2024年全國高考數學Ⅰ卷理科導數題解法探究

摘" 要：文章給出了2024年全國高考數學Ⅰ卷理科導數壓軸題中第（1）問和第（3）問的兩種解法、第（2）問三種解法，并且揭示了每種解法背后所蘊含的知識內涵.幫助學生從不同角度進行觀察和分析，抓住條件和結論之間的聯系，開拓解題思路.

關鍵詞：高考數學；一題多解；導數

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）22-0076-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：王翔（2000.12—），男，云南省曲靖人，本科，從事中學數學教學研究;

王青松（1998.7—），女，云南省大理人，本科，中學二級教師，從事中學數學教學研究.

高考導數含參壓軸題是一個經典的問題，文章具體闡述應用不同思想方法來解答2024年全國高考數學Ⅰ卷理科導數壓軸題，旨在為高中數學一線教師提供教學參考.

1" 試題呈現

題目" 已知函數f（x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3.

（1）若b=0，且f ′（x）≥0，求a的最小值；

（2）證明：曲線y=f（x）是中心對稱圖形；

（3）若f（x）gt;-2，當且僅當1lt;xlt;2，求b的取值范圍.2" 試題解析

由x（2-x）gt;0得f（x）定義域x∈（0，2）.

2.1" 第（1）問解法探索

解法1" 分離參數，利用重要不等式求最值［1］.

因為b=0，所以f（x）=lnx2-x+ax.

所以f ′（x）=1x+12-x+a≥0在（0，2）恒成立.

分離參數得-a≤1x+12-x在（0，2）恒成立.

由重要不等式易得1x+12-x=2x（2-x）≥2.

則a≥-2.

所以amin=-2.

解法2" 函數最值.

因為f ′（x）≥0，所以f ′（x）min≥0.

則f ′（x）min=f ′（1）=2+a≥0，解得a≥-2.

所以amin=-2.

點評" 首先明確函數定義域，根據已知條件求導，采用分離參數或求函數最值即可.

2.2" 第（2）問解法探索

解法1" 利用表達式的結構特征，先猜后證.

觀察發現b（1-x）3關于（1，0）對稱，猜想f（x）關于（1，？）對稱.

因為f（1）=a，猜想f（x）關于（1，a）對稱.

下證：f（x）+f（2-x）=2a.

f（x）+f（2-x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3+ln2-xx+a（2-x）+b（1-x）3=2a.

所以曲線y=f（x）是關于（1，a）對稱的中心對稱圖形.

解法2" 結合教材結論探究（人教A版必修一P87課后習題拓展探索結論：y=f（x）關于點（a，b）對稱的充要條件是y=f（x+a）+b為奇函數）.

觀察發現f1=lnx2-x=lnx-ln（2-x）關于（1，0）對稱，f2=b（x-1）3關于（x，1）對稱，

所以f（x）向左平移1個單位才能為奇函數.

因為f（x+1）=lnx+11-x+a（1+x）+bx3

=lnx+11-x+ax+bx3+a，

所以f（x+1）-a=lnx+11-x+ax+bx3.

易證y=lnx+11-x+ax+bx3為奇函數.

所以曲線y=f（x）關于（1，a）對稱.

解法3" 利用高等數學結論先算后驗.

因為f ′（x）=1x+12-x+a+3b（x-1）2，

所以f″（x）=4（x-1）x2（2-x）2+6b（x-1）.

令f″（x）=0，得x=1.

又f（1）=a，所以曲線f（x）關于（1，a）對稱.

點評" 結合函數結構先去推斷再去證明，課本習題的結論也為我們提供了很好的解題思路.

2.3" 第（3）問解法探索

分析" 深入理解當且僅當，結合（2）的對稱性優化研究范圍.

因為1lt;xlt;2f（x）gt;-2，

所以x∈（0，1］，必有f（x）≤-2.

所以f（1）=-2.

所以a=-2.

所以f（x）=lnx2-x-2x+b（x-1）3.

該問題等價于：當x∈（1，2），f（x）gt;-2恒成立，只需f（x）mingt;-2.由（2）知f（x）關于（1，-2）對稱，故只需求f（x）在（1，-2）最小值.

解法1" 利用導數直接分類討論求f（x）的最小值［2］.

f ′（x）=1x+12-x-2+3b（x-1）2

=2（x-1）2x（2-x）+3b（x-1）2

=（x-1）22x（2-x）+3b.

因為2x（2-x）≥2，參照此分類討論如下：

①若3b≥-2，則b≥-23.

易知f ′（x）≥0，則f（x）在（1，2）單調遞增.

則f（x）gt;f（1）=-2.

故b≥-23成立.

②若3blt;-2，則blt;-23.

由2x（2-x）+3b≥0，

得-23b≤x（2-x）.

在（1，2）必存在t，使得x∈（t，2）時2x（2-x）+3b≥0成立（其中-23b=t（2-t）），f（x）在（1，t）單調遞減，在（t，2）單調遞增，所以f（t）≤f（1）=-2，與f（x）gt;-2在（1，2）恒成立矛盾，故blt;-23舍去.

解法2" 利用端點效應，先證必要性，再證充分性.

研究f（x）+2mingt;0，令h（x）=f（x）+2，則

h′（x）=1x+12-x-2+3b（x-1）2

=2（x-1）2x（2-x）+3b（x-1）2

=（x-1）22x（2-x）+3b.

令g（x）=2x（2-x）+3b，發現h′（1）=0，h″（1）=0，當且僅當h（1）gt;0時，若g（1）≥0，解得b≥-23.

易證當b≥-23時，由2x（2-x）≥2，得h′（x）≥0，則h（x）在（1，2）單調遞增.

所以h（x）gt;h（1）=0.

故b≥-23成立.

當blt;-23時，2x（2-x）+3b=0在（1，2）必有解，規定-23b=t（2-t），則h（x）在（1，2）必存在t，使得2x（2-x）+3b≥0在x∈（1，t）恒成立.

則h（x）在（1，t）單調遞減，在（t，2）單調遞增.

所以h（t）≤f（1）+2=0，與h（x）gt;0在（1，2）恒成立矛盾，故blt;-23舍去.

點評" 導數大題題目條件字字都不能放過，當且僅當作用很大，往往求解都是需要利用已知條件轉化成新的問題.該題轉化后常規方法借助導數求最值即可，多角度利用端點效應證充要條件也可.

3" 結束語

本題實際為某對數型函數多項式逼近的二階展開，再向右平移一個單位所得式子，改編自2015年北京卷，（1）（2）兩問常規基礎，容易得分，緊扣課本，突出必備知識的考查；第（3）問注重解決問題，凸顯選拔性，與高等數學知識相聯系，體現難題的立意和寓意.函數是高中數學的主線，無論是切線問題還是單調性問題或者極值或者恒成立問題，最后都是以導數為工具，求導分析與討論，這點是在導數題中不變的事實.第（2）問的考點，我們發現問題其實沒有多大變化，因為導數基礎題只是對通性通法的簡單運用［3］，而壓軸題在通項通法之外深入多角度考查.這些都啟示我們學導數、練導數要注意好導數的通性通法.

參考文獻：

［1］

郭蒙，薛小強.剖析分離參數法在高考導數壓軸題中的應用［J］.高中數理化，2024（Z1）：62-65.

［2］ 黃詩媛.解答導數恒成立問題的三種思路［J］.數理天地（高中版），2024（11）：47-48.

［3］ 龍正武.從一道高考真題談函數導數壓軸題的備考［J］.數學通報，2017，56（05）：48-51.

［責任編輯：李" 璟］