用余弦定理求出二面角平面角的余弦值即可.

解：如圖3，過點O作OH∥BF交AC于點H，設AD∩BE=G.

由AO⊥BF，得HO⊥AO.

又由（2）知，OD⊥AO，且FH=13AH，則∠DOH為二面角D-AO-C的平面角.

由D，E分別為PB，PA的中點，可知

G為△PAB的重心，則DG=13AD，GE=13BE.

又在△ADH中FH=13AH，則GF=23DH.

在△DBA和△PAB中應用余弦定理，得

cos∠ABD=4+32-1522×2×62=4+6-PA22×2×6.

解得PA=14.

同理，得BE=62.

于是在△BEF中BE2+EF2=BF2=3，

應用勾股定理逆定理得BE⊥EF，

則GF2=13×622+622=53，

所以GF=153，從而DH=32×153=152.

在△DOH中，OH=12BF=32，OD=62，DH=152，則

cos∠DOH=-22，

sin∠DOH=22.

綜上，二面角D-AO-C的正弦值為22.

點評：利用定義法能直接找到二面角的平面角，解法簡潔明快、返璞歸真，但是因為平面角的頂點在棱上沒有固定位置，具有開放性，學生往往不夠重視.通過作輔助線確定平面角后，難點就在于求出線段DH的長度，利用三角形重心的性質和相似三角形，將求DH的長度問題轉化為求GF的長度，關鍵是證明△GEF是直角三角形.

2.3.2 方法2：向量法

在二面角棱上任取兩點，分別在兩個半平面內，引兩條垂直于棱的射線，這兩條異面直線所對應的向量的夾角，與二面角的平面角大小相等（互補）.

解：設二面角D-AO-C的平面角為θ，由（2）知AO⊥OD，又AO⊥BF，則

cos θ=cos 〈OD，BF〉

=OD·BF|OD||BF|

=OD·12（BA+BC）62×12|AC|

=OD·12（BO+OA+2BO）62×12×23

=-22.

所以二面角D-AO-C的平面角大小為3π4.

綜上，二面角D-AO-C的正弦值為22.

點評：向量法是利用垂直于棱的兩異面直線所對應的向量，避免了用定義法尋找平面角的“頂點”的不便，向量的運算兼具數與形的特征，簡化了計算.

2.3.3 方法3：坐標法

建立空間直角坐標系，計算兩條異面直線對應的向量的夾角，是解決二面角問題的程序化思維方法.

解：由（2）知二面角D-AO-C的平面角為BF與OD所成角的補角，即向量BF與OD的夾角.

同（2）的方法2，建立空間直角坐標系，則

BF=（1，2，0），OD=-12，-22，32.

于是cos 〈BF，OD〉=BF·OD|BF||OD|=-22.

綜上，二面角D-AO-C的正弦值為22.

點評：坐標法也是利用垂直于棱的兩異面直線所對應的向量，將求二面角轉化為求兩個向量所成的角，若這兩個向量的坐標易求，則此法簡單易行.

3 試題鏈接

鏈接 （2023屆上海市格致中學上學期期中·18）如圖4，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°.D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4，AB=2.

（1）證明：MN∥平面BDE；

（2）求平面PAC與平面EMN所成角的余弦值.

4 教學啟示

4.1 “一題多解”，發散思維

解對一道題僅僅是解題的初步成果，看透問題的本質才是解題的最終目的，同時，也應是解題的追求.一題多解，是高中數學最常見的實施過程性變式的途徑，除了將解題的過程層次化，加深學生對該問題的理解與認識，開拓學生解題的思路，激發學生解題的興趣，還可以提升學生的發散性思維能力，使得學生善于全面地觀察問題，運用多方面的知識與經驗尋求解題的方法.

4.2 “高觀點”視角，提高思維

近幾年的高考題呈現出起點高、落點低的特征，試題的背景源于高等數學，但運用高中所學的數學知識和方法就可以解決.站在“高觀點”的角度去看待高中數學知識和方法，會看得更遠更透.一線教師了解一些“高觀點”的知識和方法，可以達到登高望遠即以較高的觀點去看待高考題目的效果，有利于中學數學的教學.學生了解一些“高觀點”的知識和方法，可以快速找到題目的證明方向或猜出答案，再運用初等數學的知識和方法完善解答過程，縮短考試時間，提高解題效率.

參考文獻：

[1]羅增儒.數學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2000：1-17.

[2]黃璧.聚焦一題多解 展現多彩思維[J].中學教學參考，2021（32）：31-32.