基于灰色理論的廣東省人口老齡化趨勢預測及影響因素

摘" "要：中國人口老齡化現象持續加劇，對經濟運行全領域、社會建設各環節、社會文化多方面乃至國家綜合實力和國際競爭力都具有深遠影響。因此，將廣東省人口老齡化作為研究對象，基于GM（1，1）模型，探究2022—2035年老年人口數量及其占比的變化趨勢。再運用灰色關聯分析和主成分分析方法，分析影響老齡化的8個因素，找出主要影響因素。結果表明：未來14年65歲及以上老年人口數量及其占比將呈現逐年遞增趨勢，預計到2035年，65歲及以上老年人口數量將達到1 584.735 2萬人，占比將達到9.971543035%；城鎮化率、死亡率、出生率、衛生技術人員數、醫療衛生機構床位數和人均GDP是影響老齡化的六個重要因素；經濟發展因素和人口結構因素是影響老齡化的兩個主要成分。

關鍵詞：人口老齡化；GM（1，1）模型；灰色關聯分析；主成分分析；影響因素

中圖分類號：C921" " " " 文獻標志碼：A" " " 文章編號：1673-291X（2024）22-0067-06

近年來，我國人口老齡化問題日益突出，未來老齡化現象仍將持續加劇。這一問題對于經濟建設、政治建設、文化建設、社會建設、生態文明建設等多方面乃至國家綜合實力和國際競爭力都具有相當深遠的影響。特別是處于我國改革開放前沿陣地的廣東省，理清其人口老齡化發展趨勢及影響因素更具重要意義。根據廣東省統計年鑒，截至2021年年末，全省常住人口為12 684萬人，位居全國首位。65歲及以上老年人口為1 615萬人，占12.73%。廣東省已成為全國老年人口最多的10個省份之一，并且65歲及以上老年人口數量逐年遞增，老齡化速度正在不斷加快。通過對廣東省人口老齡化的研究，為我國應對人口老齡化問題制定相關的人口政策，同時提出相應的應對方案。

國內外已有不少學者對人口老齡化問題進行了研究。在人口老齡化對經濟和社會的影響方面，David和Bloom等[1]認為，生育率的下降將導致勞動年齡人口的比率上升，而勞動年齡人口的增加將減小人口老齡化發展對經濟的影響，因此人口老齡化不會對發展中國家的經濟發展有明顯阻礙。Dall和Timothy[2]在美國人口老齡化的背景下，預測了未來對醫療保健服務的需求。在人口老齡化的預測方面，韓鵬和宋曉曉[3]利用GM（1，1）模型對內蒙古老年人口進行了預測。楊華[4]構建了NSGA-III-WFGO-GM（1，N）與BP神經網絡的組合模型并應用于人口老齡化預測。胥俊林和陳友軍[5]利用新陳代謝灰色模型預測了人口老齡化。在人口老齡化的影響因素方面，大多數研究者認為，出生率和死亡率的降低是導致人口老齡化的主要原因，例如Walford和Kurek[6]對英國和波蘭的人口老齡化進行對比后發現，這兩個國家的人口老齡化都是由出生率和死亡率的降低導致的。田甜[7]以中國西部地區為研究對象，運用空間自相關和地理探測器等方法進行研究，得出人口老齡化空間分布特征的主要影響因子是人口自然增長率、職工平均工資。胡瓊和羅娟[8]利用上海市2007—2018年統計年鑒數據，運用灰色關聯理論分析了上海市人口老齡化的主要影響因素，發現GDP增長率、人均可支配收入、衛生服務人員數與出生率等對其影響較大。陳寧[9]采用年齡移算和隊列要素分析等方法預測“全面二孩”政策對人口老齡化的發展速度有一定抑制作用，有助于降低老年撫養比，降低勞動力供養負擔。

從現有研究成果來看，不同角度、不同方法的研究都有助于揭示人口老齡化的發展趨勢及影響因素。鑒于此，文章嘗試對于老齡化人口數量建立GM（1，1）模型[10]，并進行研究、分析和預測。再進行灰色關聯分析和主成分分析，分析影響老年人口數量及其占比的8個因素，得到影響人口老齡化的主要因子。

一、人口老齡化的趨勢預測

（一）數據選取

數據主要來源于《廣東省統計年鑒》（2001—2022）、《國家統計年鑒》（2001—2022）、廣東省第七次人口普查公報（第四號）、第七次人口全國普查公報（第五號）、國家統計局數據庫。

（二）GM（1，1）模型

GM（1，1）模型是一種對含有不確定因素的系統進行預測的模型。建模過程中所需信息較少，運算簡便，精度較高，易于檢驗，也不必過分關注數據的分布規律或檢驗特征。本質是通過微分方程來充分挖掘數據的內在規律，預測數據未來的發展趨勢，特別能對數量較少、完整性和可靠性較低的數據序列進行有效的預測。具體來說，首先，需要進行關聯分析，就是鑒別系統各種因素之間發展趨勢的相異程度。因為這些因素的影響會使得表現系統行為特征的數據顯得無規律，但其實這些看似無規律的數據也有可能是潛在的有規律數據的一種表現。其次，通過累加或累減的方式對原始數據進行處理，以便得到有較強規律性的數據，進而尋找內在的規律性。最后，建立相應的微分方程模型，預測數據未來的發展趨勢。

（三）數據預處理

1.級比檢驗

為了弱化數據的隨機性，對65歲及以上老年人口數量記為X（0），并對X（0）進行級比檢驗。記X（0）={X（0）（1），X（0）（2），...，X（0）（n）}，令λ（k）=X（0）（k-1）/X（0）（k）（k=2，3，...，n），經過計算可知并非所有的λ（k）均落入區間（e-2/（n+1），e2/（n+1））之內。因此，對X（0）作平移變換，即對X（0）的每個值都加上常數C，再進行檢驗。當C=668時，X（0）通過檢驗，說明X（0）可使用GM（1，1）模型進行分析。對65歲及以上老年人口占比也進行級比檢驗，當C=7時，數據通過檢驗，說明也可使用GM（1，1）模型進行分析。

2.數據累加

對X（0）進行累加。令X（1）（K）=" X（0）（i）=X（1）（k-1）+X（0）（k）（k=1，2，...，n），則生成數據為X（1）={X（1）（1），X（1）（2），...，X（1）（n）}。對于非負數據，累加次數越多，隨機弱化越強。當累加次數足夠多時，可認為X（0）已由隨機序列變為非隨機序列了。一般經過多次累加后，多數序列可用指數曲線進行逼近。

（四）模型建立

定義X（1）的灰導數為d（k）=X（0）（k）=X（1）（k）-X（1）（k-1），令Z（1）為X（1）的均值序列，且Z（1）（k）=0.5X（1）（k）+0.5X（1）（k-1）（k=2，3，...，n），則Z（1）=（Z（1）（2），Z（1）（3），

...，Z（1）（n））。此時灰微分方程模型為d（k）+az（1）（k）=b，即X（0）（k）+az（1）（k）=b，其中X（0）（k）為灰導數，a為發展系數，z（1）（k）為白化背景值，b為灰作用量。

令u=（a，b）T，Yn=（X（0）（2），X（0）（3），...，X（0）（n）），B=-Z （2）" -Z （3）" ..." "-Z （n）" " "1" " " " " " " 1" " " "..." " " " 1 ，則由最小二乘法，求使 J（u）=（Yn-Bu）T（Yn-Bu）達到最小值的u=（a，b）T=（BTB）-1BTYn。解微分方程，即可得到預測值

對65歲及以上老年人口數量建立GM（1，1）模型，所得結果為：

對65歲及以上老年人口占比也建立GM（1，1）模型，所得結果為：

（五）模型檢驗

采用擬合圖法、后驗差檢驗法和小誤差概率檢驗法分別對模型（1）和（2）進行檢驗。

1.擬合圖法

將模型（1）的真實值與預測值做成擬合圖進行分析（見圖1），可以看出模型的擬合效果較好，預測結果理想。

將模型（2）的真實值與預測值做成擬合圖進行分析（見圖2），可以看出模型擬合出了真實值的趨勢，預測結果較為理想。

2.后驗差檢驗法和小誤差概率檢驗法

對于模型（1），先計算原始序列的標準差S1= （X （k）-X ） /（n-1），再計算誤差序列的標準差S2= （ε （k）-ε ） /（n-1），兩者相除得到方差比率C=S2/S1=0.237，最后計算小誤差概率P=P（|ε （k）-ε |lt;0.6745S1）=1.0。根據GM（1，1）模型擬合精度等級標準（見表1），確定模型（1）的精度等級為好，檢驗通過。同理，可算出模型（2）的方差比率C=0.624，小誤差概率P=0.818，確定模型（2）的精度等級為基本合格，檢驗通過。

口增長速度加快，且在未來14年65歲及以上老年人口數量還將持續增長。預計到2035年，65歲及以上老年人口數量將達到1 584.735 2萬人，占比將達到9.971543035%。老年人口規模不斷擴大，老年化現象逐漸嚴重，老年人的贍養負擔逐漸加重，將會持續增大年輕人的社會壓力，這些都將對經濟和民生等造成一定的影響。

二、人口老齡化的影響因素

（一）數據選取

篩選出X1人均GDP（萬元）、X2出生率（%）、X3死亡率（%）、X4城鎮化率（%）、X5衛生技術人員數（萬人）、X6醫療衛生機構床位數（萬張）、X7基本養老保險支出（億元）、X8基本醫療保險支出（億元）共8個主要影響因素。

（二）數據預處理

在收集數據的過程中，因為某些統計指標在早年沒有數據記載，再加上其他因素的影響，不可避免地使某些統計指標在部分年份出現了缺失值，所以要對數據進行預處理，即進行數據的填充。根據插值法的思想用最可能的值來插補缺失值，大量的研究表明這要比刪除不完全樣本或變量丟失的信息少[11]。因此，選擇用Excel軟件來繪圖觀察之后插入缺失值。

（三）灰色關聯分析

灰色關聯分析是對系統發展變化的趨勢提供量化的度量，十分適合動態歷程分析。主要步驟為：

第一步，將2022年65歲及以上老年人口數量及其占比數量作為參考序列X0（k）=X0（1），X0（2），...，X0（22），選取的8個影響因素作為比較序列Xi（k）=Xi（1），Xi（2），...，Xi（22）（i=1，2，...，8）。

第二步，無量綱化處理，得到新序列Y0（k）=Y0（1），Y0（2），...，Y0（22）和Yi（k）=Yi（1），Yi（2），...，Yi（22）（i=1，2，...，8）。

第三步，計算差序列△i0（k）=|Y0（k）-Yi（k）|（i=1，2，...，8，k=1，2，...，22）。

第四步，計算極大差M=maxi maxk△i0（k）和極小差m=mini mink △i0（k）。

第五步，計算關聯系數ri0（k）=（m+ρM）/（△i0（k）+ρM）（ρ∈[0，1]），這里取ρ=0.5。

第六步，計算關聯度r（X0，Xi）=" ri0（k）/n。

由下頁表3可以看出，8個影響因素的關聯度都大于0.5，說明選取的8個指標對于廣東省老年人口數量及其占比均有明顯影響，影響程度均為：X4gt;X3gt;X2gt;X5gt;X6gt;X1gt;

X7gt;X8。其中，城鎮化率和死亡率與老齡化的關聯度很高，均達到了0.85以上，對老齡化的影響很大。隨后的出生率、衛生技術人員數、醫療衛生機構床位數和人均GDP與其關聯度也達到0.75以上，也將會對老齡化產生較大的影響。

（四）主成分分析

1.基本思想

主成分是被選擇出的比原始變量個數少，卻能解釋大部分數據信息的幾個新變量。主成分分析就是研究多個變量間相關性并進行應用的一種多元統計方法，該方法通過較少的變量（幾個主成分）來解釋多個變量間的相關信息。即從原始變量中推導出少數幾個主分量，使它們盡可能多地保留原始變量的信息，且主成分間互不相關。具體來說，主成分分析就是在盡量保證不丟棄任何變量信息的情形下，將n維特征值映射到k維上（klt;n），而重新構造出來的k維正交特征值就稱為主成分。

對某一問題假設有P個指標，分別記為X1，X2，...，Xp由這些隨機變量構成的隨機向量記為X=（X1，X2，...，Xp）T，對X進行線性變換可以得到組合變量F。主成分分析的一般模型為：

F =a X +a X +...+a X F =a X +a X +...+a X ...F =a X +a X +...+a X

其中a2i1+a2i2+...+a2ip=1，Fi為第i個主成分（i=1，2，...，P）。

2.具體步驟

第一步，選取初始分析變量。根據對廣東省人口老齡化影響因素的灰色關聯分析，選取了X1人均GDP（萬元）、X2出生率（%）、X3死亡率（%）、X4城鎮化率（%）、X5衛生技術人員數（萬人）、X6醫療衛生機構床位數（萬張）、X7基本養老保險支出（億元）、X8基本醫療保險支出（億元）共8個因素作為初始分析變量。

第二步：判斷是否需要進行無量綱化處理。主成分分析對于初始變量的方差非常敏感，如果初始變量的取值范圍之間存在較大差異，將會造成分析結果存在較大偏差，所以需要采取措施將數據轉換為可比較的尺度，即要對數據進行無量綱化處理。常用的方法有標準化、極值化和均值化等。通過觀察，可以發現這8個初始變量的取值范圍相差較大且度量指標各不相同，故需要對數據進行無量綱化處理，這里選擇標準化處理。

第三步，進行適配性檢驗。這里采用KMO檢驗法和巴特利特球形檢驗法。KMO檢驗法是通過比較樣本各變量間的簡單相關系數和偏相關系數的大小來判斷變量間的相關性。若偏相關系數遠小于簡單相關系數，則認為變量間的相關性較強。巴特利特球形檢驗法的原假設是相關系數矩陣為單位陣，認為各變量之間是線性無關的。若拒絕原假設，則認為各變量之間是線性相關的。在進行適配性檢驗時，可得KMO統計量的值為0.744，大于0.6，對應的因子分析情況為合適，說明各個變量之間存在相關性。同時，巴特利特球形檢驗的概率P值為0.000，小于顯著性水平0.05，應當拒絕原假設，即認為相關系數矩陣與單位矩陣存在顯著的差異。二者均說明了原始數據適合做主成分分析。

第四步，計算特征值（見表4）和特征向量（見表5）。根據特征值和特征向量可以進一步求出對應主成分的線性表達式。

第五步，判斷特征值是否大于1。只有當某個主成分的特征值大于1時，主成分從初始變量的組合中提取的信息才能比單一的初始變量多。而只有主成分的累計方差貢獻率大于80%時，才能反映出全部初始變量的信息。若達不到標準，則說明數據不適合做主成分分析，需要另選其他方法。由表6可以看出，第一主成分的特征值為5.914，第二主成分的特征值為1.046，均大于1，并且第一和第二主成分的累積方差貢獻率為87.004%，大于80%，說明第一和第二主成分已達到主成分分析的要求。

第六步，確定主成分個數，得到線性表達式。即Fi=wi1Xi1+wi2Xi2+...+wipXip，wipθpi / 表示各個初始變量的系數，θpi 表示第i個主成分對應第P個初始變量的系數， 表示第i個主成分特征值的平方根。因此，主成分F1和F2的線性表達式分別為：

F1=0.408X1-0.134X2+0.034X3+0.399X4+0.409X5+

0.409X6+0.396X7+0.404X8

F2=-0.077X1-0.303X2+0.935X3-0.123X4-0.048X5-

0.048X6+0.041X7+0.075X8

3.結果分析

分析主成分F1可知，人均GDP、城鎮化率、衛生技術人員數、醫療衛生機構床位數、基本養老保險支出和基本醫療保險支出這6個變量的載荷量較高，它們能夠反映一個地區的經濟發展水平，因此可稱F1為經濟發展因素。一般來說，一個地區經濟發展水平越高，該地區的人均GDP和城鎮化率也越高。與此同時，經濟水平的提升也會增加醫療資源，衛生技術人員數和醫療衛生機構床位數也會隨之增加。有了可靠的醫療資源和增加的收入作保障，老年人會增加基本醫療與養老保險支出，從而提高生活質量和醫療保障水平，便會延長平均預期壽命。

分析主成分F2可知，出生率和死亡率這兩個變量的載荷量較高，它們能夠反映一個地區的人口結構變化，因此可稱F2為人口結構因素。2000—2015年人口出生率緩慢下降，幅度不大。在2015年實施“全面二孩”政策后，2017年的出生率較2015年增長了2.56%。但在此輪生育高峰過后，從2018年開始出生率便逐年下降，截至2021年底已經跌至9.5%。顯然，當前廣東省面臨著的是較低的出生率和死亡率，未來人口老齡化現象會進一步加劇。

三、結論

第一，GM（1，1）模型預測結果表明，未來廣東省65歲及以上老年人口數量及其占比將呈現逐年遞增趨勢。預計到2035年，65歲及以上老年人口數量將達到1 584.735 2萬人，占比將達到9.971543035%。人口老齡化現象日益嚴重，不僅會給經濟帶來新的挑戰，還將增加中青年的負擔。不過，也要理性看待模型的預測結果，不同方法、不同時期的數據以及模型擬合過程中產生的誤差，都會對預測結果產生不同的影響。但是，在未來老齡化程度不斷加深、老年人口不斷增加是相同的研究結果。

第二，灰色關聯分析結果表明，城鎮化率和死亡率與老齡化的關聯度較高，對老齡化的影響效果較為顯著。城鎮化率越高意味著該地區現代化程度越高，能在一定程度上代表當地的經濟發展水平以及生活水平，并且城鎮化率能在一定程度上影響醫療保障水平，進而影響死亡率。其次是出生率、衛生技術人員數、醫療衛生機構床位數和人均GDP與老齡化的關聯程度。人均GDP作為衡量經濟發展水平的重要指標，它的提高標志著經濟水平的提升，可以為老年人提供堅實的養老保障。經濟越發達，衛生技術人員數與醫療衛生機構床位數等基礎醫療水平會越好，能使人均壽命延長。出生率降低會使老齡人口占比提升。基本養老保險與醫療保險支出同樣對老齡化有重要影響，因為它們涉及老年人退休后享有的待遇和報銷的醫療費問題，能夠為他們提供基本的生活和醫療保障。

第三，主成分分析結果表明，影響廣東省人口老齡化的主成分可以分為經濟發展因素和人口結構因素。其中人均GDP、城鎮化率、衛生技術人員數、醫療衛生機構床位數、基本養老保險支出和基本醫療保險支出這6個變量可歸為經濟發展因素。人均GDP和城鎮化率都是衡量經濟發展的重要指標。經濟發展水平的提高，可以促進衛生技術人員數和醫療衛生機構床位數的增長，可以為老年人提供更堅實的養老和醫療保障。同時，老年人的基本養老保險支出和基本醫療保險支出也會隨之增加，從而延長老年人口的平均壽命。出生率和死亡率這兩個變量可歸為人口結構因素。隨著現代社會的發展，平均受教育水平的提高，越來越多的年輕人從早婚早育、多子多孫的觀念轉向了晚婚晚育、少生優育的觀念，不斷降低的出生率會直接影響老年人口的占比。現代養老保障和醫療服務體系的不斷發展，也使得老年人能夠得到較好的生活和醫療保障，平均預期壽命相應延長，老年人口數量相應增加。

參考文獻：

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Prediction of Population Aging Trend and Influencing Factors in Guangdong Province Based on Grey Theory

CHEN Siyuan， WANG Minghui， YU Yuekai， CHEN Xunhua

（School of Mathematics and Statistics， Shaoguan University， Shaoguan 512005， China）

Abstract： The aging of China's population continues to intensify， which has a profound impact on all areas of economic operation， all links of social construction， social and cultural aspects， as well as national comprehensive strength and international competitiveness. Therefore， taking the aging population of Guangdong Province as the research object， based on the GM （1，1） model， this study explores the changing trend of the number and proportion of elderly population from 2022 to 2035. Using grey relational analysis and principal component analysis methods， analyze the 8 factors that affect aging and identify the main influencing factors. The results indicate that the number and proportion of elderly people aged 65 and above will show an increasing trend year by year in the next 14 years. It is expected that by 2035， the number of elderly people aged 65 and above will reach 158473500， accounting for 9.971543035%; urbanization rate， mortality rate， birth rate， number of health technicians， number of beds in medical and health institutions， and per capita GDP are six important factors affecting aging; economic development factors and population structure factors are the two main components that affect aging.

Key words： Population aging; GM （1，1） model; Grey correlation analysis; Principal component analysis; Influencing factors

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