懲罰對(duì)齊法：測(cè)量不變性檢驗(yàn)的新方法

摘 "要 "Asparouhov和Muthén在2023年提出了一種全新的懲罰結(jié)構(gòu)方程模型框架。懲罰對(duì)齊法是該模型框架在測(cè)量不變性檢驗(yàn)領(lǐng)域的應(yīng)用范例。懲罰對(duì)齊法繼承了多組探索性因子分析在探索性因子分析框架內(nèi)進(jìn)行測(cè)量不變性檢驗(yàn)和可以估計(jì)交叉載荷等優(yōu)點(diǎn)， 繼承了對(duì)齊法使用成分損失函數(shù)、允許模型中存在一定量不等參數(shù)等優(yōu)點(diǎn)， 同時(shí)繼承了貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型對(duì)模型參數(shù)設(shè)置先驗(yàn)分布、通過(guò)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)的近似測(cè)量不變性達(dá)到潛因子均值比較的目的等優(yōu)點(diǎn)。此外， 懲罰對(duì)齊法還克服了傳統(tǒng)測(cè)量不變性檢驗(yàn)方法的一些不足。本文以大學(xué)生職業(yè)價(jià)值觀研究為例， 比較了多組驗(yàn)證性因子分析、基于驗(yàn)證性因子分析的懲罰對(duì)齊法分析、基于探索性結(jié)構(gòu)方程模型的懲罰對(duì)齊法分析擬合樣本數(shù)據(jù)的效果， 演示了如何使用懲罰對(duì)齊法進(jìn)行測(cè)量不變性檢驗(yàn)和多組比較。

關(guān)鍵詞 "測(cè)量不變性檢驗(yàn)， 懲罰對(duì)齊法， 貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型， 探索性結(jié)構(gòu)方程模型， 對(duì)齊先驗(yàn)分布

分類號(hào) "B841

1 "研究背景

在社會(huì)科學(xué)實(shí)證研究中進(jìn)行各類測(cè)量評(píng)估的時(shí)候， 往往涉及多個(gè)群體的多組比較。多組驗(yàn)證性因子分析就是一種進(jìn)行多組比較的傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)方法。通過(guò)該方法對(duì)各組的潛因子均值進(jìn)行直接比較之前， 需要檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏y(cè)量不變性（白新文， 陳毅文， 2004; 劉軍， 吳維庫(kù)， 2005; Asparouhov amp; Muthén， 2014; Millsap， 2012）。一般情況下， 當(dāng)模型滿足因子載荷和截距嚴(yán)格相等的強(qiáng)測(cè)量不變性時(shí)， 才能對(duì)各組的潛因子均值進(jìn)行直接比較（王孟成， 2014; 王陽(yáng) 等， 2022; 溫聰聰 等， 2019）。但因子載荷和截距嚴(yán)格相等在模型具有較多組數(shù)目或模型較復(fù)雜等條件下很難滿足， 導(dǎo)致多組比較無(wú)法進(jìn)行（宋瓊雅 等， 2021; 王陽(yáng) 等， 2020; 溫聰聰， 史秋衡， 2022; Asparouhov amp; Muthén， 2023a）。

為了解決這一問(wèn)題， 研究者們最初依靠模型修正指數(shù)來(lái)修正模型， 使模型滿足部分測(cè)量不變性。模型修正指數(shù)代表的是將模型中的一個(gè)限制

參數(shù)變?yōu)樽杂晒烙?jì)， 所減少的1個(gè)自由度對(duì)應(yīng)的卡方統(tǒng)計(jì)量減小值。當(dāng)限制參數(shù)的修正指數(shù)較大時(shí)， 說(shuō)明需要將其改設(shè)為自由估計(jì)， 逐漸修正模型。但由于修正指數(shù)會(huì)受到樣本量的影響， 因此很難有統(tǒng)一的修正指數(shù)達(dá)到多大時(shí)需要將限制參數(shù)改設(shè)為自由估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)。因此， 依據(jù)修正指數(shù)來(lái)修正模型往往具有一定的主觀性。在實(shí)際操作中， 模型如果越復(fù)雜， 修正過(guò)程也越復(fù)雜， 主觀決定的模型修正過(guò)程以及修正指數(shù)間存在的多重共線性問(wèn)題可能導(dǎo)致修正出的模型偏離真實(shí)正確的模型， 潛因子均值的估計(jì)結(jié)果很可能出現(xiàn)偏差（Asparouhov amp; Muthén， 2014; Marsh et al.， 2018）。

近10年來(lái)， 研究者們提出了不少前沿的測(cè)量不變性檢驗(yàn)方法， 例如貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型（Muthén amp; Asparouhov， 2013）、等效性檢驗(yàn)（Deng amp; Yuan， 2016）、對(duì)齊探索性結(jié)構(gòu)方程模型（Asparouhov amp; Muthén， 2023a）、二水平隨機(jī)效應(yīng)法（Muthén amp; Asparouhov， 2018）。這些方法都不同程度地解決了傳統(tǒng)測(cè)量不變性檢驗(yàn)方法的不足， 為更加科學(xué)地進(jìn)行多組比較提供了更多選擇。不過(guò)， 多數(shù)方法的適用情境有限， 并且都有各自的不足。2023年， Asparouhov和Muthén提出了一種

懲罰結(jié)構(gòu)方程模型（Penalized structural equation model， PSEM）框架。該框架在對(duì)齊法成分損失函數(shù)的原理基礎(chǔ)上進(jìn)一步推廣， 使懲罰函數(shù)可以依據(jù)不同的研究情境自設(shè)， 擁有較廣泛的適用性（Asparouhov amp; Muthén， 2023b）。同時(shí)， 依據(jù)該模型框架開(kāi)發(fā)的懲罰對(duì)齊法整合了多組探索性因子分析、對(duì)齊法、貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型等方法的優(yōu)勢(shì)， 并且克服了這些方法的不足。在Mplus最新的8.10版本軟件中， 已經(jīng)可以使用懲罰對(duì)齊法進(jìn)行測(cè)量不變性檢驗(yàn)。懲罰對(duì)齊法不僅可以應(yīng)用于多組比較， 還可以應(yīng)用于跨時(shí)序縱貫數(shù)據(jù)分析。

本研究首先對(duì)測(cè)量不變性檢驗(yàn)方法近十幾年來(lái)的發(fā)展歷史和較為前沿的幾種測(cè)量不變性檢驗(yàn)方法進(jìn)行回顧， 指出每個(gè)方法的優(yōu)點(diǎn)和不足。其次， 懲罰對(duì)齊法是懲罰結(jié)構(gòu)方程模型框架應(yīng)用于測(cè)量不變性檢驗(yàn)的范例， 本研究詳述其運(yùn)算過(guò)程， 指出懲罰對(duì)齊法繼承了傳統(tǒng)測(cè)量不變性檢驗(yàn)方法的哪些優(yōu)勢(shì)， 克服了哪些不足。最后， 運(yùn)用一則大學(xué)生職業(yè)價(jià)值觀研究實(shí)例演示如何使用懲罰對(duì)齊法進(jìn)行測(cè)量不變性檢驗(yàn)和多組比較。

2 "測(cè)量不變性檢驗(yàn)方法進(jìn)展回顧

測(cè)量不變性檢驗(yàn)在社會(huì)科學(xué)實(shí)證研究中得到了廣泛使用， 但由于因子載荷和截距跨組嚴(yán)格相等的假設(shè)較為苛刻， 學(xué)界在不斷研發(fā)比該假設(shè)限制更弱的統(tǒng)計(jì)方法。Asparouhov和Muthén（2009）首先研發(fā)出了探索性結(jié)構(gòu)方程模型（Exploratory Structural Equation Model， ESEM）， 應(yīng)用于測(cè)量不變性檢驗(yàn)時(shí)被稱為多組探索性因子分析。多組探索性因子分析具有不必預(yù)設(shè)因子載荷矩陣結(jié)構(gòu)， 可準(zhǔn)確估計(jì)模型中的中低程度交叉載荷的優(yōu)點(diǎn)。Muthén和Asparouhov （2013）緊接著又將貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型（Bayesian Structural Equation Model， BSEM）應(yīng)用于測(cè)量不變性檢驗(yàn)， 首次將檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭幸蜃虞d荷和截距跨組嚴(yán)格相等的假設(shè)轉(zhuǎn)變?yōu)闄z驗(yàn)因子載荷和截距跨組近似相等。Jak等人（2013）將多水平分析模型框架應(yīng)用于測(cè)量不變性檢驗(yàn)， 該方法被稱為二水平隨機(jī)效應(yīng)法（two-level random effects model， TREM）。二水平隨機(jī)效應(yīng)法將個(gè)案間的差異分離為組內(nèi)差異和組間差異（Muthén amp; Asparouhov， 2018）。

貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型、二水平隨機(jī)效應(yīng)法等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ徒茰y(cè)量不變性的方法在不同程度上減弱了潛因子均值比較需要模型中的因子載荷和截距嚴(yán)格相等的前提條件限制， 多組探索性結(jié)構(gòu)方程模型也解決了交叉載荷的估計(jì)問(wèn)題。但有一個(gè)問(wèn)題始終無(wú)法避開(kāi)：當(dāng)模型中存在一定量的不等參數(shù)， 且這些不等參數(shù)的不等程度較高， 明顯不滿足近似測(cè)量不變性時(shí)， ESEM、BSEM、TREM的分析效果普遍不盡如人意（Asparouhov amp; Muthén， 2014; Asparouhov amp; Muthén， 2023a）。

Asparouhov和Muthén （2014）提出了一種全新的對(duì)齊法（Alignment）， 利用類似探索性因子分析中旋轉(zhuǎn)函數(shù)的成分損失函數(shù) 對(duì)模型參數(shù)的解進(jìn)行優(yōu)化， 識(shí)別原本多組驗(yàn)證性因子分析形態(tài)不變模型無(wú)法識(shí)別的潛因子方差和潛因子均值， 使模型具有少量較高程度不等參數(shù)和大多數(shù)滿足近似測(cè)量不變性的參數(shù)。與ESEM、BSEM、TREM等方法的一個(gè)重要不同是對(duì)齊法是基于模型擬合度較好的多組驗(yàn)證性因子分析的形態(tài)不變模型進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算， 而其他方法是檢驗(yàn)因子載荷和截距嚴(yán)格相等或近似嚴(yán)格相等模型。該方法是測(cè)量不變性檢驗(yàn)領(lǐng)域的一個(gè)重要進(jìn)展， 使多組比較可以繞開(kāi)檢驗(yàn)因子載荷和截距嚴(yán)格相等的假設(shè)進(jìn)行。Asparouhov和Muthén （2023a）進(jìn)一步提出了對(duì)齊探索性結(jié)構(gòu)方程模型（Aligned-Exploratory Structural Equation Model， AESEM）， 該模型將對(duì)齊法和探索性結(jié)構(gòu)方程模型的優(yōu)勢(shì)整合， 可以有效估計(jì)模型中的不等參數(shù)、交叉載荷、潛因子間協(xié)方差等， 克服了傳統(tǒng)對(duì)齊法的不足。隨后， Asparouhov和Muthén （2023b）進(jìn)一步提出了懲罰結(jié)構(gòu)方程模型（PSEM）框架， 本文要詳細(xì)介紹的懲罰對(duì)齊法就是將懲罰結(jié)構(gòu)方程模型框架應(yīng)用于測(cè)量不變性檢驗(yàn)的范例。

國(guó)內(nèi)心理統(tǒng)計(jì)與測(cè)量領(lǐng)域的研究者們與時(shí)俱進(jìn)， 發(fā)表了一些關(guān)于測(cè)量不變性檢驗(yàn)方法的研究， 獨(dú)創(chuàng)出新的測(cè)量不變性檢驗(yàn)方法或是將國(guó)外前沿測(cè)量不變性檢驗(yàn)方法引入我國(guó)。張瀝今等人（2019）、宋瓊雅等人（2021）研究了使用貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型進(jìn)行測(cè)量不變性檢驗(yàn)和多組比較的步驟和注意事項(xiàng)。溫聰聰通過(guò)蒙特卡洛模擬研究探究了對(duì)齊法在單因子和三因子模型中允許的不等參數(shù)率（溫聰聰， 史秋衡， 2022）， 進(jìn)一步探究了對(duì)齊法的適用性。Deng和Yuan （2016）首次提出了投影法， 繞過(guò)因子載荷和截距嚴(yán)格相等的假設(shè)， 基于因子載荷嚴(yán)格相等模型進(jìn)行等效性檢驗(yàn)以達(dá)到潛因子均值比較的目的。王陽(yáng)等人（2022）總結(jié)了結(jié)構(gòu)方程模型的參數(shù)估計(jì)方法、擬合優(yōu)度評(píng)價(jià)指標(biāo)、特殊數(shù)據(jù)的處理， 測(cè)量不變性檢驗(yàn)的幾種方法及其適用情境等內(nèi)容， 回顧了新世紀(jì)20年以來(lái)我國(guó)心理統(tǒng)計(jì)與測(cè)量領(lǐng)域結(jié)構(gòu)方程模型建模和測(cè)量不變性檢驗(yàn)等方面的研究進(jìn)展。以上這些研究提出、引入或是總結(jié)了測(cè)量不變性檢驗(yàn)方法的新進(jìn)展， 使我國(guó)實(shí)證研究者在進(jìn)行測(cè)量不變性檢驗(yàn)時(shí)有了更多選擇， 也更加了解如何使用貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型、對(duì)齊法和投影法等方法進(jìn)行測(cè)量不變性檢驗(yàn)和多組比較。

以下， 本文將回顧目前較為前沿的幾種測(cè)量不變性檢驗(yàn)方法， 指出每個(gè)方法所能解決的問(wèn)題， 以及它們的優(yōu)點(diǎn)和不足。

2.1 "貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型（BSEM）

貝葉斯估計(jì)法在統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域?qū)儆谥髁鞣椒ǎ?其成為主流的一個(gè)重要原因是馬爾科夫鏈蒙特卡洛算法取得了巨大成功。貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜏y(cè)量不變性的方法之一。因子載荷和截距嚴(yán)格相等的假設(shè)過(guò)于苛刻， 現(xiàn)實(shí)中很難滿足（宋瓊雅 等， 2021; 王陽(yáng) 等， 2020; 溫聰聰， 史秋衡， 2022; Asparouhov amp; Muthén， 2023a; Muthén amp; Asparouhov， 2013），而基于貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型進(jìn)行測(cè)量不變性檢驗(yàn)的優(yōu)勢(shì)則是將屬于不同組的兩兩對(duì)應(yīng)的因子載荷參數(shù)和截距參數(shù)之間的差異看作待估計(jì)參數(shù)， 對(duì)這些參數(shù)設(shè)置先驗(yàn)分布。這些先驗(yàn)信息設(shè)定了在分析實(shí)證數(shù)據(jù)獲得的信息前提下的條件概率分布中不確定性的多少， 反映了研究者對(duì)模型的已知信息或是先前理論提供的信息。先驗(yàn)分布可以依據(jù)數(shù)據(jù)分析的實(shí)際情況設(shè)置信息先驗(yàn)分布（informative prior）和無(wú)信息先驗(yàn)分布（noninformative prior）。如果對(duì)待估計(jì)參數(shù)所知信息較少， 則可以為該參數(shù)的先驗(yàn)分布設(shè)置一個(gè)較大方差， 體現(xiàn)出參數(shù)值較大的不確定性（Muthén amp; Asparouhov， 2012）。相反， 如果對(duì)參數(shù)值有較為明確的把握， 可以確定是在某個(gè)小的范圍內(nèi)變動(dòng)， 則可以為該參數(shù)的先驗(yàn)分布設(shè)置一個(gè)較小的方差 （王孟成 等， 2017; 張瀝今 等， 2019; Muthén amp; Asparouhov， 2012）。

因此， 進(jìn)行單組貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型檢驗(yàn)不再需要將接近為0的交叉載荷設(shè)置為零載荷， 而是需要設(shè)為近似零載荷， 即通過(guò)設(shè)置正態(tài)先驗(yàn)分布的0均值和先驗(yàn)方差預(yù)測(cè)其估計(jì)值的范圍。在使用極大似然估計(jì)法的驗(yàn)證性因子分析中， 將交叉載荷引入模型會(huì)導(dǎo)致模型無(wú)法識(shí)別。而貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型引入小先驗(yàn)分布方差可以為模型估計(jì)提供更多信息， 避免無(wú)法識(shí)別問(wèn)題。一般情況下， 先為這些交叉載荷設(shè)置0均值和0.01的先驗(yàn)方差， 則這些交叉載荷估計(jì)值的95%可信區(qū)間（Credible Intervals）應(yīng)落在[?0.196， 0.196]， 意味著低程度的交叉載荷， 接近0但不為0。0.01這樣較小的先驗(yàn)方差能讓參數(shù)估計(jì)值的可信區(qū)間不偏離0過(guò)多， 避免得出錯(cuò)誤的PPp值（Muthén amp; Asparouhov， 2012）。設(shè)置0.01的先驗(yàn)方差運(yùn)行出結(jié)果后， 如果交叉載荷估計(jì)值的可信區(qū)間（Credible Intervals）明顯沒(méi)有落在[?0.196， 0.196]的區(qū)間里， 那么就需要依據(jù)估計(jì)值大小增大這些交叉載荷的先驗(yàn)方差， 再次運(yùn)行新模型擬合數(shù)據(jù)。使用貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型進(jìn)行多組測(cè)量不變性檢驗(yàn)也不再要求模型中的所有因子載荷和截距參數(shù)跨組嚴(yán)格相等， 而是將跨組嚴(yán)格相等的參數(shù)設(shè)置為近似嚴(yán)格相等， 將跨組參數(shù)間的差異設(shè)置信息先驗(yàn)分布或無(wú)信息先驗(yàn)分布， 模型最終滿足近似測(cè)量不變性即可（Muthén amp; Asparouhov， 2013）。這一特點(diǎn)使貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型具有處理一定量低程度交叉載荷和低程度不等參數(shù)的能力。此外， 貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型還可以引入殘差相關(guān)， 為進(jìn)一步提升模型的正確性提供了可能（Muthén amp; Asparouhov， 2012; Muthén amp; Asparouhov， 2013）。

2.2 "等效性檢驗(yàn)（Equivalence testing）

多組驗(yàn)證性因子分析和多組探索性結(jié)構(gòu)方程模型等測(cè)量不變性檢驗(yàn)方法在判定嵌套模型優(yōu)劣時(shí)是通過(guò)似然比零假設(shè)檢驗(yàn)來(lái)進(jìn)行。在參數(shù)滿足多元正態(tài)分布和嵌套模型成立的假設(shè)前提下， 嵌套模型和基線模型的似然比卡方變化值漸近服從中心卡方分布， 將卡方變化值、對(duì)應(yīng)的自由度變化值相結(jié)合計(jì)算出對(duì)應(yīng)p值， 與顯著性水平α比較后得出卡方變化統(tǒng)計(jì)量的顯著性， 判斷測(cè)量不變性程度更強(qiáng)的嵌套模型是否被拒絕。似然比零假設(shè)檢驗(yàn)有兩個(gè)不足之處， 一是零假設(shè)沒(méi)有被拒絕有可能只是說(shuō)明拒絕零假設(shè)的效力較低， 也就是統(tǒng)計(jì)學(xué)上的二類錯(cuò)誤， 并不一定說(shuō)明零假設(shè)成立（Shi et al.， 2019）。二是似然比零假設(shè)檢驗(yàn)探究的是因子載荷嚴(yán)格相等或因子載荷和截距嚴(yán)格相等的嵌套模型是否被拒絕。在極大似然估計(jì)中， 當(dāng)數(shù)據(jù)樣本量較大時(shí)， 即使一些因子載荷或截距的不等程度很微小， 但會(huì)統(tǒng)計(jì)顯著。在許多高組數(shù)目、高樣本量的跨國(guó)、跨文化多組比較當(dāng)中， 因子載荷嚴(yán)格相等的假設(shè)和因子載荷和截距嚴(yán)格相等的假設(shè)都很容易被拒絕（Byrne amp; van de Vijver， 2010; Caycho-Rodríguez et al.， 2021; Jang et al.， 2017; Lomazzi， 2018; Munck et al.， 2018）。綜上所述， 傳統(tǒng)測(cè)量不變性檢驗(yàn)方法采用似然比零假設(shè)檢驗(yàn)存在一定的局限。

等效性檢驗(yàn)在這一背景下被提出。其計(jì)算邏輯是設(shè)定測(cè)量不變性程度較強(qiáng)的嵌套模型， 計(jì)算出嵌套模型成立對(duì)應(yīng)的似然比統(tǒng)計(jì)量， 并且將似然比進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為RMSEA或CFI模型擬合指數(shù)。根據(jù)先前研究， RMSEA和CFI指標(biāo)表現(xiàn)的好壞已經(jīng)有了臨界值標(biāo)準(zhǔn)， 將轉(zhuǎn)化出的模型擬合指數(shù)值與臨界值標(biāo)準(zhǔn)相比較， 就能判斷該嵌套模型是否被拒絕（Yuan et al.， 2016）。

Deng和Yuan （2016）基于等效性檢驗(yàn)進(jìn)一步提出了投影法（projection method）用于測(cè)量不變性檢驗(yàn)。該方法將每組中每個(gè)觀測(cè)指標(biāo)的均值分為兩個(gè)相互正交的成分， 即共同分?jǐn)?shù)和特殊因子。檢驗(yàn)共同分?jǐn)?shù)均值的跨組不變性和傳統(tǒng)方法檢驗(yàn)潛因子均值的跨組不變性是等效的。使用該方法比較各組的潛因子均值不必滿足因子載荷和截距嚴(yán)格相等的假設(shè)， 只需要滿足因子載荷嚴(yán)格相等的假設(shè)， 直接檢驗(yàn)共同分?jǐn)?shù)均值的跨組不變性即可。這使測(cè)量不變性檢驗(yàn)變得更加容易（王陽(yáng) 等， 2020; Deng amp; Yuan， 2016）。

雖然投影法和等效性檢驗(yàn)為測(cè)量不變性檢驗(yàn)提供了新的可能和做法， 但它們也存在一些不足。第一， 當(dāng)結(jié)果拒絕零假設(shè)時(shí)， 只能說(shuō)明已有檢驗(yàn)結(jié)果和指標(biāo)不支持嵌套模型的測(cè)量不變性， 但并不能肯定模型參數(shù)的不等性被發(fā)現(xiàn)了（Shi et al.， 2019）。第二， 兩種方法判斷模型測(cè)量不變性的標(biāo)準(zhǔn)主要是基于RMSEA和CFI指標(biāo)， 但這些指標(biāo)并不是標(biāo)準(zhǔn)化的指標(biāo)， 不具備比較性， 提供不了更多有關(guān)模型參數(shù)不等程度的信息。例如， 如果兩個(gè)模型的RMSEA值都為0.13， 這一值大于0.08的可接受標(biāo)準(zhǔn)。雖然兩個(gè)模型的RMSEA值相對(duì)可接受標(biāo)準(zhǔn)的差值都為0.05， 但兩個(gè)模型的復(fù)雜程度、參數(shù)的不等性、樣本量等基本條件可能有很大不同。第三， 使用投影法進(jìn)行潛因子均值比較需要模型滿足弱測(cè)量不變性， 但該假設(shè)在一些高組數(shù)目、高樣本量的多組比較模型中仍然很難滿足（溫聰聰， 史秋衡， 2022; Asparouhov amp; Muthén， 2023a）。正是因?yàn)檫@些不足， 投影法和等效性檢驗(yàn)并沒(méi)有在多組比較研究中被廣泛使用。

2.3 "對(duì)齊法和對(duì)齊探索性結(jié)構(gòu)方程模型（Alignment和AESEM）

傳統(tǒng)方法進(jìn)行潛因子均值多組比較都需要檢驗(yàn)因子載荷和截距嚴(yán)格相等的假設(shè)。即使Muthén和Asparouhov將貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型應(yīng)用于多組比較， 也需要通過(guò)設(shè)定正態(tài)先驗(yàn)分布檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷摹皬?qiáng)近似測(cè)量不變性”， 然后由后往前修正模型， 實(shí)現(xiàn)多組比較。2014年， Asparouhov和Muthén提出了對(duì)齊法， 基于形態(tài)不變模型使用該方法進(jìn)行測(cè)量不變性檢驗(yàn)和多組比較。形態(tài)不變模型原本是自由估計(jì)因子載荷和截距， 潛因子均值被設(shè)為0， 潛因子方差被設(shè)為1。但在對(duì)齊法中， 潛因子均值和潛因子方差也被自由估計(jì)。為了估計(jì)潛因子均值和潛因子方差需要依據(jù)以下總損失函數(shù)F進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算， 使原本無(wú)法識(shí)別的模型變得可識(shí)別（Asparouhov amp; Muthén， 2014）。

（1）

其中p為觀測(cè)指標(biāo)序數(shù)， g為組序數(shù)， λpg為因子載

荷， τpg為截距。 "= "， Ng1 、Ng2代

表組樣本量， 樣本量大的組對(duì)總損失函數(shù)的貢獻(xiàn)要

高于樣本量小的組。 和

分別代表g1組和g2組因子載荷和截距的差異， 被稱為成分損失函數(shù)， 如下式所示：

（2）

為了理清對(duì)齊法使用成分損失函數(shù) 求最小化解的邏輯， 使用如圖1所示的 的函數(shù)圖來(lái)說(shuō)明。當(dāng)0lt;xlt;0.25時(shí)， "， 且 的值單調(diào)遞增， 成分損失函數(shù) 被高估的程度越來(lái)越大; 當(dāng)0.25lt;xlt;1時(shí)， "， 且 的值單調(diào)遞減， 成分損失函數(shù) 被高估的程度越來(lái)越小; 當(dāng)xgt;1時(shí)， "為負(fù)數(shù)， 成分損失函數(shù) 被低估。所以， 根據(jù) 的性質(zhì)， 當(dāng)x取值接近0或接近1時(shí)， "的高估程度很小; 當(dāng)x取值大于1時(shí)， "被低估。所以， 總損失函數(shù)F取得最小值的解應(yīng)是當(dāng)模型擁有少量較大不等參數(shù)和大多數(shù)滿足近似測(cè)量不變性參數(shù)的時(shí)候。

圖1 " 在第一、四象限部分區(qū)間的函數(shù)圖

對(duì)齊法的運(yùn)算原理是對(duì)于任意一整套的潛因子均值和潛因子方差， 必然有相對(duì)應(yīng)的截距和因子載荷， 使對(duì)齊模型和形態(tài)不變模型具有相等的似然值。利用成分損失函數(shù) 的特點(diǎn)使模型在擁有少數(shù)較大不等參數(shù)和大部分滿足近似測(cè)量不變性參數(shù)的時(shí)候使模型不等性最小化， 此時(shí)得出的模型就是最優(yōu)對(duì)齊模型。根據(jù)蒙特卡洛模擬研究顯示， 對(duì)齊法在多因子模型中存在20%至30%的不等參數(shù)時(shí)， 仍能提供精確的模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果。當(dāng)模型為單因子模型時(shí)， 對(duì)齊法允許模型中存在的不等參數(shù)率可以達(dá)到100% （溫聰聰， 史秋衡， 2022）。

當(dāng)總損失函數(shù)F被最小化后， 對(duì)齊法通常可以識(shí)別所有組的潛因子均值和除第一組外所有組的潛因子方差。對(duì)齊法的參數(shù)優(yōu)化方式可以分為固定對(duì)齊優(yōu)化（fixed alignment optimization）和自由對(duì)齊優(yōu)化（free alignment optimization）兩種方式。固定對(duì)齊優(yōu)化方式設(shè)定第一個(gè)組的潛因子均值 為定值0， 該組也被稱為參照組（參照組默認(rèn)為 ， Mplus中可以自行設(shè)置改變參照組）， 而自由對(duì)齊優(yōu)化方式則設(shè)定 為自由估計(jì)參數(shù)。第一組的潛因子方差 則需要利用以下參數(shù)限定識(shí)別并估計(jì)：

（3）

為了使參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化， 兩種算法在報(bào)告輸出結(jié)果時(shí)將 轉(zhuǎn)換為定值1的尺度來(lái)報(bào)告最終參數(shù)估計(jì)結(jié)果。

對(duì)齊法的提出使測(cè)量不變性檢驗(yàn)不再依賴檢驗(yàn)因子載荷和截距嚴(yán)格相等， 而是檢驗(yàn)形態(tài)不變模型中因子載荷和截距參數(shù)是否近似嚴(yán)格相等。對(duì)齊法具有處理更多不等參數(shù)的能力， 同時(shí)可以為模型中的所有參數(shù)提供測(cè)量不變或不等的診斷。對(duì)齊法在大型跨國(guó)、跨文化研究中已經(jīng)越來(lái)越被廣泛使用（Byrne amp; van de Vijver， 2010; Caycho- Rodríguez et al.， 2021; Jang et al.， 2017; Lomazzi， 2018; Munck et al.， 2018）。

雖然對(duì)齊法有這些獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)， 但該方法仍是基于傳統(tǒng)的驗(yàn)證性因子分析模型進(jìn)行分析， 無(wú)法在模型中引入交叉載荷， 這將導(dǎo)致主因子載荷、潛因子相關(guān)性的高估， 以及潛因子均值估計(jì)的偏差（Wen amp; Hu， 2022）。2023年， Asparouhov和Muthén將對(duì)齊法和探索性結(jié)構(gòu)方程模型進(jìn)行了整合， 進(jìn)一步提出了對(duì)齊探索性結(jié)構(gòu)方程模型（AESEM）。該方法的運(yùn)算過(guò)程主要分為三個(gè)步驟：首先使用未旋轉(zhuǎn)模型擬合數(shù)據(jù)樣本， 其次基于探索性因子分析的旋轉(zhuǎn)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)未旋轉(zhuǎn)模型進(jìn)行擬合， 最后基于對(duì)齊法成分損失函數(shù)對(duì)形態(tài)不變的探索性因子分析模型進(jìn)行擬合（Asparouhov amp; Muthén， 2023a）。對(duì)齊探索性結(jié)構(gòu)方程模型兼具探索性結(jié)構(gòu)方程模型可以精確估計(jì)交叉載荷和對(duì)齊法允許模型中存在一定量不等參數(shù)的優(yōu)勢(shì)， 是基于近似測(cè)量不變性檢驗(yàn)進(jìn)行多組比較的一個(gè)十分有應(yīng)用前景的新方法。

2.4 "二水平隨機(jī)效應(yīng)法（two-level random effects model）

二水平隨機(jī)效應(yīng)法將測(cè)量不變性檢驗(yàn)應(yīng)用于多水平模型中， 使測(cè)量不變性檢驗(yàn)擁有多水平模型具備的優(yōu)勢(shì)。根據(jù)Muthén和Asparouhov （2018）的模型表述， 對(duì)于一個(gè)特定的連續(xù)型潛因子觀測(cè)指標(biāo)yij， 二水平隨機(jī)效應(yīng)模型如下式所示：

（4）

（5）

（6）

其中fwij～N（0，1）， εij～N（0，θ）， εvj～N（0， ）， ελj～N（0， ）， fB～N（0，ψ）， fψj～N（0， ）。 體現(xiàn)的是截距的變異， "體現(xiàn)的是因子載荷的變異， ψ體現(xiàn)的是潛因子均值的變異， "體現(xiàn)的是潛因子方差的變異。組間水平的fBj潛因子得分均值就是各個(gè)組的潛因子均值。

使用二水平隨機(jī)效應(yīng)法進(jìn)行分析通常需要遵循Jak等人（2013）提出的三個(gè)隨機(jī)截距模型分析步驟：（1）設(shè)定組內(nèi)和組間因子載荷不等， 組間水平的殘差方差自由估計(jì); 這個(gè)模型把 和 設(shè)為0， 且令λj = λw， "自由估計(jì)。（2）組內(nèi)和組間因子載荷相等， 組間水平的殘差方差自由估計(jì)， 這一步設(shè)置了弱近似測(cè)量不變性; 這個(gè)模型把 和 設(shè)為0， 且令λj = λ， "自由估計(jì)。（3）組內(nèi)和組間因子載荷相等， 組間水平的殘差方差為0， 這一步設(shè)置了強(qiáng)近似測(cè)量不變性（Kim et al.， 2017）; 這個(gè)模型把 和 設(shè)為0， 且令λj = λ， "也設(shè)為0。

二水平隨機(jī)效應(yīng)法將模型參數(shù)看作是隨機(jī)參數(shù)， 檢驗(yàn)的是模型參數(shù)的近似測(cè)量不變性。由于多水平模型較為復(fù)雜， 使用極大似然估計(jì)法估計(jì)模型參數(shù)會(huì)使定積分的運(yùn)算維度變多， 很難進(jìn)行運(yùn)算， 所以二水平隨機(jī)效應(yīng)法使用的是貝葉斯估計(jì)法。二水平隨機(jī)效應(yīng)法具備可以處理組數(shù)目超過(guò)100的模型， 組所需最小樣本量要求較低， 可以設(shè)定組水平變量影響模型參數(shù)， 通過(guò)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)的近似測(cè)量不變性達(dá)到多組比較目的等優(yōu)點(diǎn)（Muthén amp; Asparouhov， 2018）。

同時(shí)， 二水平隨機(jī)效應(yīng)法也存在一些不足， 例如該方法要求模型中的因子包含較多數(shù)量的觀測(cè)指標(biāo)， 測(cè)量參數(shù)必須滿足正態(tài)分布假設(shè)， 在復(fù)雜抽樣調(diào)查中較難適用， 運(yùn)算時(shí)間較長(zhǎng)等（Muthén amp; Asparouhov， 2018）。

已有的測(cè)量不變性檢驗(yàn)方法還有多水平因子混合模型、多組探索性結(jié)構(gòu)方程模型等其他方法。由于這些方法的適用性有限， 所以未納入本研究的回顧中。

3 "懲罰對(duì)齊法——懲罰結(jié)構(gòu)方程模型（PSEM）框架在測(cè)量不變性檢驗(yàn)領(lǐng)域的應(yīng)用

懲罰結(jié)構(gòu)方程模型于2023年由Asparouhov和Muthén提出， 該研究目前已可在Mplus官方網(wǎng)站閱讀（Asparouhov amp; Muthén， 2023b）。懲罰結(jié)構(gòu)方程模型可以應(yīng)用于許多已有的統(tǒng)計(jì)分析方法， 包括跨時(shí)序結(jié)構(gòu)方程模型參數(shù)的對(duì)齊（比如潛在增長(zhǎng)曲線模型）， 結(jié)構(gòu)方程模型參數(shù)的對(duì)齊（比如對(duì)齊結(jié)構(gòu)方程模型）， 多組探索性因子分析（比如多組探索性結(jié)構(gòu)方程模型和對(duì)齊探索性結(jié)構(gòu)方程模型）， 使用非正交和非斜交旋轉(zhuǎn)標(biāo)準(zhǔn)的探索性因子分析（比如二階探索性因子分析和擁有超過(guò)一個(gè)主因子的雙因子探索性因子分析）， 所有組的因子均為正交關(guān)系的強(qiáng)測(cè)量不變多組探索性因子分析， 模型參數(shù)滿足近似測(cè)量不變性或近似為零的貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型等。由于只是使用了相應(yīng)方法的旋轉(zhuǎn)標(biāo)準(zhǔn)、成分損失函數(shù)等作為懲罰函數(shù)， 以上列出的情況和方法并未窮盡懲罰結(jié)構(gòu)方程模型的適用情境（Asparouhov amp; Muthén， 2023b）。在實(shí)踐中， 可以自設(shè)懲罰函數(shù)， 應(yīng)用于新的模型和情境。

3.1 "懲罰對(duì)齊法進(jìn)行測(cè)量不變性檢驗(yàn)的原理

懲罰結(jié)構(gòu)方程模型框架應(yīng)用于測(cè)量不變性檢驗(yàn)和多組比較的一個(gè)典型案例是懲罰對(duì)齊法。接下來(lái)詳述懲罰對(duì)齊法進(jìn)行測(cè)量不變性檢驗(yàn)的原理。假設(shè)M1為擁有θ1個(gè)參數(shù)和對(duì)數(shù)似然函數(shù)L（θ1）的未識(shí)別模型。再假設(shè)一個(gè)重新參數(shù)化后的模型G將已識(shí)別的維度和未識(shí)別的維度相分離。θ1 = G（θ2， θ3）是一一對(duì)應(yīng)可變的參數(shù)轉(zhuǎn)化， 其中θ2代表可以被識(shí)別的參數(shù)， θ3代表未識(shí)別的參數(shù)。θ1代表模型中的觀測(cè)指標(biāo)截距和因子載荷， 以及潛因子均值， 潛因子方差， 因子間協(xié)方差。θ2代表形態(tài)不變模型里的截距和因子載荷參數(shù)， θ3代表潛因子均值， 潛因子方差。

懲罰對(duì)齊法設(shè)定未識(shí)別的θ3參數(shù)的所有潛因子均值為0， 潛因子方差為1， 可以得出一個(gè)可識(shí)別的零假設(shè)模型M0， 也可以稱作形態(tài)不變模型。形態(tài)不變模型有一些重要的性質(zhì)， 比如模型M0和M1的對(duì)數(shù)似然值和模型擬合度是相等的， 自由估計(jì)的參數(shù)數(shù)量也是相等的。對(duì)于模型M0， θ3參數(shù)被識(shí)別是因?yàn)闈撘蜃泳当辉O(shè)為定值0， 潛因子方差被設(shè)為定值1。而對(duì)于模型M1， θ3參數(shù)通過(guò)懲罰函數(shù)P（θ）被識(shí)別。懲罰對(duì)齊法分析的核心思想是使對(duì)數(shù)似然函數(shù)L（θ）取得最大值而P（θ）取得合理區(qū)間內(nèi)的最小值， 完成測(cè)量不變性檢驗(yàn)， 計(jì)算出模型M1中的潛因子均值和潛因子方差， 這樣研究者就可以進(jìn)行多組比較。

為了使加權(quán)的對(duì)數(shù)似然值取得最大值， 懲罰對(duì)齊法模型應(yīng)滿足下式：

Lw（θ1） = （1–w） L（θ1） –wP（θ1） " （7）

其中w代表懲罰函數(shù)的權(quán)重， 通常設(shè)為0.1或0.01。一般來(lái)說(shuō)， 懲罰函數(shù)的權(quán)重越小， 模型分析就需要更低的收斂標(biāo)準(zhǔn)。懲罰對(duì)齊法通過(guò)選擇越來(lái)越小但不為0的懲罰函數(shù)權(quán)重w， 使對(duì)數(shù)似然函數(shù)Lw（θ1）逐漸得到近似最優(yōu)解。這里的w必須在合理區(qū)間， 不能取無(wú)限小的正值， 因?yàn)閣過(guò)小可能導(dǎo)致模型無(wú)法收斂、無(wú)法識(shí)別、標(biāo)準(zhǔn)誤估計(jì)出現(xiàn)鞍點(diǎn)等問(wèn)題（Asparouhov amp; Muthén， 2023b）。

在懲罰對(duì)齊法模型中， 為了使加權(quán)的對(duì)數(shù)似然值Lw取得最大值， 加權(quán)的θ2，w和θ3，w參數(shù)需滿足下式：

= （1–w） – w = 0 （8）

通過(guò)此式只可以得出θ2，w參數(shù)的解， 將此解記作 2，w， 此時(shí)求出了L（θ1）的最大值。為了使Lw取得最大值， 對(duì)齊懲罰函數(shù)P（θ）應(yīng)在合理范圍內(nèi)取得最小值。根據(jù)前文對(duì)于對(duì)齊法原理的描述， 利用形態(tài)不變模型M0和引入懲罰函數(shù)的模型M1具有相同的模型擬合度和對(duì)數(shù)似然值的性質(zhì)， 依據(jù)對(duì)齊懲罰函數(shù)P（θ）選取相應(yīng)的θ3，w， 使公式（1）表示的總損失函數(shù)F取得最小值解。由于組樣本量為已知確定值， 最小化總損失函數(shù)F本質(zhì)上就是要讓對(duì)齊懲罰函數(shù)P（θ）取得最小值。因此， θ3，w需滿足下式：

= –w = 0 " （9）

當(dāng)為參數(shù)設(shè)置均值為μ， 先驗(yàn)分布方差為v的對(duì)齊先驗(yàn)分布ALF（μ， v）時(shí)， 對(duì)齊懲罰函數(shù)P（θ）如下式所示：

（10）

其中對(duì)齊成分損失函數(shù) 如下式所示：

（11）

在懲罰對(duì)齊法中需要將屬于相同觀測(cè)指標(biāo)， 但屬于不同組的因子載荷或截距兩兩間的差異納入 進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。此處ε為一個(gè)很小的正值（Mplus軟件中默認(rèn)設(shè)為0.001）， 可以使對(duì)齊懲罰函數(shù)擁有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)， 懲罰對(duì)數(shù)似然值的優(yōu)化變得更簡(jiǎn)單。小的ε值意味著參數(shù)點(diǎn)估計(jì)值的偏差較小， 大的ε值意味著參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤估計(jì)值的偏差較小。如上文對(duì)齊法原理部分所述， 根據(jù)對(duì)齊成分損失函數(shù) 的性質(zhì)， 公式（1）所示的總損失函數(shù)F取得最小值的解應(yīng)當(dāng)是當(dāng)模型擁有少量較大不等參數(shù)和大多數(shù)滿足近似測(cè)量不變性參數(shù)的時(shí)候。通過(guò)公式（9）至（11）可以得出θ3，w參數(shù)的

解， 將此解記作 3，w。M1模型所有參數(shù)θ1，w的解記作 1，w= G（ 2，w， "3，w）。

至此， 我們發(fā)現(xiàn)懲罰對(duì)齊法沒(méi)有檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭械囊蜃虞d荷和截距嚴(yán)格相等， 而是基于形態(tài)不變模型引入對(duì)齊懲罰函數(shù)P（θ）， 求得形態(tài)不變模型原本無(wú)法識(shí)別的潛因子均值和潛因子方差， 然后進(jìn)一步選取最優(yōu)測(cè)量不變模型完成測(cè)量不變性檢驗(yàn)， 并進(jìn)行多組比較。

3.2 "懲罰對(duì)齊法繼承傳統(tǒng)方法的優(yōu)勢(shì)與克服的不足

用一句話來(lái)概括， 懲罰對(duì)齊法的主要優(yōu)勢(shì)是它繼承并整合了多組探索性因子分析， 對(duì)齊法和貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型的優(yōu)勢(shì)， 與此同時(shí)克服了這三種方法的不足。下面將具體介紹懲罰對(duì)齊法繼承了傳統(tǒng)方法的哪些優(yōu)勢(shì)， 克服了哪些不足。

3.2.1 "繼承了多組探索性因子分析的優(yōu)勢(shì)， 克服了其不足

多組探索性因子分析的典型方法是多組探索性結(jié)構(gòu)方程模型。傳統(tǒng)驗(yàn)證性因子分析忽略估計(jì)交叉載荷， 導(dǎo)致因子載荷和因子間協(xié)方差的高估， 潛因子均值估計(jì)出現(xiàn)偏差（Asparouhov amp; Muthén， 2009; Marsh et al.， 2013; Wen amp; Hu， 2022）， 探索性結(jié)構(gòu)方程模型的提出解決了此問(wèn)題（Marsh et al.， 2013; Asparouhov amp; Muthén， 2023a）。一些研究使用目標(biāo)旋轉(zhuǎn)法（target rotation）將較小的不顯著因子載荷設(shè)為近似為零的目標(biāo)載荷， 取得了較好的分析效果。基于目標(biāo)旋轉(zhuǎn)法的多組探索性結(jié)構(gòu)方程模型一度被認(rèn)為是最好的多組探索性因子分析方法（Asparouhov amp; Muthén， 2023b）。懲罰對(duì)齊法繼承了多組探索性因子分析在EFA框架內(nèi)進(jìn)行測(cè)量不變性檢驗(yàn)和可以精確估計(jì)模型中的交叉載荷和近似為零因子載荷的優(yōu)勢(shì)。

同時(shí)， 多組探索性因子分析存在一些不足， 但懲罰對(duì)齊法克服了這些不足。第一， 使用多組探索性結(jié)構(gòu)方程模型進(jìn)行多組比較需要檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭械囊蜃虞d荷和截距嚴(yán)格相等， 但現(xiàn)實(shí)中很難滿足。而懲罰對(duì)齊法檢驗(yàn)的是模型的近似測(cè)量不變性， 在多因子情境下允許模型中存在20%至30%的不等參數(shù)， 限制性更低。第二， 采用目標(biāo)旋轉(zhuǎn)法的多組探索性結(jié)構(gòu)方程模型如果目標(biāo)載荷出現(xiàn)誤設(shè)， 模型參數(shù)估計(jì)效果會(huì)變得不好。而懲罰對(duì)齊法即使出現(xiàn)誤設(shè)， 也能精確估計(jì)各類模型參數(shù)。第三， 采用目標(biāo)旋轉(zhuǎn)法的多組探索性結(jié)構(gòu)方程模型要求每個(gè)因子至少設(shè)定模型因子數(shù)m?1個(gè)目標(biāo)載荷才能使參數(shù)估計(jì)結(jié)果有較小的均方誤差， 這就有可能出現(xiàn)被迫誤設(shè)的情況。而懲罰對(duì)齊法可以直接對(duì)所有測(cè)量參數(shù)設(shè)定對(duì)齊先驗(yàn)分布， 不必滿足最低目標(biāo)載荷設(shè)置數(shù)量。

3.2.2 "繼承了對(duì)齊法的優(yōu)勢(shì)， 克服了其不足

對(duì)齊法基于形態(tài)不變模型， 通過(guò)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)的近似測(cè)量不變性達(dá)到潛因子均值比較的目的， 較好地解決了傳統(tǒng)方法進(jìn)行多組比較需要滿足苛刻的因子載荷和截距嚴(yán)格相等假設(shè)的不足（溫聰聰 等， 2019; Asparouhov amp; Muthén， 2014）。2023年， Asparouhov和Muthén又開(kāi)發(fā)出了對(duì)齊探索性結(jié)構(gòu)方程模型， 該方法既允許多因子模型中存在20%至30%的不等參數(shù)， 又可以精確估計(jì)模型中的交叉載荷（Asparouhov amp; Muthén， 2023a）。將對(duì)齊法中的成分損失函數(shù)作為懲罰函數(shù)的懲罰對(duì)齊法當(dāng)然也具備傳統(tǒng)對(duì)齊法的優(yōu)勢(shì)。

同時(shí)， 對(duì)齊法存在一些不足， 但懲罰對(duì)齊法克服了這些不足。第一， 無(wú)論是傳統(tǒng)對(duì)齊法還是對(duì)齊探索性結(jié)構(gòu)方程， 在使用固定識(shí)別算法時(shí)需要將選擇的參照組中所有潛因子的因子均值設(shè)定為0， 潛因子方差設(shè)定為1， 但現(xiàn)實(shí)中很難保證該組所有潛因子均值相等， 把它們都設(shè)為0就會(huì)出現(xiàn)誤設(shè)， 影響模型參數(shù)估計(jì)效果。而懲罰對(duì)齊法不需要設(shè)置唯一的參照組， 即設(shè)為0的潛因子均值可以存在于不同組。第二， 對(duì)齊法無(wú)法應(yīng)用于多指標(biāo)多因素模型（MIMIC model）， 即無(wú)法在模型中引入預(yù)測(cè)潛因子的觀測(cè)指標(biāo)， 但懲罰對(duì)齊法可以引入（Asparouhov amp; Muthén， 2023b）。

3.2.3 "繼承了貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型的優(yōu)勢(shì)， 克服了其不足

傳統(tǒng)多組比較方法進(jìn)行測(cè)量不變性檢驗(yàn)時(shí)很難滿足因子載荷和截距嚴(yán)格相等的假設(shè)， 需要利用修正指數(shù)主觀確定下一步分析釋放哪些參數(shù)被自由估計(jì)， 模型可能越修正越遠(yuǎn)離真實(shí)的模型（Asparouhov amp; Muthén， 2014; Marsh et al.， 2018）。在這一背景下， 貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型被應(yīng)用于測(cè)量不變性檢驗(yàn)來(lái)解決上述問(wèn)題。該方法一方面通過(guò)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕茰y(cè)量不變性達(dá)到潛因子均值比較的目的， 放寬了對(duì)模型參數(shù)的限制。另一方面， 該方法可以對(duì)模型參數(shù)設(shè)定較小先驗(yàn)方差的信息先驗(yàn)分布， 將已有理論和預(yù)測(cè)提供的信息運(yùn)用于分析中， 有效估計(jì)模型中的近似測(cè)量不變參數(shù)、低程度交叉載荷和殘差相關(guān)。懲罰對(duì)齊法在進(jìn)行多組比較時(shí)也檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕茰y(cè)量不變性， 并且對(duì)模型參數(shù)設(shè)定對(duì)齊先驗(yàn)分布， 該方法同樣具備貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型的優(yōu)勢(shì)。

同時(shí)， 貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型存在一些不足， 但懲罰對(duì)齊法克服了這些不足。第一， 貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型是基于貝葉斯估計(jì)法， 而懲罰對(duì)齊法是基于極大似然估計(jì)法。在極大似然估計(jì)法框架中， 可以通過(guò)似然比檢驗(yàn)比較嵌套模型擬合度的優(yōu)劣， 而貝葉斯估計(jì)法框架不具備這一特點(diǎn)。同時(shí)， 同等模型極大似然估計(jì)法的計(jì)算速度也明顯快于貝葉斯估計(jì)法。第二， 貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型在進(jìn)行測(cè)量不變性檢驗(yàn)時(shí)檢驗(yàn)的是近似測(cè)量不變性， 假設(shè)大部分跨組對(duì)應(yīng)的模型參數(shù)近似相等， 所以對(duì)模型參數(shù)差異設(shè)置的是零均值正態(tài)先驗(yàn)分布。正態(tài)先驗(yàn)分布傾向于最小化待估計(jì)參數(shù)的均方誤差， 可能把參數(shù)的不擬合性傳導(dǎo)至整個(gè)模型， 影響參數(shù)估計(jì)效果（Asparouhov amp; Muthén， 2023b）。而懲罰對(duì)齊法對(duì)模型參數(shù)差異設(shè)置的是

基于懲罰函數(shù) 和對(duì)齊成分損失函數(shù) 的對(duì)齊先驗(yàn)分布， 對(duì)齊先驗(yàn)分布傾

向于減少不等參數(shù)數(shù)量， 不假設(shè)先驗(yàn)分布滿足正態(tài)分布， 也不太依賴先驗(yàn)方差的精細(xì)設(shè)定。由于對(duì)齊先驗(yàn)分布具有這些性質(zhì)， 其應(yīng)用于參數(shù)估計(jì)時(shí)更接近現(xiàn)實(shí)情況， 相比正態(tài)先驗(yàn)分布能提供更無(wú)偏的估計(jì)結(jié)果， 95%置信區(qū)間真值覆蓋率通常也更高（Asparouhov amp; Muthén， 2023b）。第三， 貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型在進(jìn)行測(cè)量不變性檢驗(yàn)時(shí)可以分為三步（Muthén amp; Asparouhov， 2013）：（1）先對(duì)所有跨組對(duì)應(yīng)模型參數(shù)之間的差異設(shè)定較小的先驗(yàn)分布方差， 例如0.01 （宋瓊雅 等， 2021; Kim et al.， 2017）， 得出PPp、DIC、BIC等模型擬合指標(biāo)結(jié)果; （2）對(duì)所有跨組對(duì)應(yīng)模型參數(shù)之間的差異設(shè)定較大的先驗(yàn)分布方差， 例如0.05或0.1， 增大了參數(shù)差異的變異程度， 此時(shí)比較與設(shè)定先驗(yàn)分布方差為0.01模型的PPp、DIC、BIC等模型擬合指數(shù)是否有顯著提升。如果先驗(yàn)方差為0.01的模型擬合指標(biāo)更好或兩個(gè)模型的擬合指標(biāo)無(wú)顯著差異， 則可以認(rèn)為模型滿足近似測(cè)量不變性; 否則， 說(shuō)明模型不滿足近似測(cè)量不變性。這前兩個(gè)步驟通常被稱為敏感性分析（宋瓊雅 等， 2021; Muthén amp; Asparouhov， 2012）; （3）根據(jù)敏感性分析選取出的更優(yōu)模型的估計(jì)結(jié)果對(duì)不滿足近似測(cè)量不變性的少量參數(shù)差異調(diào)整為較大先驗(yàn)分布方差， 得出修正后的最優(yōu)近似測(cè)量不變性模型。而懲罰對(duì)齊法則是對(duì)所有跨組對(duì)應(yīng)參數(shù)間的差異設(shè)置較大先驗(yàn)分布方差， 一步就可以精確估計(jì)出所有的近似測(cè)量不變參數(shù)和不等參數(shù)。

通過(guò)將懲罰對(duì)齊法與傳統(tǒng)測(cè)量不變性檢驗(yàn)方法進(jìn)行比較， 可以看出懲罰對(duì)齊法具有明顯優(yōu)勢(shì)。

4 "研究實(shí)例

2014年5月至9月， 北京大學(xué)“高等理科教育改革調(diào)研組” （《關(guān)于開(kāi)展高等理科教育改革調(diào)研的通知》高教司函[2012]221號(hào)）在全國(guó)百余所高校中進(jìn)行了本科生網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查， 并于9月初成功回收有效問(wèn)卷100941份。本節(jié)將運(yùn)用該問(wèn)卷中大學(xué)生職業(yè)價(jià)值觀量表數(shù)據(jù)的分析作為研究實(shí)例演示如何使用懲罰對(duì)齊法進(jìn)行測(cè)量不變性檢驗(yàn)， 并比較985非C9高校、211高校、普通高校、C9高校大學(xué)生的職業(yè)價(jià)值觀差異。測(cè)量大學(xué)生職業(yè)價(jià)值觀的量表共設(shè)6題， 使用4點(diǎn)Likert計(jì)分方式（1分為不重要、2分為不太重要、3分為比較重要、4分為重要）進(jìn)行測(cè)量， 設(shè)問(wèn)為“考慮到您自己的未來(lái)發(fā)展， 您認(rèn)為下列因素的重要程度如何？”該量表包含兩個(gè)因子， 利他因子和自我實(shí)現(xiàn)因子各包含3個(gè)等級(jí)多分類觀測(cè)指標(biāo)， 具體內(nèi)容如表1所示。由于每個(gè)4點(diǎn)Likert計(jì)分變量在分析時(shí)包含3個(gè)閾值， 一些填答類別的學(xué)生數(shù)過(guò)少， 會(huì)導(dǎo)致模型無(wú)法識(shí)別。因此， 將研究實(shí)例中的4點(diǎn)Likert計(jì)分變量轉(zhuǎn)換為了3點(diǎn)計(jì)分等級(jí)多分類變量， 1、2分記為“1”分， 3、4分重新分別記為“2”分和“3”分。

前文公式（1）表示的總損失函數(shù)F中的Wg1，g2= 是用來(lái)反映組樣本量大小和特定組參數(shù)估計(jì)的確定性， 較大的組樣本量比較小的組樣本量對(duì)總損失函數(shù)的貢獻(xiàn)更大。原始樣本數(shù)據(jù)的總樣本量為90416， 其中985高校學(xué)生的樣本量為16167， 211高校學(xué)生的樣本量為9249， 普通本科高校學(xué)生的樣本量為63585， C9高校學(xué)生的樣本量為1415。根據(jù) 的公式可知， 在比較G3普通本科高校組和其他組參數(shù)的不等性時(shí)， G3對(duì) 的貢獻(xiàn)是G1的 倍， "的貢獻(xiàn)是G2的 倍， G3對(duì) 的貢獻(xiàn)是G4的 倍。為了防止對(duì)齊法測(cè)量不等性優(yōu)化計(jì)算中各組樣本量差距過(guò)大而導(dǎo)致較大組對(duì)參數(shù)差異不等性的貢獻(xiàn)過(guò)高， 對(duì)原始樣本中普通本科高校組和985高校組各重新隨機(jī)抽樣，隨機(jī)選取保留9249個(gè)個(gè)案。這樣一來(lái)， 4個(gè)高校組的樣本量比數(shù)變?yōu)?.5：6.5：6.5：1。985高校、211高校、普通高校組的參數(shù)在進(jìn)行測(cè)量不等性優(yōu)化計(jì)算時(shí)， 它們之間的樣本量權(quán)重是相等的。而這三個(gè)組在測(cè)量不等性優(yōu)化計(jì)算中樣本量影響的權(quán)重是C9院校組的 倍。通過(guò)這樣的重新隨機(jī)抽樣策略， 平衡了各組樣本量在測(cè)量不等性優(yōu)化計(jì)算中的權(quán)重， 明顯縮小了各組樣本量的差距。經(jīng)過(guò)重新隨機(jī)抽樣， 985非C9高校、211高校、普通高校、C9高校4種院校類型大學(xué)生的數(shù)量分別為9249， 9249， 9249， 1415名。

4.1 "探索性因子分析

首先對(duì)職業(yè)價(jià)值觀量表進(jìn)行探索性因子分析， 檢驗(yàn)研究模型的維度與問(wèn)卷設(shè)計(jì)是否相符。使用Mplus軟件運(yùn)行探索性因子分析， 得出表2中所示的旋轉(zhuǎn)后因子載荷矩陣。題項(xiàng)1， 2， 3在F1上有主載荷， 題項(xiàng)4， 5， 6在F2上有主載荷， 旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣體現(xiàn)的量表維度和問(wèn)卷設(shè)計(jì)一致， 可以判定本研究的職業(yè)價(jià)值觀量表設(shè)計(jì)得到了樣本數(shù)據(jù)的支持。

4.2 "多組驗(yàn)證性因子分析

然后， 使用Mplus軟件運(yùn)行多組驗(yàn)證性因子

分析進(jìn)行測(cè)量不變性檢驗(yàn)。對(duì)于使用WLSMV估計(jì)法進(jìn)行的測(cè)量不變性檢驗(yàn)， 等級(jí)多分類數(shù)據(jù)的特殊性導(dǎo)致形態(tài)不變模型在不同識(shí)別方式下再繼續(xù)增加因子載荷參數(shù)的測(cè)量不變限定會(huì)導(dǎo)致不等價(jià)的模型出現(xiàn)， 使模型無(wú)法識(shí)別（Wu amp; Estabrook， 2016; Muthén amp; Muthén， 2023）。而對(duì)于等級(jí)多分類數(shù)據(jù)， 在模型中為每個(gè)觀測(cè)指標(biāo)引入并解釋連續(xù)型潛在反應(yīng)變量， 使?jié)撛诜磻?yīng)變量成為新的潛因子， 將潛在反應(yīng)變量的截距作為潛因子均值的載體， 而潛在反應(yīng)變量又可以解釋原來(lái)的公因子維度。等級(jí)多分類數(shù)據(jù)進(jìn)行潛因子均值比較的前提條件與連續(xù)變量數(shù)據(jù)相似， 需要模型同時(shí)滿足潛在反應(yīng)變量因子載荷和觀測(cè)指標(biāo)閾值的測(cè)量不變性（Wu amp; Estabrook， 2016）。本例分別使用形態(tài)不變、閾值不變、閾值和因子載荷不變模型擬合數(shù)據(jù)， 得到表3所示的擬合結(jié)果。可以看出， 形態(tài)不變模型與閾值不變模型自由估計(jì)參數(shù)數(shù)目和自由度都相等， 二者非嵌套模型， 無(wú)法使用傳統(tǒng)的卡方變化檢驗(yàn)進(jìn)行比較， 而同時(shí)限定閾值和因子載荷不變的模型與形態(tài)不變模型和閾值不變模型

屬于嵌套模型， 可以使用Mplus軟件中的DIFFTEST命令得出比較結(jié)果。根據(jù)卡方檢驗(yàn)結(jié)果與Svetina和Rutkowski提出的在二因子、高組樣本量、等級(jí)多分類指標(biāo)情境下ΔRMSEA小于等于0.05即拒絕嵌套模型的判定標(biāo)準(zhǔn)（Svetina amp; Rutkowski， 2017）， 競(jìng)爭(zhēng)模型的ΔRMSEA為0.015， 不滿足閾值和載荷不變性， 無(wú)法直接比較各組的潛在反應(yīng)變量截距。在傳統(tǒng)多組驗(yàn)證性因子分析中， 當(dāng)組樣本量較大時(shí)， 卡方檢驗(yàn)結(jié)果是較難不顯著的。而ΔRMSEA、ΔCFI等判斷嵌套模型是否被拒絕的擬合指數(shù)標(biāo)準(zhǔn)也有許多版本， 很難用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)去適配不同的研究情境。所以， 競(jìng)爭(zhēng)模型間的對(duì)比是傳統(tǒng)測(cè)量不變性檢驗(yàn)方法較難解決的問(wèn)題。接下來(lái)， 基于形態(tài)不變模型， 嘗試使用懲罰對(duì)齊法檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕茰y(cè)量不變性， 以達(dá)成多組比較的目的。

4.3 "基于驗(yàn)證性因子分析模型的懲罰對(duì)齊法分析

在Mplus 8.10版本軟件中采用和4.2小節(jié)多組驗(yàn)證性因子分析部分相同的因子載荷矩陣結(jié)構(gòu)， 基于驗(yàn)證性因子分析模型運(yùn)行懲罰對(duì)齊法（即忽略估計(jì)模型中所有的交叉載荷）， 得出表4中的參數(shù)近似測(cè)量不變性分析結(jié)果。從模型擬合結(jié)果來(lái)看， RMSEA為0.065，CFI為0.993，TLI為0.988，SRMR為0.021，這些指標(biāo)結(jié)果都很好。從近似測(cè)量不變性分析結(jié)果來(lái)看， 除了4個(gè)組在y3的第二個(gè)閾值τ2，3都不滿足近似測(cè)量不變性， 大部分閾值參數(shù)都滿足近似測(cè)量不變性， 所有因子載荷都滿足近似測(cè)量不變性， 測(cè)量不變性檢驗(yàn)的效果很好。根據(jù)這些結(jié)果， 可以認(rèn)為懲罰對(duì)齊法的分析效果較好， 直接對(duì)各組的潛因子均值進(jìn)行比較切實(shí)可行。

在本例中， 假設(shè)最初的形態(tài)不變模型是未識(shí)別的模型M1， 它包含θ1個(gè)參數(shù)， 其中θ1 = θ2+θ3， θ2代表可以被識(shí)別的因子載荷和閾值參數(shù)， θ3代表未識(shí)別的潛因子均值和潛因子方差參數(shù)。多組驗(yàn)證性因子分析中的形態(tài)不變模型由于要估計(jì)因子載荷和閾值， 通常設(shè)置潛因子均值為定值0， 潛因子方差為定值1， 此時(shí)的形態(tài)不變模型為M0。使用懲罰對(duì)齊法的對(duì)齊懲罰函數(shù)P（θ）在M1模型中分別對(duì)因子載荷參數(shù)和截距參數(shù)的兩兩跨組差異設(shè)置對(duì)齊先驗(yàn)分布， 利用M0和M1模型有相等似然值的性質(zhì)使未識(shí)別的維度（θ3參數(shù)， 在本例中即潛因子均值， 潛因子方差）變得可識(shí)別， 得出的對(duì)齊模型便是可識(shí)別的M1模型。對(duì)齊懲罰函數(shù)的特點(diǎn)是追求簡(jiǎn)潔的近似測(cè)量不變性結(jié)構(gòu)， 使少數(shù)模型參數(shù)有較大不等性， 大多數(shù)模型參數(shù)近似測(cè)量不變， 這一特點(diǎn)通常符合量表設(shè)計(jì)。

在Mplus軟件中設(shè)置新參數(shù)進(jìn)行雙樣本均值Z檢驗(yàn)計(jì)算， 并且為避免多次兩兩比較時(shí)出現(xiàn)一類錯(cuò)誤率膨脹問(wèn)題， 采用Bonferroni方法調(diào)整每?jī)山M比較時(shí)使用的顯著性水平α。4個(gè)組在每個(gè)潛因子進(jìn)行兩兩比較需比較 次， Bonferroni 方法調(diào)整后的顯著性水平α = 0.05/6 ≈ 0.008。使用調(diào)整后的顯著性水平進(jìn)行兩兩比較， 總結(jié)出表5。可以看出， C9高校學(xué)生的自我實(shí)現(xiàn)潛因子均值最高， 利他潛因子均值最低; 普通高校學(xué)生的利他潛因子均值高于其他院校類型的學(xué)生， 但自我實(shí)現(xiàn)潛因子均值較低; 211高校學(xué)生的自我實(shí)現(xiàn)潛因子均值最低， 利他潛因子均值也較低， 說(shuō)明樣本中該院校類型的學(xué)生對(duì)這兩項(xiàng)職業(yè)價(jià)值觀的看重程度總體是比較消極的態(tài)度。

4.4 "基于探索性結(jié)構(gòu)方程模型的懲罰對(duì)齊法分析

在Mplus 8.10版本軟件中基于探索性結(jié)構(gòu)方程模型運(yùn)行懲罰對(duì)齊法（即為模型中的因子載荷設(shè)置EFA旋轉(zhuǎn)函數(shù)，并且估計(jì)模型中所有的交叉載荷）， 得出表6中的參數(shù)近似測(cè)量不變性分析結(jié)

果。從模型擬合結(jié)果來(lái)看， RMSEA為0.067，CFI為0.994，TLI為0.978，SRMR為0.018，這些指標(biāo)結(jié)果都很好。從近似測(cè)量不變性分析結(jié)果來(lái)看， 大部分閾值參數(shù)和因子載荷都滿足近似測(cè)量不變性， 測(cè)量不變性檢驗(yàn)的效果較好。根據(jù)這些結(jié)果， 可以認(rèn)為懲罰對(duì)齊法的分析效果較好， 直接對(duì)各組的潛因子均值進(jìn)行比較切實(shí)可行。

在Mplus軟件中設(shè)置新參數(shù)進(jìn)行雙樣本均值Z檢驗(yàn)計(jì)算， 使用Bonferroni方法調(diào)整后的顯著性水平進(jìn)行兩兩比較， 總結(jié)出表7。可以看出， C9高校學(xué)生的自我實(shí)現(xiàn)潛因子均值最高， 利他潛因子均值最低; 普通高校學(xué)生的利他潛因子均值高于其他院校類型的學(xué)生， 但自我實(shí)現(xiàn)潛因子均值較低; 211高校學(xué)生的自我實(shí)現(xiàn)潛因子均值最低， 利他潛因子均值也較低， 說(shuō)明樣本中該院校類型的學(xué)生對(duì)這兩項(xiàng)職業(yè)價(jià)值觀的看重程度總體是比較消極的態(tài)度。

4.5 "不同模型分析結(jié)果的比較

本節(jié)使用了多組驗(yàn)證性因子分析、基于驗(yàn)證性因子分析模型的懲罰對(duì)齊法分析和基于探索性結(jié)構(gòu)方程模型的懲罰對(duì)齊法分析分別擬合了樣本數(shù)據(jù)， 取得了各自的分析結(jié)果。接下來(lái)， 需要比較這三種模型的分析結(jié)果。

首先， 基于驗(yàn)證性因子分析模型的懲罰對(duì)齊法分析結(jié)果優(yōu)于多組驗(yàn)證性因子分析的結(jié)果。第一， 基于驗(yàn)證性因子分析模型的懲罰對(duì)齊法分析的模型參數(shù)近似測(cè)量不變性結(jié)果顯示所有的因子載荷都滿足近似測(cè)量不變性， 意味著模型滿足弱測(cè)量不變性。而傳統(tǒng)的多組驗(yàn)證性因子分析使用WLSMV估計(jì)法檢驗(yàn)的因子載荷和截距嚴(yán)格相等的模型被拒絕， 且因子載荷嚴(yán)格相等的模型無(wú)法識(shí)別（Wu amp; Estabrook， 2016; Muthén amp; Muthén， 2023）， 這就導(dǎo)致傳統(tǒng)多組驗(yàn)證性因子分析得出的模型和數(shù)據(jù)樣本的實(shí)際情況相差甚遠(yuǎn)。第二， 基于驗(yàn)證性因子分析模型的懲罰對(duì)齊法分析不僅得出了所有模型參數(shù)是否滿足近似測(cè)量不變性的診斷結(jié)果， 并且可以基于形態(tài)不變模型估計(jì)出模型中的潛因子均值參數(shù)進(jìn)行直接比較。而傳統(tǒng)多組驗(yàn)證性因子分析進(jìn)行的嵌套模型的卡方似然比檢驗(yàn)表明因子載荷和截距嚴(yán)格相等的假設(shè)被拒絕， 無(wú)法進(jìn)行直接的潛因子均值比較。結(jié)合懲罰對(duì)齊法分析提供的參數(shù)近似測(cè)量不變性結(jié)果來(lái)看， 多組驗(yàn)證性因子分析使用修正指數(shù)從后往前不斷修正， 得出部分因子載荷和截距嚴(yán)格相等模型是個(gè)復(fù)雜的過(guò)程， 并且可能由于最初模型的誤設(shè)、修正參數(shù)的主觀選擇和修正指數(shù)的多重共線性導(dǎo)致修正過(guò)程并不一定正確。

其次， 基于驗(yàn)證性因子分析模型和基于探索性結(jié)構(gòu)方程模型的懲罰對(duì)齊法分析結(jié)果總體一致， 但基于探索性結(jié)構(gòu)方程模型的懲罰對(duì)齊法分析結(jié)果更能反映數(shù)據(jù)樣本的真實(shí)情況。第一， 4個(gè)院校類型組在兩個(gè)潛因子上的潛因子均值排序完全一致， 但各組潛因子均值的絕對(duì)數(shù)值差異有所不同， Z檢驗(yàn)兩兩比較的顯著性結(jié)果略有不同。例如， 基于驗(yàn)證性因子分析模型的懲罰對(duì)齊法分析結(jié)果顯示985高校學(xué)生的利他潛因子均值顯著高于211高校學(xué)生， 但在基于探索性結(jié)構(gòu)方程模型的懲罰對(duì)齊法分析中這一差異不顯著。基于探索性結(jié)構(gòu)方程模型的懲罰對(duì)齊法分析結(jié)果顯示普通高校學(xué)生的利他潛因子均值顯著高于985高校學(xué)生， 211高校學(xué)生的利他潛因子均值顯著高于C9高校學(xué)生， C9高校學(xué)生的自我實(shí)現(xiàn)潛因子均值顯著高于985高校學(xué)生， 但在基于驗(yàn)證性因子分析模型的懲罰對(duì)齊法分析中這些差異不顯著。第二， 從模型擬合結(jié)果來(lái)看， 基于探索性結(jié)構(gòu)方程模型的懲罰對(duì)齊法分析的CFI， SRMR擬合指標(biāo)表現(xiàn)更好， 基于驗(yàn)證性因子分析模型的懲罰對(duì)齊法分析的TLI， RMSEA擬合指標(biāo)表現(xiàn)更好。由于兩個(gè)模型并非嵌套模型， 從卡方值來(lái)看， 基于驗(yàn)證性因子分析模型的懲罰對(duì)齊法分析的卡方值為1403.827， 自由度為32， 基于探索性結(jié)構(gòu)方程模型的懲罰對(duì)齊法分析的卡方值為1219.664， 自由度為16， 兩個(gè)模型卡方差值較大， 說(shuō)明基于探索性結(jié)構(gòu)方程模型的懲罰對(duì)齊法分析的效果可能更好。第三， 從近似測(cè)量不變性檢驗(yàn)的結(jié)果來(lái)看， 基于驗(yàn)證性因子分析模型的懲罰對(duì)齊法分析的不等參數(shù)率為12/72 ≈ 16.7%， 基于探索性結(jié)構(gòu)方程模型的懲罰對(duì)齊法分析的不等參數(shù)率為13/96 ≈ 13.5%， 后者的近似測(cè)量不變性更高。不過(guò)， 前者的所有因子載荷全都滿足近似測(cè)量不變性， 并且該模型較為簡(jiǎn)潔， 估計(jì)的自由參數(shù)較少， 讀者可能會(huì)覺(jué)得前者的近似測(cè)量不變性檢驗(yàn)結(jié)果更好。實(shí)際上， 驗(yàn)證性因子分析模型本身忽略估計(jì)了交叉載荷， 而基于探索性結(jié)構(gòu)方程模型的懲罰對(duì)齊法分析的近似測(cè)量不變性檢驗(yàn)結(jié)果表明這些忽略估計(jì)的交叉載荷中有3個(gè)不滿足近似測(cè)量不變性， 基于探索性結(jié)構(gòu)方程模型估計(jì)交叉載荷才能更好地反映真實(shí)數(shù)據(jù)情況。

綜上所述， 對(duì)于本研究實(shí)例中的大學(xué)生職業(yè)價(jià)值觀量表數(shù)據(jù)， 采用基于探索性結(jié)構(gòu)方程模型的懲罰對(duì)齊法分析數(shù)據(jù)應(yīng)是更好的選擇。

5 "總結(jié)與討論

懲罰結(jié)構(gòu)方程模型是一種全新的模型框架， 能應(yīng)用于許多不同的情境。將其應(yīng)用于測(cè)量不變性檢驗(yàn)和多組比較的典型案例是懲罰對(duì)齊法。在懲罰對(duì)齊法提出之前， 貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型、對(duì)齊法和多組探索性結(jié)構(gòu)方程等模型是研究者們用于測(cè)量不變性檢驗(yàn)和多組比較的常用方法， 而懲罰對(duì)齊法的提出對(duì)這些傳統(tǒng)方法造成了沖擊。

本研究首先回顧了幾種常用的測(cè)量不變性檢驗(yàn)方法的原理、優(yōu)勢(shì)和不足， 其次引入懲罰結(jié)構(gòu)方程模型框架和懲罰對(duì)齊法， 詳述了懲罰對(duì)齊法的運(yùn)算過(guò)程， 總結(jié)了懲罰對(duì)齊法從多組探索性因子分析、對(duì)齊法、貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型等傳統(tǒng)方法繼承的優(yōu)勢(shì)， 克服了這些方法的哪些不足， 最后運(yùn)用大學(xué)生職業(yè)價(jià)值觀研究實(shí)例比較了多組驗(yàn)證性因子分析、基于驗(yàn)證性因子分析的懲罰對(duì)齊法分析、基于探索性結(jié)構(gòu)方程模型的懲罰對(duì)齊法分析擬合樣本數(shù)據(jù)的效果， 演示如何使用懲罰對(duì)齊法進(jìn)行測(cè)量不變性檢驗(yàn)和多組比較。

概括來(lái)說(shuō)， 懲罰對(duì)齊法繼承了多組探索性因子分析在EFA框架內(nèi)進(jìn)行測(cè)量不變性檢驗(yàn)和可以估計(jì)交叉載荷等優(yōu)點(diǎn)， 繼承了對(duì)齊法使用成分損失函數(shù)， 允許模型中存在一定量不等參數(shù)等優(yōu)點(diǎn)， 繼承了貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型對(duì)模型參數(shù)設(shè)置先驗(yàn)分布， 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)的近似測(cè)量不變性等優(yōu)點(diǎn)。同時(shí)， 該方法克服了多組探索性因子分析需要滿足因子載荷和截距嚴(yán)格相等的假設(shè)、使用目標(biāo)旋轉(zhuǎn)法時(shí)容錯(cuò)率低的不足， 克服了對(duì)齊法在多因子模型情境下設(shè)置潛因子均值參照組時(shí)容易出現(xiàn)誤設(shè)、無(wú)法應(yīng)用于多指標(biāo)多因素模型的不足， 克服了在使用貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型進(jìn)行測(cè)量不變性檢情境下設(shè)定的參數(shù)差異先驗(yàn)分布需滿足正態(tài)分布假設(shè)、需要對(duì)模型進(jìn)行敏感性分析、運(yùn)算較慢等不足。由于懲罰對(duì)齊法整合了這些特點(diǎn)， 其相比傳統(tǒng)測(cè)量不變性檢驗(yàn)方法具有明顯的優(yōu)勢(shì)， 在未來(lái)將有廣闊的應(yīng)用前景。

與此同時(shí)， 懲罰對(duì)齊法也存在一些不足之處。例如， 正是由于懲罰對(duì)齊法繼承了多組探索性因子分析、對(duì)齊法、貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型等測(cè)量不變性檢驗(yàn)方法的優(yōu)勢(shì)， 所以研究者在分析數(shù)據(jù)前需要對(duì)傳統(tǒng)測(cè)量不變性檢驗(yàn)方法比較熟悉， 才能對(duì)懲罰對(duì)齊法的理解和使用有更好的把握。其次， 基于多水平分析的二水平隨機(jī)效應(yīng)法具有一些獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)， 但懲罰對(duì)齊法目前尚未與多水平分析模型進(jìn)行整合， 這也是該方法未來(lái)發(fā)展的方向之一。

懲罰對(duì)齊法的使用和傳統(tǒng)對(duì)齊法較為相似， 主要區(qū)別是懲罰對(duì)齊法可以在模型中引入交叉載荷， 對(duì)參數(shù)或參數(shù)差異設(shè)置對(duì)齊先驗(yàn)分布。目前， 該方法已經(jīng)可以在最新的Mplus 8.10版本中使用。本研究演示的研究實(shí)例和附錄提供的語(yǔ)法示例將能為研究者和讀者提供參考， 更方便地使用該方法進(jìn)行測(cè)量不變性檢驗(yàn)和多組比較。

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A new measurement invariance test method： Penalized alignment

WEN Congcong

（International College， Xiamen University， Xiamen 361005， China）

Abstract： In 2023， Asparouhov and Muthén proposed a new framework for structural equation modeling called the penalized structural equation modeling （PSEM）. The penalized alignment method exemplifies the utilization of PSEM within the field of measurement invariance testing. The penalized alignment method inherits the advantage of estimating cross-loadings from multiple-group exploratory factor analysis. It inherits the advantages of alignment method using alignment component loss function， and allowing for the existence of 20% to 30% noninvariant parameters in the model. It also incorporates the advantages of Bayesian structural equation modeling in setting prior distributions for model parameters and testing approximate measurement invariance of model parameters. Additionally， the penalized alignment method addresses limitations present in traditional measurement invariance testing methods. To illustrate the application of penalized alignment method， a study on work values among college students is employed as an example to showcase the utilization of the penalized alignment method for conducting measurement invariance testing and multiple-group analysis. Multiple-group CFA， CFA based penalized alignment， and ESEM based penalized alignment models are used to fit the data.

Keywords： measurement invariance testing， penalized alignment， Bayesian structural equation modeling， exploratory structural equation model， alignment loss function prior

附錄

附錄1：探索性因子分析（EFA）的Mplus語(yǔ)法

data：

FILE = C：＼Users＼wenco＼Desktop＼PSEM＼3dele9249.csv; ！指示數(shù)據(jù)路徑

variable：

names are g y1-y6; ！命名數(shù)據(jù)中的變量

categorical=y1-y6; ！說(shuō)明y1-y6是分類變量

usevariables are y1-y6; " ！說(shuō)明需要使用的變量

ANALYSIS：

type = EFA 1 3; " " " " ！指示EFA潛因子數(shù)分別為1，2，3進(jìn)行分析

estimator = wlsmv; " " ！指示參數(shù)估計(jì)法為修正均值與方差加權(quán)最小二乘法

output： tech1;

附錄2：形態(tài)不變模型（多組CFA） 的Mplus語(yǔ)法

DATA：

FILE = C：＼Users＼wenco＼Desktop＼PSEM＼3dele9249.csv; ！指示數(shù)據(jù)路徑

VARIABLE：

NAMES = g y1-y6; " ！命名數(shù)據(jù)中的變量

categorical=y1-y6; " ！說(shuō)明y1-y6是分類變量

USEVARIABLES = g y1-y6; " ！說(shuō)明需要使用的變量

grouping = g （1=g1 2=g2 3=g3 4=g4）; ！命名已知組

ANALYSIS：

estimator = wlsmv; " " " " ！指示參數(shù)估計(jì)法為修正均值與方差加權(quán)最小二乘法

PARAMETERIZATION = theta; " ！指示參數(shù)運(yùn)算方法

MODEL： " " " " " " " " " ！model命令下設(shè)定適用于所有組的總模型

v1 by y1@1; v2 by y2@1; v3 by y3@1; v4 by y4@1; v5 by y5@1; v6 by y6@1;

！設(shè)定潛在反應(yīng)變量， 多分類觀測(cè)指標(biāo)通過(guò)閾值使?jié)撛诜磻?yīng)變

量取得離散值

f1 by v1-v3*; f2 by v4-v6*; " ！*置于參數(shù)右側(cè)表示該參數(shù)被自由估計(jì)

[v1-v6@0]; " " " " " " " " " ！設(shè)定潛在反應(yīng)變量的截距， 第一組設(shè)為0， 其他組自由估計(jì)

v1-v6@0;

[y1$1-y6$1]; [y1$2-y6$2];

f1-f2@1; " " " " " " " " " ！由于潛因子沒(méi)有設(shè)為定值1的參照因子載荷， 潛因子方差需設(shè)為1

[f1-f2@0];

y1-y6@1; " " " " " " " " " ！theta參數(shù)運(yùn)算方法要求第一組的殘差方差設(shè)為定值1

f1 with f2;

MODEL g2： " " " " " " " " ！ model+組編號(hào)命令下設(shè)定該組的模型， 該組命令與總模型命

令沖突時(shí)以該組命令為準(zhǔn)

f1 by v1-v3*; f2 by v4-v6*;

[v1-v6@0];

v1-v6@0;

[y1$1-y6$1]; [y1$2-y6$2];

f1-f2@1;

[f1-f2@0];

y1-y6@1; " " ！theta參數(shù)化分析出于模型識(shí)別目的將所有自由估計(jì)因子載荷

和閾值的分類觀測(cè)指標(biāo)的殘差方差設(shè)為定值1

f1 with f2;

MODEL g3：

同g2

MODEL g4：

同g2

OUTPUT： tech1;sampstat;

savedata：DIFFTEST=deriv.csv; ！指示保存形態(tài)不變模型H1中的導(dǎo)數(shù)， 矩陣， 擬合優(yōu)度函數(shù)值，

自由度， 樣本統(tǒng)計(jì)量數(shù)， 組數(shù)等信息

附錄3：閾值不變模型（多組CFA） 的Mplus語(yǔ)法

DATA：

同附錄2

VARIABLE：

同附錄2

ANALYSIS：

同附錄2

DIFFTEST=deriv.csv; " " ！指示利用閾值不變模型H1的信息和附錄2形態(tài)不變模型H0保存

的信息計(jì)算出修正的均值和方差， 進(jìn)行WLSMV估計(jì)法情境下的卡

方變化檢驗(yàn)

MODEL：

v1 by y1@1;

…… " " " " " " " " " " ！設(shè)置潛在反應(yīng)變量， 同附錄2

f1 by v1-v3*; f2 by v4-v6*;

[v1-v6@0];

v1-v6@0;

[y1$1-y6$1] （tau1-tau6）; [y1$2-y6$2] （tau7-tau12）; ！設(shè)定閾值， 小括號(hào)中為閾值貼標(biāo)簽， 方便設(shè)置閾

值不變性

f1-f2@1;

[f1-f2@0];

y1-y6@1;

f1 with f2;

MODEL g2：

f1 by v1-v3*; f2 by v4-v6*;

[v1-v6*]; " " " " " " " " " ！設(shè)定潛在反應(yīng)變量的截距

v1-v6@0;

[y1$1-y6$1]（tau1-tau6）; [y1$2-y6$2]（tau7-tau12）;

f1-f2@1;

[f1-f2@0];

y1-y6; " " " " " " " " " " ！特定組的閾值和因子載荷都自由估計(jì)時(shí)殘差方差設(shè)為定值1， 特

定組的閾值或因子載荷設(shè)置跨組相等時(shí)殘差方差自由估計(jì)。本例

中設(shè)置了閾值跨組相等

f1 with f2;

MODEL g3：

同g2

MODEL g4：

同g2

OUTPUT：

tech1;sampstat;

savedata：DIFFTEST=deriv2.csv; ！指示保存閾值不變模型H1中的導(dǎo)數(shù)， 矩陣， 擬合優(yōu)度函數(shù)值， 自

由度， 樣本統(tǒng)計(jì)量數(shù)， 組數(shù)等信息

附錄4：閾值和載荷不變模型（多組CFA） 的Mplus語(yǔ)法

DATA：

同附錄2

VARIABLE：

同附錄2

ANALYSIS：

同附錄2

DIFFTEST=deriv2.csv; " ！指示利用閾值和載荷不變模型H1的信息和附錄3閾值不變模型

H0保存的信息計(jì)算出修正的均值和方差， 進(jìn)行WLSMV估計(jì)法情境下的卡方變化檢驗(yàn)

MODEL：

v1 by y1@1;

…… " " " " " " " " ！設(shè)置潛在反應(yīng)變量， 同附錄2

f1 by v1-v3*（lam1-lam3）; f2 by v4-v6*（lam4-lam6）;

[v1-v6@0];

v1-v6@0;

[y1$1-y6$1*]（tau1-tau6）; [y1$2-y6$2*]（tau7-tau12）;

f1-f2@1;

[f1-f2@0];

y1-y6@1;

f1 with f2;

MODEL g2：

f1 by v1-v3*（lam1-lam3）; f2 by v4-v6*（lam4-lam6）;

[v1-v6*];

v1-v6@0;

[y1$1-y6$1*]（tau1-tau6）; [y1$2-y6$2*]（tau7-tau12）;

f1-f2;

[f1-f2@0];

y1-y6;

f1 with f2;

MODEL g3：

同g2

MODEL g4：

同g2

OUTPUT：

tech1;sampstat;

savedata：DIFFTEST=deriv3.csv; ！指示保存閾值和載荷不變模型H1中的導(dǎo)數(shù)， 矩陣， 擬合優(yōu)度函

數(shù)值， 自由度， 樣本統(tǒng)計(jì)量數(shù)， 組數(shù)等信息

附錄5：基于驗(yàn)證性因子分析模型的懲罰對(duì)齊法Mplus語(yǔ)法

data：

同附錄1

variable：

同附錄1

ANALYSIS：

estimator = wlsmv; " ！指示參數(shù)估計(jì)法為修正均值與方差加權(quán)最小二乘法

iterations =10000; " ！指示運(yùn)算迭代數(shù)量

param=theta; " " " " ！指示參數(shù)運(yùn)算方法

convergence=0.000005; " ！設(shè)定模型收斂標(biāo)準(zhǔn)

tolerance=0.01; " " " " ！設(shè)定對(duì)齊法懲罰函數(shù)的容忍值

starts=200; " " " " " " ！設(shè)定隨機(jī)初始值數(shù)量

model： " " " " " " " " ！model命令下設(shè)定適用于所有組的總模型

f1 by y1-y3*1; f2 by y4-y6*1;

f1 with f2;

y1-y6@1; " " " " " " " ！theta參數(shù)運(yùn)算方法要求因子載荷和閾值同時(shí)自

由估計(jì)時(shí)觀測(cè)指標(biāo)殘差方差設(shè)為定值1

MODEL G1： " " " " " " ！model+組編號(hào)命令下設(shè)定該組的模型， 該組命

令與總模型命令沖突時(shí)以該組命令為準(zhǔn)

f1 by y1-y3（lam1_1-lam1_3）; f2 by y4-y6（lam1_4-lam1_6）; "！括號(hào)內(nèi)設(shè)定因子載荷參數(shù)標(biāo)簽

[y1$1-y6$1]（tau1_1-tau1_6）; [y1$2-y6$2]（tau1_7-tau1_12）; "！括號(hào)內(nèi)設(shè)定閾值參數(shù)標(biāo)簽

[f1-f2@0];

f1-f2@1;

f1 with f2;

MODEL G2：

f1 by y1-y3（lam2_1-lam2_3）; f2 by y4-y6（lam2_4-lam2_6）;

[y1$1-y6$1]（tau2_1-tau2_6）; [y1$2-y6$2]（tau2_7-tau2_12）;

[f1-f2]（m2 n2）;

f1-f2;

f1 with f2;

MODEL G3：

f1 by y1-y3（lam3_1-lam3_3）; f2 by y4-y6（lam3_4-lam3_6）;

[y1$1-y6$1]（tau3_1-tau3_6）; [y1$2-y6$2]（tau3_7-tau3_12）;

[f1-f2]（m3 n3）;

f1-f2;

f1 with f2;

MODEL G4：

f1 by y1-y3（lam4_1-lam4_3）; f2 by y4-y6（lam4_4-lam4_6）;

[y1$1-y6$1]（tau4_1-tau4_6）; [y1$2-y6$2]（tau4_7-tau4_12）;

[f1-f2]（m4 n4）;

f1-f2;

f1 with f2;

MODEL PRIOR： " " " " " " " " ！先驗(yàn)分布命令

DO（1，3） DIFF（lam1_#-lam4_#）～ALF（0，2）; " " ！Do命令說(shuō)明是要分析第1至第3個(gè)參數(shù)， DIFF

命令說(shuō)明是要分析參數(shù)間的差異， ALF命令說(shuō)明

設(shè)置的先驗(yàn)分布是對(duì)齊先驗(yàn)分布

DO（4，6） DIFF（lam1_#-lam4_#）～ALF（0，2）;

DO（1，6） DIFF（tau1_#-tau4_#）～ALF（0，2）; DO（7，12） DIFF（tau1_#-tau4_#）～ALF（0，2）;

MODEL CONSTRAINT：

NEW（DIFM12 DIFM13 DIFM14 DIFM23 DIFM24 ！使用NEW命令為模型中的潛因子均值差異命名

DIFM34 DIFN12 DIFN13

DIFN14 DIFN23 DIFN24 DIFN34）;

DIFM12=-m2; DIFM13=-m3; DIFM14=-m4; " ！對(duì)潛因子均值差異進(jìn)行具體定義

DIFM23=m2-m3; DIFM24=m2-m4; DIFM34=m3-m4;

DIFN12=-n2; DIFN13=-n3; DIFN14=-n4;

DIFN23=n2-n3; DIFN24=n2-n4; DIFN34=n3-n4;

output： align;svalues; " ！align命令要求輸出基于對(duì)齊先驗(yàn)分布的參數(shù)

差異估計(jì)結(jié)果和近似測(cè)量不變性結(jié)果， svalues

命令要求保存參數(shù)估計(jì)結(jié)果

附錄6：基于探索性結(jié)構(gòu)方程模型的懲罰對(duì)齊法Mplus語(yǔ)法

data：

同附錄1

variable：

同附錄1

ANALYSIS：

同附錄5

model： " " " " " " " " " ！model命令下設(shè)定適用于所有組的總模型

f1 by y1-y6; f2 by y1-y6;

f1 with f2;

y1-y6@1; " " " " " " " ！theta參數(shù)運(yùn)算方法要求因子載荷和閾

值同時(shí)自由估計(jì)時(shí)觀測(cè)指標(biāo)殘差方差設(shè)

為定值1

MODEL G1： " " " " " ！model+組編號(hào)命令下設(shè)定該組的模型，

該組命令與總模型命令沖突時(shí)以該組命

令為準(zhǔn)

f1 by y1-y6（lam1_1-lam1_6）; f2 by y1-y6（lam1_7-lam1_12）; ！括號(hào)內(nèi)設(shè)定因子載荷參數(shù)標(biāo)簽

[y1$1-y6$1]（tau1_1-tau1_6）; [y1$2-y6$2]（tau1_7-tau1_12）; ！括號(hào)內(nèi)設(shè)定閾值參數(shù)標(biāo)簽

[f1-f2@0];

f1-f2@1;

f1 with f2;

MODEL G2：

f1 by y1-y6（lam2_1-lam2_6）; f2 by y1-y6（lam2_7-lam2_12）;

[y1$1-y6$1]（tau2_1-tau2_6）; [y1$2-y6$2]（tau2_7-tau2_12）;

[f1-f2]（m2 n2）;

f1 with f2;

f1-f2;

MODEL G3：

f1 by y1-y6（lam3_1-lam3_6）; f2 by y1-y6（lam3_7-lam3_12）;

[y1$1-y6$1]（tau3_1-tau3_6）; [y1$2-y6$2]（tau3_7-tau3_12）;

[f1-f2]（m3 n3）;

f1 with f2;

f1-f2;

MODEL G4：

f1 by y1-y6（lam4_1-lam4_6）; f2 by y1-y6（lam4_7-lam4_12）;

[y1$1-y6$1]（tau4_1-tau4_6）; [y1$2-y6$2]（tau4_7-tau4_12）;

[f1-f2]（m4 n4）;

f1 with f2;

f1-f2;

MODEL PRIOR： " " " " " " " " " " " " " " " " ！先驗(yàn)分布命令

DO（1，6） DIFF（lam1_#-lam4_#）～ALF（0，0.5）; " ！Do命令說(shuō)明是要分析第1至第6個(gè)參

數(shù)， DIFF命令說(shuō)明是要分析參數(shù)間的差

異， ALF命令說(shuō)明設(shè)置的先驗(yàn)分布是對(duì)

齊先驗(yàn)分布

DO（7，12） DIFF（lam1_#-lam4_#）～ALF（0，0.5）;

DO（1，12） DIFF（tau1_#-tau4_#）～ALF（0，0.5）;

lam1_1-lam1_12～Geomin（2，0.5，.001）; lam2_1-lam2_12～Geomin（2，0.5，.001）;

lam3_1-lam3_12～Geomin（2，0.5，.001）; lam4_1-lam4_12～Geomin（2，0.5，.001）;

！通過(guò)Geomin旋轉(zhuǎn)函數(shù)為模型中的因子

載荷參數(shù)設(shè)定使用探索性結(jié)構(gòu)方程模型

進(jìn)行分析

MODEL CONSTRAINT：

同附錄5

output： align;svalues; " " " ！align命令要求輸出基于對(duì)齊先驗(yàn)分布的

參數(shù)差異估計(jì)結(jié)果和近似測(cè)量不變性結(jié)

果， svalues命令要求保存參數(shù)估計(jì)結(jié)果