添加輔助線 一題多解法

［摘 要］作輔助線是解決幾何問題的關(guān)鍵手段，文章以一道有關(guān)三角形的題目為例，具體闡述如何通過巧妙添加輔助線，實(shí)現(xiàn)一題多解，進(jìn)而拓寬學(xué)生的解題思路，提升他們的思維品質(zhì)。

［關(guān)鍵詞］輔助線；一題多解；初中數(shù)學(xué)

［中圖分類號(hào)］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號(hào)］" " 1674-6058（2024）32-0024-03

作輔助線是解決幾何問題的關(guān)鍵手段。本文以一道有關(guān)三角形的題目為例，具體闡述如何通過巧妙添加輔助線，探索相關(guān)問題的多種解法，以拓寬學(xué)生的解題思維，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

一、原題呈現(xiàn)

如圖1，在[△ABC]中，[∠ACB=135°]，[CD⊥AB]，垂足為[D]，若[AD=6]，[BD=20]，則[CD]的長(zhǎng)為（ ）。

這是一道以三角形為背景的幾何題。題目圖形由兩個(gè)直角三角形拼合成一個(gè)鈍角三角形，已知這兩個(gè)直角三角形的各一邊長(zhǎng)及鈍角的度數(shù)，要求出鈍角三角形最長(zhǎng)邊上的高。解題的關(guān)鍵在于巧妙添加輔助線，構(gòu)造出特殊的三角形，并利用特殊三角形的邊角關(guān)系求解。

二、解法探究

解法1：如圖2，作[△ABC]的外接圓，圓心為[O]，過點(diǎn)[O]作[OE⊥AB]于點(diǎn)[E]，過點(diǎn)[O]作[OF]∥[AB]，交[CD]的延長(zhǎng)線于點(diǎn)[F]，連接[OA]，[OC]，[OB]。由垂徑定理得[AE=BE]。因?yàn)閇AD=6]，[BD=20]，所以[AB=26]，[AE=BE=13]，[DE=7]。因?yàn)閇∠ACB=135°]，由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理得弧[AB]所對(duì)的圓

評(píng)注：通過構(gòu)造輔助圓，得到等腰直角三角形[AOB]，并作垂線[OF]分別構(gòu)造矩形[OEDF]和Rt△[OFC]，借助矩形的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)邊長(zhǎng)的轉(zhuǎn)換，及利用勾股定理求出[CF]的長(zhǎng)。

評(píng)注：從135[°]的鄰補(bǔ)角是45[°]入手，通過作垂線構(gòu)造等腰直角三角形，并運(yùn)用勾股定理求解各邊的長(zhǎng)。最后，利用“相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”建立方程求[CD]的長(zhǎng)。采用“算兩次”策略，結(jié)合勾股定理與相似性質(zhì)，成功求出[CD]的長(zhǎng)。

解法3：如圖4，過點(diǎn)[A]作[AE]∥[BC]，過點(diǎn)[B]作[BE]∥[AC]，[AE]，[BE]交于點(diǎn)[E]，過點(diǎn)[E]作[EF⊥BC]于點(diǎn)[F]，構(gòu)造平行四邊形[ACBE]，因此[AC=BE]，[AE=BC]。因?yàn)閇∠ACB=135°]，所以[∠CBE=45°]，設(shè)[CD=x]，因?yàn)閇CD⊥AB]，[AD=6]，

評(píng)注：本題是面積法在幾何問題中的一個(gè)典型應(yīng)用實(shí)例。通過作平行線構(gòu)造平行四邊形，再作垂線構(gòu)造等腰直角三角形，利用平行四邊形對(duì)角線分割面積相等的性質(zhì)，得到面積等式[S△BCE=S△ABC]，據(jù)此建立方程，通過解方程求出[x]。

解法4：如圖5，將[△ADC]沿[AC]翻折得到[△AEC]，將[△BCD]沿[BC]翻折得到[△BCF]，延長(zhǎng)[AE]、[BF]交于點(diǎn)[G]，因?yàn)閇CD⊥AB]，所以[△ADC]、[△AEC]、[△CDB]、[△CFB]均為直角三角形，因?yàn)閇∠ACB=135°]，所以[∠ACB+∠ACE+∠BCF=270°]，所以[∠ECF=90°]，所以四邊形[ECFG]是矩形，所以[∠G=90°]，因?yàn)閇CE=CF=CD]，所以四邊形[ECFG]是正方形，設(shè)[CD=x]，則[EG=FG=x]，因?yàn)閇AD=6]，[BD=20]，所以[AE=6]，[BF=20]，所以[AG=x+6]，[BG=x+20]，在Rt[△AGB]中，由勾股定理[得AB2=AG2+BG2]，即[262=（x+6）2+（x+20）2]，解得[x=4]或[x=-30]（舍去），所以[CD=4]，故選D。

評(píng)注：當(dāng)[x=4]時(shí)，[△ABG]的三邊恰好是勾股數(shù)5、12、13的兩倍，即10、24、26，此解法不僅基于扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)與技能，而且超越基礎(chǔ)層面，展現(xiàn)了命題者對(duì)學(xué)生思維的訓(xùn)練，很是巧妙。

評(píng)注：由135[°]的鄰補(bǔ)角是45[°]入手，構(gòu)造“一線三等角”的K型圖，利用[△FEA ]≌[△ADC]，推導(dǎo)出[△FEB ]∽[△CDB]及其各邊的代數(shù)關(guān)系。最后，通過相似三角形對(duì)應(yīng)成比例建立方程求解，實(shí)現(xiàn)了全等三角形與相似三角形的綜合運(yùn)用。

得[x=4]或[x=-30]（舍去），所以[CD=4]，故選D。

評(píng)注：由135[°]角入手，構(gòu)造“一線三等角”的K型圖。與解法5相比，本解法構(gòu)造的三個(gè)等角是三個(gè)鈍角，而解法5構(gòu)造的是三個(gè)直角。本解法主要利用等腰直角三角形與矩形的性質(zhì)，為相似三角形的對(duì)應(yīng)邊提供數(shù)據(jù)支持，最后通過相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例建立方程求解。

評(píng)注：通過構(gòu)造兩個(gè)等腰直角三角形[△ADM]與[△BDN]，進(jìn)而構(gòu)造出相似三角形[△AMC]與[△CNB]。利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例建立方程求解。之所以要構(gòu)造等腰直角三角形，是因?yàn)閳D形中有[∠ACB=135°]，135[°]與45[°]互補(bǔ)，這一角度關(guān)系為構(gòu)造相似三角形提供了關(guān)鍵條件。

解法8：如圖9，在[AD]上截取[DE=CD]，連接[CE]，因?yàn)閇CD⊥AB]，所以[△CED]是等腰直角三角形，所以[∠CED=45°]，所以[∠A+∠ACE=45°]，因

評(píng)注：本解法構(gòu)圖比較簡(jiǎn)單，只構(gòu)造了一個(gè)等腰直角三角形，然后利用“母子型”相似三角形[△AEC ]∽[△ACB]，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例建立方程求解。

評(píng)注：本解法通過在左右兩個(gè)方向上構(gòu)造兩個(gè)等腰直角三角形，得到兩個(gè)135[°]的鈍角三角形，與已知[∠ACB=135°]相等。通過導(dǎo)角得到另一組等角，從而確立相似三角形[△ACE]與[△CBF]。最后，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例建立方程求解。

綜上，解題時(shí)作輔助線，應(yīng)以啟發(fā)思考為突破口，以突出通性通法為抓手，以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力為宗旨，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)并逐步提高思維水平，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。