通過逆向設(shè)計 開發(fā)數(shù)學(xué)應(yīng)用素材 實現(xiàn)教學(xué)評一致

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）凝練了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，明確學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，細(xì)化評價目標(biāo)，突出評價的激勵與發(fā)展功能，增強(qiáng)對教學(xué)和評價的指導(dǎo)，促進(jìn)教、學(xué)、評的有機(jī)銜接．華東師范大學(xué)崔允漷教授認(rèn)為“教學(xué)評一致”指的是整個教學(xué)系統(tǒng)中，教師的教、學(xué)生的學(xué)以及對學(xué)習(xí)結(jié)果的評價之間的協(xié)調(diào)配合，他指出：目標(biāo)是教學(xué)評一致的核心；持續(xù)性評價是教學(xué)評一致的關(guān)鍵；結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)活動是教學(xué)評一致的保障[1]．自新課標(biāo)實施以來，“教學(xué)評一致”與逆向教學(xué)設(shè)計日益受到教育研究領(lǐng)域的廣泛關(guān)注．在當(dāng)前注重培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的教育背景下，逆向教學(xué)設(shè)計為“教學(xué)評一致”的實現(xiàn)提供了實用的框架，使“教學(xué)評一致”的實踐落實成為可能．逆向教學(xué)設(shè)計主張從終點即想要的結(jié)果開始，先確定達(dá)成預(yù)期結(jié)果的評估證據(jù)，再從證據(jù)出發(fā)組織學(xué)習(xí)和教學(xué)活動，逆向教學(xué)設(shè)計是實現(xiàn)教學(xué)評一致的有效方案[2]．

數(shù)學(xué)應(yīng)用包括兩個方面：一是數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用，即運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識和思想方法解決新的數(shù)學(xué)問題，可歸結(jié)為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的邏輯化；二是數(shù)學(xué)外部的應(yīng)用，即運(yùn)用數(shù)學(xué)理論解決有關(guān)實際問題，可分為現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化和數(shù)學(xué)理論應(yīng)用化．研究數(shù)學(xué)應(yīng)用是搜集針對性評價的主要證據(jù)，有利于教學(xué)評一致的落實．下面以人教A版選擇性必修1“空間向量的數(shù)量積運(yùn)算”為例，說明通過逆向教學(xué)設(shè)計落實教學(xué)評一致的做法．

1 以課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，確定學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)是教材編寫、教學(xué)、評價和考試命題的依據(jù)，是國家管理課程的基礎(chǔ)，體現(xiàn)著國家對學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的基本要求，所以課程標(biāo)準(zhǔn)中體現(xiàn)的實際上并不是“教學(xué)內(nèi)容”，而是“學(xué)生的學(xué)習(xí)成果”．學(xué)習(xí)目標(biāo)就是預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果，引導(dǎo)、驅(qū)動學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)活動，既是課堂學(xué)習(xí)的起點，也是課堂學(xué)習(xí)的終點．

1.1 研讀課標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)指出本單元研究對象是幾何圖形，所用研究方法主要是代數(shù)方法．教學(xué)中要求學(xué)生能夠理解空間向量的概念、運(yùn)算、背景和作用；能夠依托空間向量建立空間圖形及圖形關(guān)系的想象力；能夠運(yùn)用空間向量解決一些簡單的實際問題，體會用向量解決一類問題的思路．重點提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．教學(xué)中應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比的方法，經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間的推廣過程，探索空間向量與平面向量的共性和差異，引發(fā)學(xué)生思考維數(shù)增加所帶來的影響．

1.2 教材分析

本節(jié)內(nèi)容教材直接提出兩個空間向量問題可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量問題，從而由平面向量數(shù)量積的概念平行推廣到空間數(shù)量積的概念，思考數(shù)量積的幾何意義，得到空間a向b的投影向量，再擴(kuò)展到a向直線l和平面β的投影向量．從概念到運(yùn)算，類比得空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律，辨析確認(rèn)后強(qiáng)化數(shù)量積運(yùn)算的應(yīng)用，解決長度與垂直問題．整個過程體現(xiàn)了類比轉(zhuǎn)化的思維方法，突出向量法的介紹與應(yīng)用．所以本節(jié)課的重點是空間向量數(shù)量積的運(yùn)算及應(yīng)用，難點是對投影向量的理解以及向量法的建立．

1.3 學(xué)情分析

“平面向量及其應(yīng)用”已介紹平面向量的研究內(nèi)容、研究套路及思想方法；“立體幾何初步”的學(xué)習(xí)，使學(xué)生形成了一定的空間想象力，理解空間點、直線、平面的平行和垂直關(guān)系以及相關(guān)的度量計算等方法．這些內(nèi)容為本單元的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，但把空間圖形的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量表示對學(xué)生來講是一個認(rèn)識上的難點，對于空間向量的投影，需要較強(qiáng)的空間想象力，也是教學(xué)的難點．突破難點的辦法是類比平面向量解決平面幾何問題的經(jīng)驗，并結(jié)合空間幾何具體問題的解決逐步形成認(rèn)識．

1.4 確定目標(biāo)

基于以上分析，可確定“空間向量的數(shù)量積運(yùn)算”的學(xué)習(xí)目標(biāo)，見表1．

2 基于學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)計評價任務(wù)

教學(xué)評一致強(qiáng)調(diào)課堂教學(xué)要圍繞學(xué)習(xí)目標(biāo)展開，學(xué)習(xí)目標(biāo)讓學(xué)生知道“要到哪里去”，評價任務(wù)是指導(dǎo)學(xué)生“怎么去”．教學(xué)評價要以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成作為評價的基本要素．設(shè)計評價任務(wù)不僅要關(guān)注學(xué)生預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生的思維過程，指向?qū)W生的理解和遷移，體現(xiàn)著數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力層次．逆向教學(xué)設(shè)計要求我們不是在目標(biāo)設(shè)計好后直接考慮教學(xué)活動方案的設(shè)計，而是評價在先，要根據(jù)評價任務(wù)確定評價學(xué)生學(xué)習(xí)達(dá)成的證據(jù)，即為達(dá)成目標(biāo)找到證據(jù)．表2給出了空間向量數(shù)量積運(yùn)算的評價任務(wù)與評價證據(jù)．

3 將評價任務(wù)分解為學(xué)習(xí)活動

開展學(xué)習(xí)活動的過程是圍繞目標(biāo)即學(xué)、即評、即教的探究過程，使教學(xué)評交織融合．教師在活動中要認(rèn)真收集評價信息，分析評價結(jié)果，依據(jù)評價結(jié)果審視目標(biāo)達(dá)成情況．

活動1 回顧舊知，類比得到空間向量的數(shù)量積的概念

師生共同畫出表3，在平面向量數(shù)量積的基礎(chǔ)上完成空間部分．

評價證據(jù)學(xué)生能完成表3和檢測1，說明能在熟悉的情境或特例中模仿，視為對空間向量數(shù)量積概念的掌握，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)達(dá)到水平1．

活動2 借助幾何直觀，揭示空間向量投影概念的本質(zhì)

（1）你能畫出空間中a在b上的投影向量嗎？能用向量a，b表示嗎？

（2）你能畫出空間中a向直線l的投影向量嗎？向平面β的投影向量呢？

評價證據(jù) 依據(jù)平面上投影向量的概念，通過平移能完成活動（1），是在熟悉的情境下建立的聯(lián)系，直觀想象素養(yǎng)達(dá)到水平1；在理解投影向量本質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過知識遷移正確完成活動（2）與檢測2，是在關(guān)聯(lián)的情境下建構(gòu)的，說明直觀想象素養(yǎng)達(dá)到水平2．

活動3 推廣運(yùn)算律，理解向量運(yùn)算律與數(shù)的運(yùn)算律的差異

（1）類比平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，你能寫出空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律嗎？

（2）你能給予證明嗎？

檢測3 （1）對于三個均不為0的數(shù)a，b，c，若ab=ac，則b=c．對于向量a，b，c，由a·b=a·c，你能得到b=c嗎？

（2）對于三個均不為0的數(shù)a，b，c，若ab=c，則a=c/b（或b=c/a）．對于向量a，b，若a·b=k，能不能寫成a=k/b（或b=k/a）的形式？

（3）對于三個均不為0的數(shù)a，b，c，有a（bc）= （ab）c．對于向量a，b，c，（a·b）·c=a·（b·c）成立嗎？為什么？

評價證據(jù) 與學(xué)過的平面向量分配律證明相關(guān)聯(lián)，探索空間向量分配律的證明，以及能通過舉反例完成檢測3的辨析，可視為能選擇合適的論證方法，邏輯推理素養(yǎng)達(dá)到水平2．

活動4 應(yīng)用向量法，解決空間幾何問題

檢測5 如圖3，m，n是平面α內(nèi)的兩條相交直線．如果l⊥m，l⊥n，求證：l⊥α．

評價證據(jù)學(xué)生能完成檢測4，說明學(xué)生掌握了本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，完成了學(xué)習(xí)目標(biāo)；完成檢測5，說明學(xué)生已具有知識的遷移能力，能運(yùn)用空間向量模型解決數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)達(dá)到水平2．

可見，將教學(xué)評價“嵌套”在教學(xué)活動中，以恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)應(yīng)用素材作為教學(xué)評價反饋的證據(jù)，檢測學(xué)生的知識理解程度，可以對學(xué)生的認(rèn)知、能力等發(fā)展水平進(jìn)行動態(tài)追蹤，實時了解學(xué)生學(xué)業(yè)水平，更有利于落實教學(xué)評一致，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升．

參考文獻(xiàn)

[1]涂曉峰．“教學(xué)評一致性”的含義及實踐程序[J]．課程教材教學(xué)研究，2023（9～10）：32

[2]常歡．“教學(xué)評”一體化的高中數(shù)學(xué)逆向教學(xué)設(shè)計研究——以函數(shù)單元為例[D]．洛陽師范學(xué)院，2024

（本文系廣州市教育科學(xué)規(guī)劃課題（教學(xué)成果培育項目）“文化視角下高中數(shù)學(xué)應(yīng)用素材的開發(fā)與實踐”（編號：2024111456）的階段性成果）