數學文化及其教育研究述評

摘 要：數學承載著文化，數學文化的本質是從數學的外在表征中抽象出的觀念性成分。數學文化具有重要的教育價值，數學文化教育研究取得的成果主要體現在數學文化課程的開設、數學課程（教材）中數學文化融入（應用）的設計、數學課堂中數學文化教學的實踐、數學考試（評價）中數學文化融入（應用）的研究等方面。數學文化教育的研究還需要：升華數學文化的教育價值，探索數學文化教育的當代意蘊，構建數學文化教育的新格局。

關鍵詞：數學文化；教育價值；數學文化教育；研究述評

一、 從數學文化的研究到數學文化的內涵

（一） 數學文化的研究

數學承載著文化，是人類文明的重要組成部分。［1］第一個明確、系統地提出數學文化觀的學者是美國數學家懷爾德。他的著作《作為文化體系的數學》從人類文化產生、發展和比較的角度出發，對數學文化及其理論體系的形成進行了獨立的研究和系統的總結。自此，數學文化開始受到人們的重視，學者們開始從不同的視角研究數學文化的意義、內涵、影響、滲透等。現代美國數學家、數學史家、數學教育家M.克萊因認為，數學文化是人類文化的子系統，具有特定的內容系統。他的三部代表作《西方文化中的數學》《古今數學思想》和《數學：確定性的喪失》闡述了數學文化的價值、內涵和研究方法、具體內容，產生了深遠的影響。

我國學者也十分重視對數學文化的研究。一批關注數學文化的數學家、哲學家以及數學教育家相繼有這方面的專著出版，產生了廣泛的影響。例如鄧東皋、孫小禮、張祖貴著的《數學與文化》，該著作從分析數學的本質入手，從不同的角度闡明了數學在文化領域中的地位，匯集了數學文化研究的基本內容，并著重分析了近代數學、數學哲學及其研究的基本問題，具有重要的資源文獻保存價值。另一本代表性的著作是著名數學家齊民友的《數學與文化》，該著作從數學和文化的起源論起，特別指出了數學思維的地位、作用以及文化意義，深入分析了數學和文化的關系，同時闡明了數學本身對人類文化產生的深遠影響，不僅在現代科技方面，更關鍵的是它表現出的理性主義的創新理念。此外，還有鄭毓信教授的《數學文化學》，該著作從社會建構主義的哲學觀出發，闡述了數學文化的意義、作用，強調了“數學共同體”產生的文化效應，建構了相對獨立的數學文化體系。鄭教授認為：數學文化是指由某種因素（居住地域、民族性、職業等）聯系起來的各個群體所特有的行為、觀念和態度等，也就是指各個群體所特有的“生活（行為）方式”。［2］以及張奠宙先生的《數學文化教程》和顧沛教授的《數學文化》。張先生指出：“今天的數學，已經不是我們從前熟悉的模樣了。現代數學常識作為一種普通公民應具有的素質，展現在我們面前。”［3］顧教授認為，簡單地說，數學文化是指數學的思想、精神、方法、觀點以及它們的形成和發展；廣泛地說，除了上述內涵外，還包括數學家、數學史、數學美、數學教育、數學發展中的人文成分、數學與社會的聯系，數學與各種文化的關系等。［4］

（二） 數學文化的內涵

長期以來，學界雖然重視對數學文化的研究，但是對數學文化的內涵還沒有達成共識。在基礎教育課程標準（教學大綱）性質的文件中，《普通高中數學課程標準（2017年版）》第一次界定了數學文化的內涵：“數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展；還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動。”［5］由此，綜合國內外的研究，關于數學文化的內涵，我們可以得到如下結論：

（1） 數學文化是宏觀文化背景下數學及其相關人類活動的成果，既有廣義的層次，又有狹義的層次。廣義的數學文化涵蓋了人們在進行數學及其相關的實際活動過程中創造并獲得的數學知識系統和觀念系統兩個層面的總和；狹義的數學文化關注觀念系統，包括具有數學特質的基本觀點、思想方法、語言、精神等，反映與數學相關的人文活動。

（2） 數學文化不僅開放包容、兼收并蓄，而且有著多種多樣的外在表征，例如數學的歷史發展、數學哲學、數學思想、數學語言、數學美、數學的作用以及數學與其他學科的聯系和多元互動等。數學文化既包括數學理性精神創造的文明成果，同時也體現在數學思維活動獲取的數學成果中。可見，數學文化蘊涵著豐富的育人價值，包括數學的科學與人文價值、應用與審美價值等。

（3） 在把數學看作一種文化現象的宏觀視角下，數學文化兼具知識性與觀念性的雙重成分；而狹義的觀點著重研究數學文化中的觀念性成分。［6］從數學文化的本質屬性分析，數學文化的核心是外顯的數學科學體系中凝練出的內隱的數學觀念和數學傳統。［7］也就是說，數學文化的本質是從外在表征中抽象出的觀念性成分，而非廣袤無邊的外顯數學現象的總和。

二、 從數學文化的教育價值到數學文化教育的研究

（一） 數學文化的教育價值

數學文化具有重要的教育價值，是“對全體人民的科學思維與文化素質的哺育”。因為，“數學文化具有比數學知識體系更為豐富和深邃的文化內涵，數學文化是對數學知識、技能、能力和素質等概念的高度概括。我們學習數學不僅僅是為了掌握基礎知識，更要利用數學精神、數學思維和數學方法的陶冶，培養思維能力，鍛煉意志品質，并且把它們遷移到學習、日常的工作和生活等領域中去”［8］。每一個現代人都要接受數學文化教育，學會欣賞人類文明創造的成果，通過對數學的認識、理解、思維和表達，提高文化素養。

隨著數學對現代科學技術和社會發展影響的不斷擴大以及數學自身的不斷發展，數學文化的教育價值不斷提升。近年來，許多國家的數學教育都越來越重視數學文化的滲透。

美國的《學校數學教學原則和標準》指出：數學是人類文化遺產的一部分，人們應該具有理解和欣賞這一偉大成就的能力。［9］英國的數學課程標準提出：數學這一課程突破了文化的界限；數學豐富了文化，文化也豐富了數學。亞洲的日本、韓國等國家也在其學習指導或課程設置中，提出以數學史、數學游戲、實踐應用等為材料，強調它們與數學教育相結合，訓練學生的理性思維方式。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“課程理念”中強調：關注數學文化，并注重繼承和弘揚中華優秀傳統文化。［10］

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》不僅在“基本理念”中強調“注重數學文化的滲透”，而且在“課程內容”中強調“數學文化融入課程內容”，在“教學建議”中強調“數學文化融入教學活動”，

同時在“命題建議”中強調“考查內容融入數學文化”。

（二） 數學文化教育的研究

由于數學文化具有重要的教育價值，數學文化研究的教育傾向也日益明顯，即數學文化的研究更多地落實在數學教育領域，表現為數學文化教育的研究。

聚焦國內，已有一批學者開展了數學文化教育的研究，取得了很多研究成果。例如，張維忠教授長期致力于數學文化融入數學教育的研究，并且在《我國數學文化與數學教育研究30年的回顧與反思》一文中，梳理了我國數學文化和數學教育研究取得的成績［11］。袁緣的博士論文《數學文化與人類文明——數學文化與數學教育的研究與思考》，從考察中外數學文化與人類文明及其發展的關系視角提出數學文化對數學教育的影響［12］，也是其中的代表。張定強教授指出，數學文化的內在價值決定了數學文化融入數學教學的意蘊，為此，要在教學導言、情境創設、概念講解、歸納總結、習題分析、思想方法挖掘以及數學模型建構的過程中滲透數學文化。［13］此外，數學文化與數學教育相結合的學術交流不斷加強，吸引了一批中小學數學教師，其參與度也在不斷提高。總的來說，數學文化教育研究取得的成果主要體現在四個方面：

一是數學文化課程的開設。張順燕教授最先在高校開設了數學文化方面的課程。他的著作《數學的思想、方法和應用》不斷再版，成為教育部“九五”規劃重點教材、北京市精品教材；《數學的源與流》和《數學的美與理》等在國內也有重要的影響。顧沛教授也為大學生開設了數學文化課程。他的課程內容豐富，具有特色，產生了重要的影響，成為數學文化課程建設的一面旗幟。他在教學中注重對數學文化意境的分析，特別從數學觀點、數學典故、數學問題這些視角進行分析，提高學生對數學的宏觀認識和整體把握，體現數學的思想、精神等。他總結得出，高校開設數學文化課程的目的（意義）在于以數學思想、數學精神等為中心提高學生的科學素養、文化素養以及綜合素養。［14］近年來，有關數學文化的著作（包括譯著）增多，國內也相繼出版了一批質量較高的數學史與數學文化專著，其中，對數學史與數學文化課程的結構、內容與方法論研究及應用水平層次有較大程度的提高。

二是數學課程（教材）中數學文化融入（應用）的設計。王建磐等研究發現，中、法、美等國都重視數學文化在教材結構與內容體系中的建構，各國的教材在數學文化的呈現、結合和滲透方法上各具特色。［15］張維忠等通過對澳大利亞教材中數學文化內涵的分析，以及與我國數學教材的比較，提出我國數學教材編寫應該注重以數學知識為載體，從多個角度關聯、滲透數學文化，并通過多元化的數學文化呈現，理解和品味數學之美。［16］劉潔民分析了高中數學課程標準中的數學文化選題，從著力把控數學文化教案設計入手，注重體現適度性、準確性、趣味性、啟發性和吸引力。［17］

章勤瓊等專門統計了人教A版高中數學必修一到必修五中各章節從章頭圖到習題板塊的數學文化內容，提出應該在數學教材的編寫過程中，注重數學文化合情合理地表征在相關的內容中。［18］黃孝長等以人教A版、北師大版、蘇教版高中數學教材必修部分的“閱讀材料”為對象進行了較為系統的比較研究，從另一個側面剖析高中數學教材中選取數學文化素材的特點與要求。［19］林婷等則以人教版和魯教版為例，對初中數學教材中“圖形與幾何”部分的數學文化進行了比較全面的分析論證，屬于專題突破。［20］覃淋開展了文化視角下大陸和臺灣地區高中數學教材的比較研究。［21］……

三是數學課堂中數學文化教學的實踐。據統計，2017年以來，中國知網收錄了相關實踐案例100余篇。其中，數學文化在不同學段都有所滲透，而在小學數學課堂的滲透居多。汪曉勤教授在指導數學文化融入數學課堂方面成果斐然，近年來出版了《HPM：數學史與數學教育》《數學史與初中數學教學——理論、實踐與案例》《數學史與高中數學教學——理論、實踐與案例》等多部包含大量實踐案例的著作。汪教授致力于HPM研究，圍繞“為何”與“如何”的問題重點研究了數學史融入中小學數學課堂教學的實踐，并結合HPM與數學教師專業化發展、數學史有效融入數學課程教材等方面，從理論上闡明了數學史在數學本質、數學探究、數學創造等方面具有的深刻而獨特的功能。汪教授率領研究團隊和浙江省義烏市王芳數學教育工作室合作開發了數十個HPM課例，為HPM的研究提供實踐知識。這是高校教授與高中一線教師聯合開展實踐研究的典例。

四是數學考試（評價）中數學文化融入（應用）的研究。《普通高中數學課程標準（2017年版）》頒布之后，數學“新高考”明確要求要考查數學文化內容，每年都以不同的形式多角度地考查數學文化內容，使之成為熱點。傅海倫教授主編的《數學文化與拓展》（共五冊）配合人教版高中數學教材，分析有關的高考題，透視數學文化作為高考內容的考查形式和要求，引導師生不僅平時要教好、學好數學文化，還要會考、善考數學文化。更為重要的是，啟發師生更加密切地關注數學文化及其教學的長遠作用和價值，回歸數學文化教育的本質。近年來，許多研究者對高考中的數學文化試題進行了剖析，有的研究者還針對高考題的導向功能探索教學策略和啟示。據統計，2017年以來，中國知網收錄了相關研究文章80余篇。此外，特別值得一提的是，已經成功舉辦了20屆的江蘇省初中數學文化節，命制了大量優秀的數學文化試題，值得更為廣泛、深入的欣賞與研究。

三、 進一步的思考

盡管數學教育中滲透數學文化的研究不斷加強，但是真正具有重要實踐推廣和應用價值的研究依然不足，教育的針對性和創新性仍需進一步加強和提高。同時，應該在繼續挖掘、豐富數學文化資源的基礎上，進一步拓展數學文化與數學教育結合的廣度和深度：一線教師還缺乏數學文化研究的系統理論指導，也缺少已有案例的總結提升。因此，數學文化教育的研究還需要：

（一） 升華數學文化的教育價值

數學文化教育應立足于文化教育功能，致力于促進立德樹人目標的實現，從數學教育的特點出發，重新審視數學教育的科學價值與文化價值及其關系，將數學教育置于文化的環境下重新認識，深入挖掘數學的文化內核，通過外顯的數學客觀形態，高度概括凝練其內隱的數學文化傳統，從內容選取、教育教學設計、過程方法實施、效果評價等多個維度做好數學文化資源的教育形態轉化，切實提高數學文化教育的全面育人功能。通過數學文化教育，走出重科學、輕人文的誤區，推動學生的科學素養和人文素養全面、和諧、綜合發展。

（二） 探索數學文化教育的當代意蘊

數學文化教育內涵豐富、范圍廣闊，無論數學知識產生的歷史背景、發人深思的數學智趣問題，還是妙趣橫生的數學家軼聞，或是數學語言以及與數學相關的人文活動，包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義等，都承載著數學文化的外顯表現形式，需要在教育過程中適時滲透和融入。同時，落實數學文化教育的關鍵還在于知識性成分背后的觀念性成分，需要挖掘和提煉。數學文化教育不能停留在淺層，止步于表象，而應進一步探索其從外顯到內隱的當代意蘊，以適當的方式在數學課程中予以呈現，深入挖掘外顯史實背后蘊含的數學精神、思想、方法、觀點，給學生以精神上的鼓舞、思維上的誘導、情感上的熏陶，培養學生敢于批判、探索、創新的品質。

（三） 構建數學文化教育的新格局

實現數學文化與數學教育的深度融合、科學價值與人文價值的協調統一，需要構建數學文化教育的新格局。首先，在理論研究方面更開放包容。要吸收借鑒歷史學、哲學、文化學、信息技術等相關學科的研究成果，以一種超越工具理性、注重價值理性的視角看待數學文化教育。其次，加強實踐研究，以尋找落實數學文化教育的優化路徑。要在注重數學科學價值的同時，充分挖掘數學的人文價值，在實踐中不斷探索和總結，加強經驗反思和專題研究，建立切實可行、有推廣價值的數學文化教育方法論系統。再次，建立數學文化教育的評價體系。要不斷創新數學文化教育的科學、多元、公正的評價機制，注重過程評價與結果評價相結合，將數學科學價值與人文價值統一于數學文化教育新格局中，切實提高學生的數學核心素養，促進數學教育的高質量發展。

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［21］ 覃淋.大陸和臺灣高中數學教材中數學文化內容的比較研究——以“統計與概率”內容為例［J］.中學數學，2018（3）：59.

［22］ 《不一樣的數學題》編寫組.不一樣的數學題——初中數學文化節試題精編與品評［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2019.

（傅海倫，山東師范大學數學與統計學院，教授，博士生導師。主要研究方向：數學文化、數學課程與教學論。

王心羽，山東省煙臺傅家中學。主要研究方向：數學文化與中學數學教育。）