高中數學軌跡方程的解法研究

摘" 要：軌跡方程屬于高考數學中的一項必考內容，對學生的解題能力與基礎知識的掌握情況均有著較高要求.在高中數學解題訓練中，教師可圍繞軌跡方程安排專題訓練，帶領學生反復練習，讓他們能根據實際情況靈活選擇解題方法，掌握解題竅門.

關鍵詞：高中數學；軌跡方程；解法

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）22-0094-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：戴立先（1979.9—），江蘇省昆山人，教育碩士，中小學高級教師，從事高中數學教學研究.

軌跡方程即為同幾何軌跡相對應的代數描述方式，是符合既定條件的動點所組成的一類圖形，也可以說是符合一定條件下點的全體構成的集合，這就是滿足該條件下點的軌跡.在高中數學軌跡方程類試題中，不僅考查學生對圓錐曲線概念、性質等基礎性知識的掌握程度，還考查他們的運算能力、邏輯思維能力，以及分析與處理問題能力.教師應給予高度重視，通過解題訓練幫助學生學會解答軌跡方程問題的方法，有效提高他們的數學解題水平.

1" 直接法在高中數學軌跡方程中的應用

直接法，顧名思義就是一種很直接的解題方法，當處理高中數學軌跡方程類試題時，假如題目中的動點所滿足的幾何條件本身就是部分幾何量之間的等量關系，或者這些幾何條件明了簡單，還易于表達，這時只需把此種關系以含有x，y的等式來表示，由此求出相應的軌跡方程［1］.

例1" 已知定點M的坐標是（-3，0），點N的坐標是（3，0），有一個動點Q（x，y）距定點M，N之間距離的比值是2，也就是|QM||QN|＝2，那么動點Q的軌跡方程是什么？

解析" 因為|QM|＝（x+3）2+y2，

|QN|＝（x-3）2+y2，|QM||QN|＝2，

所以|QM||QN|＝（x+3）2+y2（x-3）2+y2＝2.

所以（x＋3）2＋y2＝4（x-3）2＋4y2.

整理、化簡，得（x-5）2＋y2＝16.

所以動點Q的軌跡方程是（x-5）2＋y2＝16.

2" 定義法在高中數學軌跡方程中的應用

定義法即為使用已經學習過的一些定義把所求動點的軌跡方程給直接求出來，通常適用于難度不大、條件清晰簡單的試題.具體來說，當遇到題設里面存在定點和定直線以及兩個定點之和或者差是定值的條件，或者借助平面幾何知識的分析能找出這些條件時，便可采用定義法.

例2" 已知Q為圓x2＋y2＝4上的一個動點，點A的坐標是（3，0），線段AQ的垂直平分線l與圓的半徑OQ相交于點P，當點Q進行圓周運動時，點P的軌跡方程是什么？

解析" 連接PA，根據線段AQ的垂直平分線l交半徑OQ于點P，故|PA|＝|PQ|.

因為點P位于圓的半徑OQ上，

所以|PO|＋|PQ|＝2.所以|PO|＋|PA|＝2，且2＞3＝|OA|.

結合橢圓的定義可以判定出點P的軌跡就是以O，A兩點為焦點的橢圓.

因為2a＝2，2c＝3，

所以a＝1，c＝32.

則b＝12.

所以點P的軌跡方程是（x-32）2＋4y2＝1.

3" 代入法在高中數學軌跡方程中的應用

如果動點P（x，y）隨著已知曲線上的點Q（x0，y0）的變化而發生變化，而且“x0，y0”能夠使用“x，y”進行表示，那么可以把點Q的坐標表達式代入到已知曲線方程，便能求出點P的軌跡方程，這就是代入法［2］.

例3" 在圖1中，已知點P的坐標是（4，0），其位于圓x2＋y2＝36內，A，B兩點均是圓上動點，其中∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.

圖1" 例3題圖

解析" 設AB的中點是R（x0，y0），在Rt△ABP中，|AR|＝|BR|＝|PR|.

由于R是弦AB上的中點，由垂徑定理，

在Rt△OAR中，

|AR|2＝|AO|2-|OR|2＝36-（x20＋y20）.

又因為|AR|＝|PR|＝（x0-4）2+y20，

由此得到（x0-4）2＋y20＝36-（x20＋y20）.

即x20＋y20-4x0-10＝0.

所以點R位于圓上，當點R在這個圓上運動時，點Q就在所求的軌跡上運動.

設Q（x，y），由于R為PQ的中點，

故x0＝x+42，y0＝y+02.

代入到方程x20＋y20-4x0-10＝0，得

（x+42）2＋（y2）2-4×x+42-10＝0.

整理、化簡，得x2＋y2＝56.

所以矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程是x2＋

y2＝56.

4" 參數法在高中數學軌跡方程中的應用

有的題目中，求動點需滿足的幾何條件難以直接、順暢地求出來，也沒有明顯的相關點，不過卻是能夠容易發現該動點在運動過程中會受到其他變量的影響，如時間、截距、比值、斜率、角度等，或者動點坐標（x，y）中的“x，y”會分別跟隨另外一個變量的變化發生改變，該變量即為參數.這時可根據這個變量建立關于軌跡的參數方程，通過解方程順利求出動點的軌跡方程.

例4" A，B兩點是拋物線y2＝4px（p＞0）上除原點以外

的兩個動點，如果OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，且說明所表示的是什么曲線.

解析" 設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），且x≠0，

直線AB的方程是x＝my＋a.

因為OM⊥AB，

所以m＝-yx.

由y2=4px及x=my+a，消去x，得

y2-4pmy-4pa＝0.

則y1y2＝-4pa，x1x2＝（y1y2）2（4p）2＝a2.

又因為OA⊥OB，所以x1x2＝-y1y2.

故a2＝4pa，即a＝4p.

在x＝my＋4p中，根據m＝-yx，得

x2＋y2-4px＝0，x≠0.

所以點M的軌跡方程是x2＋y2-4px＝0，x≠0，表示的是以（2p，0）為圓心，半徑是2p的圓，且不含坐標原點.

5" 待定系數法在數學軌跡方程中的應用

待定系數法作為一種求未知數的有效方法，就是把一個多項式表示為另外一種含有待定系數的新形式，由此獲得一個恒等式，再結合恒等式的性質確定系數需滿足的方程或者方程組，然后通過解方程或者方程組就能夠把待定系數給求出來.

例5" 已知△PMN的面積是1，tan∠PMN＝12，tan∠PNM＝-2，構建合適的平面直角坐標系，求以M，N為焦點且過點P的橢圓方程.

解析" 構建平面直角坐標系時，可以MN的中點為原點，M，N所處的直線為x軸，設|MN|＝2c，則M（-c，0），N（c，0）.

設橢圓方程是x2a2+y2b2=1，（a＞b＞0），

根據題意可知直線MP，NP的方程分別是

y＝12（x＋c），y＝2（x-c）.

聯立得P（5c3，4c3）.

所以2a＝|PM|＋|PN|

=（5c3+c）2+（4c3）2+（5c3-c）2+（4c3）2=25c.

又因為S△PMN=12×2c×4c3=1，

所以c＝32，a＝152.

故橢圓的方程是4x215+y23=1.

6" 交軌法在高中數學軌跡方程中的應用

當求兩條動曲線的交點軌跡問題時，可以利用方程直接消去參數，這一方法需要引入相關參數建立這些曲線之間的聯系，然后消去參數以后即可得到軌跡方程［3］.

例6" 點A1和A2是橢圓4x29+y24=1長軸的兩個端點，點P1和P2為垂直于A1A2的弦的端點，則直線A1P1和A2P2的交點P的軌跡方程是什么？

解析" 根據題意可設交點P，P1，P2的坐標分別是（x，y），（x0，y0），（x0，-y0），

當A1，P1，P三點共線時，得

y-y0x-x0=yx+3，①

當A2 P2 P三點共線時，得

y+y0x-x0=yx-3.②聯立①②解得x0，y0x0＝9x，y0＝3y.

代入到x209+y204=1中，得x29-y24=1.

所以點P的軌跡方程是x29-y24=1.

7" 結束語

在高中數學軌跡方程解題教學中，教師需指引學生全方位、多層次分析動點所滿足的所有條件，尤其要關注同動點有關的隱性條件，以免縮小或者擴大點的范圍.引導學生結合具體條件與題目實際情況靈活應用以上各種不同的解題方法，選擇最為恰當的一種解法，高效率地求得結果，加快解題速度與準確度，為將來應對高考做好準備.

參考文獻：

［1］

褚玉霞.例析軌跡方程的幾種求法 ［J］.語數外學習（高中版

），2023（01）：47-48.

［2］ 王錦繡.淺談高中數學教學中解析幾何的解題技巧 ［J］.數理天地（高中版），2023（19）：33-35.

［3］ 常建偉，常海波.例析軌跡方程的幾種求法 ［J］.語數外學習（高中版），2023（05）：53-54.

［責任編輯：李" 璟］