高中數學雙曲線定義及幾何性質的教學探索

摘 要：高中數學的雙曲線定義描述線上點的幾何性質，通過分析雙曲線的焦點和焦距及關鍵組成部分，教師可以引導學生理解雙曲線的形狀和性質，并且結合教學案例，進一步掌握雙曲線焦點和焦距的條件.教師通過引導學生掌握標準方程，從而明確焦距是焦點間的距離；教師通過引導學生計算得出公式，并在應用教學實踐中注意相應的關鍵點；教師通過創新傳統高中數學的教學方式，將情境展現給學生，促進學生結合焦點與焦距的條件，理解雙曲線的性質和運用的知識理念，從而進一步增強學生正確的解題思路和有效方法.

關鍵詞：高中數學；雙曲線定義；焦點；焦距

為了促進學生提高對雙曲線知識的理解和相關題目的解題能力，教師應不斷創新多元化的教學理論指導，在教學實踐中開展不同形式的教學方法，引導學生在混合學習的過程中，主動學習并掌握高中數學雙曲線定義的解題過程.結合雙曲線教學案例講解的過程，教師引導學生轉變學習方式，激發學生探究高中數學知識的興趣，加深學生對高中數學拓展知識的理解與應用，使學生在輕松愉悅的學習氛圍中快速掌握與理解雙曲線的定義和相關的知識點，從而全面提高學生高中數學的應試綜合能力.

1 高中數學雙曲線定義

在高中數學課堂中導入情境教學模式中，教師引導學生了解雙曲線的定義時，可以提問“平面內與兩定點F1，F2的距離的差為非零常數的點的軌跡是什么”，然后組織學生小組合作學習，討論平面內與兩定點F1，F2的距離的差為非零常數的點的軌跡是什么.學生相互交流后，教師進行總結定義：平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于非零常數（小于︱F1F2︱）的點的軌跡叫雙曲線.教師再次提問“焦點在坐標軸上的雙曲線的標準方程是什么”，幫助學生理解雙曲線的標準方程的重要性，討論與分析這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫雙曲線的焦距，焦點在 x 軸上的雙曲線標準方程為x2a2-y2b2＝1（a＞0，b＞0），x軸經過兩焦點連線F1F2，y軸為線段F1F2的垂直平分線.

首先，教師為了激發學生學習的興趣，融入情境教學的應用題故事，帶領學生回顧橢圓的標準方程及其推導方法.^［1］教師組織學生思考、判斷雙曲線的焦點在哪個坐標軸上時，根據雙曲線的標準方程來分析雙曲線的類型，讓學生在練習中體會雙曲線的標準方程與橢圓的標準方程之間的區別與聯系，通過比較這兩種標準方程的異同點，幫助學生更好地理解它們之間的區別和聯系.教師鼓勵學生掌握解題思路，提高學生的思維能力和表達能力.^［2］

其次，教師再次借助雙曲線的焦點、焦距條件定義，提問學生“若2a＞2c，則軌跡是什么”，得出結果不表示任何軌跡.在這個問題中，教師需要引導學生明確高中數學中的幾何軌跡問題，具體涉及的是二維空間中的兩個點F1和F2.教師組織學生進行課堂練習，使學生掌握橢圓與雙曲線之間的區別與聯系（見表1）.^［3］

表1 雙曲線與橢圓之間的區別與聯系

橢圓雙曲線

定義|MF1|＋|MF2|=2a||MF1|－|MF2||=2a

方程x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）

y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）x2a2-y2b2＝1（a＞0，b＞0）

y2a2-x2b2＝1（a＞0，b＞0）

焦點（±c，0）

（0，±c）（±c，0）

（0，±c）

a，b，c

的關系a＞b＞0，c2＝a2-b2，

a最大a＞0，b＞0，但a不一定大于b，

c2＝a2＋b2，c最大

最后，教師通過課堂例題訓練，使學生掌握變形雙曲線的知識點，如以下例題.

已知雙曲線兩個焦點的坐標為F1（-5，0），F2（5，0），雙曲線上一點P到F1，F2的距離的差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程.

解析：∵雙曲線焦點在x軸上，∴設它的標準方程為x2a2-y2b2＝1（a＞0，b＞0）.

∵2c=10，2a=6，∴c=5，a=3.

∴b2=52-32=16.

∴所求雙曲線的標準方程為x29-y216＝1.

2 應用提問式教學模式，掌握雙曲線幾何性質

教師采用提問式教學模式，在課堂上通過練習提示學生根據幾何中的基本定理，來推導這條垂直平分線的方程.^［4］已知F1（-5，0），F2（5，0），動點P到 F1，F2的距離之差的絕對值為6，求得點P的軌跡方程為x29-y216＝1.若|PF1|-|PF2|=6呢？求得點P的軌跡方程為x29-y216＝1（x＞0）.

教師提問一：若||PF1|-|PF2||=10呢？若||PF1|-|PF2||=12呢？

通過課堂練習觀察發現軌跡不存在.值得注意的是，在沒有“絕對值”條件時，如點F1（-8，3 ），F2（2，3），動點P滿足|PF1|-|PF2|=10，則點P的軌跡是一條射線.

教師提問二：如果方程x22＋m-y2m＋1＝1表示雙曲線，求m的取值范圍.

對題目進行分析，由（2＋m）（m＋1）＞0，得m＜-2或m＞-1.教師組織學生小組合作學習思考與討論，促進學生掌握方程x22＋m-y2m＋1＝1表示焦點在y軸上的雙曲線時，則m＜-2.教師通過提問學生，激發學生學習的興趣，促進學生主動探究雙曲線y2a2-x2b2＝1（a＞0，b＞0）的幾何性質，如圖1所示.

教師總結雙曲線幾何性質的知識點.

（1）x軸、y軸和原點都具有對稱性，如圖2所示.在高中數學課堂教學中，雙曲線是一種具有特定形狀的曲線，即關于x軸、y軸和原點都是對稱的，具有對稱性.對于標準方程為焦點在x軸上的雙曲線，以原點為中心，它的焦點是以原點為中點的兩個點.總的來說，雙曲線的對稱性和中心性是其基本性質之一，使得雙曲線在數學上具有獨特的魅力.

（2）雙曲線與對稱軸的交點，叫作雙曲線的頂點，如圖3所示.雙曲線的實軸和虛軸，構成了幾何特性的核心概念.實軸和虛軸，是理解雙曲線的基本要素，反映了雙曲線的幾何性質.在實際應用中，實軸和虛軸還用于描述其他幾何形狀的特征，如橢圓、拋物線等參數，是雙曲線理論體系的重要組成部分.

（3）漸近線方程為y＝±abx或y＝±bax.

其中，實軸和虛軸等長的雙曲線叫作等軸雙曲線，其方程為x2-y2＝a2.

（4）離心率公式為e＝ca=1+ba2.焦距與實軸長的比ca叫作雙曲線的離心率，記作e.e反映了雙曲線開口大小，e越大，雙曲線開口越大；e越小，雙曲線開口越小，其中e＞1.

3 結語

教師應幫助學生掌握雙曲線的若干知識點，啟發學生的思維，拓寬學生的解題思路.教師應創新多元化的解題方法，引導學生了解圓錐曲線內容在高中數學中的地位及其應用價值.教師應在引導學生探究學習過程中，培養學生主動探究雙曲線定義以及焦點、焦距等幾何概念；創設高中數學圓錐曲線教學情境，促進學生主動探究雙曲線定義、焦點、焦距相關的問題，使學生掌握雙曲線的基礎知識，同時鼓勵學生在解題中多加應用，提高解題效率，從而提高學生圓錐曲線的解題能力.

參考文獻

［1］王宗銀，徐加華.雙曲線的定義應用知多少［J］.數理化解題研究（高中版），2014（11）：1－2.

［2］郭啟淳.圓錐曲線的學習總結［J］.中國校外教育，2018（8）：120-121.

［3］黃萍.《幾何畫板》在高中數學教學中的應用策略［J］.數學教學通訊，2018（3）：64－65.

［4］豐效輝.高中數學圓錐曲線復習策略探析［J］.才智，2017（11）：113.