對(duì)2022年新高考Ⅰ卷第12題的思考

摘" 要：以2022年新高考Ⅰ卷多選第12題為例，從函數(shù)周期性、對(duì)稱性、奇偶性到函數(shù)圖象的變換，對(duì)不同解法進(jìn)行探究，并對(duì)函數(shù)性質(zhì)之間的聯(lián)系和函數(shù)圖象的變換進(jìn)行拓展.

關(guān)鍵詞：函數(shù)周期性；對(duì)稱性；奇偶性；圖象變換

中圖分類號(hào)：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）22-0057-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡(jiǎn)介：楊明（1985.1—），女，湖北省隨州人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：中山市教育科研2023年度青年項(xiàng)目課題“新教材背景下薄弱學(xué)校高中學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)的實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：C2023145）.

函數(shù)是數(shù)學(xué)中的基本概念，也是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一.在高考中，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性

等知識(shí)點(diǎn)都是必考內(nèi)容.函數(shù)性質(zhì)是高考數(shù)學(xué)中涉及計(jì)算問(wèn)題最多的知識(shí)點(diǎn)之一.

1" 函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的結(jié)論與證明

結(jié)論" f（a+x）=f（a-x）f（x）關(guān)于x=a對(duì)稱f（a+x）為偶函數(shù)（假設(shè)agt;0）.

證明" 充分性.因?yàn)閒（a+x）=f（a-x），令t=a+x，

所以f（t）=f（2a-t）.

即f（x）=f（2a-x）.

所以f（x）關(guān)于x=a對(duì)稱.

必要性.因?yàn)閒（x）關(guān)于x=a對(duì)稱，所以f（2a-x）=f（x）.令x=t+a，得f（a+t）=f（a-t）.

所以f（a+x）=f（a-x）.

如下是利用函數(shù)圖象的平移變換證明“f（x）關(guān)于x=a對(duì)稱f（a+x）為偶函數(shù)”.

充分性.因?yàn)閒（x）關(guān)于x=a對(duì)稱，f（x）的圖象左移a個(gè)單位得到f（a+x）的圖象，對(duì)稱軸由x=a平移到x=0即y軸，所以f（a+x）為偶函數(shù).

必要性.因?yàn)閒（a+x）為偶函數(shù)，所以f（a+x）的對(duì)稱軸為y軸，f（a+x）的圖象右移a個(gè)單位得到f（x）的圖象，對(duì)稱軸由x=0平移到x=a，所以f（x）關(guān)于x=a對(duì)稱［1］.

拓展結(jié)論" f（a+bx）=f（a-bx）f（x）關(guān)于

x=a對(duì)稱f（a+bx）為偶函數(shù)（假設(shè)agt;0，bgt;0）.

證明" 充分性.令t=a+bx，則x=t-ab.

所以f（t）=f［a-b（t-ab）］=f（2a-t）.

所以 f（x）=f（2a-x）.

所以f（x）關(guān)于x=a對(duì)稱.

必要性.由結(jié)論f（x）關(guān)于x=a對(duì)稱得f（a+x）=f（a-x）.令x=bt，得f（a+bt）=f（a-bt）.

即f（a+bx）=f（a-bx）.

利用函數(shù)圖象的伸縮平移變換證明“f（x）關(guān)于x=a對(duì)稱f（a+bx）為偶函數(shù)”.

充分性.f（x）的圖象向左平移a個(gè)單位得到f（a+x）的圖象，f（x）對(duì)稱軸為x=a，所以f（a+x）圖象的對(duì)稱軸為x=0，即y軸.

f（a+x）圖象縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的1b得到f（a+bx）的圖象，對(duì)稱軸x=0也縮小為原來(lái)的1b，仍然是y軸.

所以f（a+bx）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即f（a+bx）為偶函數(shù).

必要性.因?yàn)閒（a+bx）為偶函數(shù)，所以x=0為f（a+bx）的對(duì)稱軸.

f（a+bx）的圖象向右平移ab個(gè)單位得到f［a+b（x-ab）］=f（bx）的圖象，對(duì)稱軸由x=0平移到x=ab，f（bx）的圖象縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的b倍得到的f（x）圖象，對(duì)稱軸由x=ab變?yōu)閤=ab·b=a.

或者f（a+bx）的圖象縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)先伸長(zhǎng)為原來(lái)的b倍得到f（a+x）的圖象，相應(yīng)的對(duì)稱軸x=0伸長(zhǎng)b倍仍然是x=0，f（a+x）的圖象向右平移a個(gè)單位得到f（x）圖象，對(duì)稱軸由x=0平移到x=a，所以f（x）關(guān)于x=a對(duì)稱［2］.

以上結(jié)論得證，對(duì)于alt;0，blt;0同理可證明結(jié)論成立.

2" 真題呈現(xiàn)與解法探究

例1" （2022年新高考Ⅰ卷第12題）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f ′（x）的定義域均為R，記g（x）=f ′（x）．若f（32-2x），g（2+x）均為偶函數(shù)，則（" ）.

A.f（0）=0""" B.g（-12）=0

C.f（-1）＝f（4）D.g（-1）＝g（2）

解法1" 根據(jù)條件f（32-2x）為偶函數(shù)，得出f（x）的對(duì)稱軸為x=32.

因?yàn)閒（-1）=f2×32-（-1）=f（4），故選項(xiàng)C正確.

而g（2+x）為偶函數(shù)，所以g（x）的對(duì)稱軸為x=2.

因?yàn)間（-1）=g2×2-（-1）=g（5），故選項(xiàng)D錯(cuò)誤 .

因?yàn)閤=32為f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f ′（32）=

g（32）=0.

因?yàn)閤=2為g（x）的一條對(duì)稱軸，

所以g（52）=g（32）=0.

所以f ′（52）=g（52）=0.

因?yàn)閤=32為f（x）的一條對(duì)稱軸，

所以f ′（52）=f ′（12）=0，

g（12）=g（72）=0，

f ′（72）=f ′（-12）=0.

所以f ′（-12）=g（-12）=0，故選項(xiàng)B正確.

由題目條件不能得出A選項(xiàng)正確，故BC正確.

解法2" 因?yàn)閒（32-2x）為偶函數(shù)，不妨設(shè)

f（32-2x）=cos（ωx）+1，ωgt;0，

令32-2x=t，則x=34-12t.

則

f（t）=cos（34ω-ω2t）+1.

所以f（x）=cos（34ω-ω2x）+1，

f ′（x）=g（x）=ω2sin（34ω-ω2x），

g（x+2）=-ω2sin（ω4+ω2x）.

因?yàn)間（2+x）為偶函數(shù)，所以ω4=π2+kπ，k∈Z，不妨設(shè)k=0，ω=2π，代入f（x）中得

f（x）=-sin（πx）+1，g（x）=-πcos（πx），f（32-2x）=cos（2πx）+1，

g（x+2）=-πcos［π（x+2）］=

-πcos（πx）均為偶函數(shù).

所以f（x）=-sin（πx）+1，g（x）=-πcos（πx）符合題意.

因?yàn)閒（0）=1≠0，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

因?yàn)間（-12）=0，所以選項(xiàng)B正確.

因?yàn)閒（-1）=1，f（4）=1，所以選項(xiàng)C正確.

因?yàn)間（-1）=π，g（2）=-π，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

解法3" 因?yàn)間（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，g（2+x），f（32-2x）為偶函數(shù)，可設(shè)g（2+x）=cos（ωx）（ω≠0），換元得g（x）=cos（wx-2ω），f（x）=1ωsin（ωx-2ω）+1.

所以f（32-2x）=-1ωsin（12ω+2ωx）+1為偶函數(shù).

所以12ω=π2+kπ（k∈Z）.

不妨設(shè)k=0，解得ω=π.

所以f（x）=1πsin（πx）+1，g（x）=cos（πx），符合題意.

兩個(gè)函數(shù)分別代入四個(gè)選項(xiàng)得出正確的答案.

3" 結(jié)論在解題中的應(yīng)用

變式1" （2021年新高考Ⅱ卷第8題）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽（f（x）不恒為0），f（x+2）為偶函數(shù)，f（2x+1）為奇函數(shù)，則（" ）.

A.f（-12）=0""" B.f（-1）=0

C.f（2）=0D.f（4）=0

解析" 因?yàn)閒（x+2）為偶函數(shù)，所以f（x）關(guān)于x=2對(duì)稱.所以f（1）=f（3）=0.

又因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)镽，f（2x+1）為奇函數(shù)，

所以f（x）關(guān)于（1，0）對(duì)稱，f（1）=0且周期為4.

所以f（-1）=f（-1+4）=f（3）=0.故選B.

變式2" （2023年宣城模擬）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f ′（x）的定義域均為R，記g（x）=f ′（x）．若f（x+3）為奇函數(shù)，g（32+2x）為偶函數(shù)，且

g（0）=-3，g（1）=2，則∑2 023i=1g（i）=.

解析" 因?yàn)閒（x+3）為奇函數(shù)，所以f（-x+3）=-f（x+3）.

所以f ′（-x+3）=f ′（x+3）.

又因?yàn)間（x）=f ′（x），所以g（-x+3）=g（x+3）.

所以g（x）的對(duì)稱軸為x=3.①

又因?yàn)間（32+2x）為偶函數(shù)，

所以g（32-2x）=g（32+2x）.

所以將式中2x換成x，得g（32-x）=g（32+x）.

所以g（x）的對(duì)稱軸為x=32.②

由①②得g（x）的一個(gè)周期為T=2（3-32）=3.

所以g（3）=g（0）=-3．

又因?yàn)間（x）的對(duì)稱軸為x=32，

所以g（1）=g（3-1）=g（2）=2.

所以g（1）+g（2）+g（3）=2+2-3=1.

又因?yàn)? 023=3×674+1，

所以Σ2 023i=1g（i）=676.

4" 結(jié)束語(yǔ)

研究函數(shù)性質(zhì)涉及計(jì)算的問(wèn)題對(duì)高考具有重要的意義，可以為學(xué)生的高考做好充分的準(zhǔn)備，同時(shí)也可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和應(yīng)用意識(shí).因此在日常教學(xué)中，教師既要引導(dǎo)學(xué)生注重對(duì)定義的理解和掌握，掌握通性通法；也要注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)同類題型解題技巧的積累和規(guī)律的總結(jié)，可以一題多解、多題一解，避免思維定式，這樣學(xué)生才能在考試時(shí)胸有成竹，應(yīng)對(duì)如流！

參考文獻(xiàn)：

［1］

陳泳.八省聯(lián)考單選壓軸第七題的背景探究及應(yīng)用［J］.理科考試研究，2021，28（23）：22-25.

［2］ 閆偉.一道清華大學(xué)自招試題的解法探究及拓展［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2020（01）：37-39，25.

［責(zé)任編輯：李" 璟］