探析2023年全國高中數學聯賽A卷第9題

摘" 要：動點的軌跡問題是歷年高考和全國數學聯賽的重點和熱點題型，特別是新課程改革以來，注重考查學生的創新意識、運算能力、分析問題及解決問題的能力等.求軌跡方程實質上是數形結合的最直接體現，同時在建構函數方程、轉化與化歸思想等方面均有體現.

關鍵詞：聯賽；動點；軌跡方程

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）22-0050-04

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：賀鳳梅（1979—），女，湖北省隨州人，本科，中學一級教師，從事中學數學教學研究.

近年來，全國高中數學聯賽與高考試題、名校的強基計劃試題都緊密聯系，研究聯賽試題對于高三復習，甚至對于高一高二的尖子生的培養都大有裨益.2023年聯賽試卷中的解析幾何試題就是一道很好的高考復習素材，下面分享一下研究內容，以饗讀者.

1" 試題呈現

試題" （2023年全國高中數學聯賽A卷一試第9題）平面直角坐標系xOy中，拋物線τ：y2=4x，F為τ的焦點，A，B為τ上兩個不重合的動點，使得線段AB的一個三等分點P位于線段OF上（含端點）.記Q為線段AB的另一個三等分點，求點Q的軌跡方程.

2" 總體分析

此題是2023年全國高中數學聯賽A卷一試第9題，試題難度適中，涉及求動點的軌跡方程.此類試題可以利用直接法設點，結合幾何等量關系進行轉化，也可以利用相關點法進行求解，還可以利用參數法建立x與y的聯系，然后消去參數，得出動點的軌跡方程.同時一定要關注題中的隱含限制條件，即求解過程中常說的定義域問題.

3" 試題解答

視角1" 常規設點，借助定比分點公式解答.

解法1" 設A（x1，y1），B（x2，y2），依題意可知AP=12PB，且λ=12.

由定比分點公式可得

xP=x1+x2/21+（1/2）=2x1+x23.

同理yP=2y1+y23.

所以點P（2x1+x23，2y1+y23）.

而AQ=2QB，

易得點Q（x1+2x23，y1+2y23）.

因為點P在線段OF上，則有

0≤2x1+x23≤1，①

2y1+y23=0.②

由②解得y2=-2y1.

不妨設y1=t，則y2=-2t.

因為點A，B在拋物線y2=4x上，

所以x1=y214=t24，

x2=y224=t2.

代入①整理，得0≤12t2≤1.

由題設可知A，B兩點不重合.

所以t≠0.

故0lt;t2≤2.

結合以上轉化可求得xQ=34t2，yQ=-t，且0lt;34t2≤32.

從而點Q的軌跡方程為y2=43x（0lt;x≤32）.

評注" 此法屬于常規解法，設A（x1，y1），B（x2，y2），利用定比分點公式得出點P，Q的坐標，結合點P的位置得出y2=-2y1以及橫坐標的范圍.接著用中間量替換以及點A，B在拋物線上進行必要轉化與求解，找出點Q的橫、縱坐標的關聯，最終求出點Q的軌跡方程.當然，要想獲得滿分其實不容易，考生往往易忽視軌跡的范圍（包括端點）［1］.

解法2" 結合解法1知，P（2x1+x23，2y1+y23），Q（x1+2x23，y1+2y23）.

因為點P在線段OF上，

所以y2=-2y1.

即y22=4y21.

又點A，B在拋物線上，

即y21=4x1，y22=4x2.

所以x2=4x1.

因為xP=2x1∈（0，1］，

所以x1∈（0，12］.

結合以上轉化與求解易得xQ=3x1，yQ=-y1.

因為y21=4x1，

所以點Q的軌跡方程為y2=43x（0lt;x≤32）.

評注" 解法2是在解法1的基礎上進行簡化，沒有介入中間量，而是結合點A，B在拋物線上直接尋找點的橫、縱坐標的關系，這樣處理相對簡潔，當然對運算能力與轉化能力的要求更高.另外變量的范圍不容忽視，屬于易丟分點［2］.

視角2" 利用參數方程，借助定比分點公式解答.

解法3" 設拋物線τ：y2=4x的參數方程為x=t2，y=2t（t為參數），

設A（a2，2a），B（b2，2b），

由定比分點公式，得

P（2a2+b23，4a+2b3），Q（a2+2b23，2a+4b3）.

因為點P在線段OF上，則有

0≤2a2+b23≤1，③

4a+2b3=0.④

由④解得b=-2a.

代入③整理得0lt;a2≤12（A，B兩點不重合，a≠0）.

結合以上轉化與求解易得

xQ=3a2，yQ=-2a.

所以點Q的軌跡方程為 y2=43x（0lt;x≤32）.

評注" 此法利用拋物線的參數方程設點轉化與求解，參數相應減少，點Q的橫、縱坐標的關系更明顯，當然前提條件是考生必須熟練掌握參數方程，這也對化歸與轉化能力和計算能力提出了更高的要求［3］.

視角3" 設點P及Q的坐標，結合點A，B在拋物線上轉化求解.

解法4" 設Q（x，y），P（t，0）（0lt;t≤1），

由題可知，點P為AQ中點，點Q為PB中點.

易知A（2t-x，-y），B（2x-t，2y）.

因為點A，B在拋物線上，

所以

y2=4（2t-x），（2y）2=4（2x-t）.

消y整理，得x=32t.

所以0lt;x≤32.

從而t=23x.

故可求得點Q的軌跡方程為y2=43x（0lt;x≤32）.

評注" 此解法直擊目標，求點Q的軌跡方程，直接設點Q（x，y），結合題設條件設點P（t，0）（0lt;t≤1），利用相關點法得出點A，B的坐標，而點A，B在拋物線上，進一步轉化即可求解.

視角4" 結合題設，通過減元處理求解.

解法5" 設A（t24，t），由題可知AP=12PB，且點P在線段OF上，由線段的定比分點公式，得

yP=2yA+yB3=0.

所以yB=-2yA=-2t.

又y2B=4xB，

所以xB=t2.

即點A（t2，-2t）.

結合定比分點公式可求得

xP=2xA+xB3=12t2.

由前面的解法易知0lt;t2≤2.

進一步得xQ=34t2，yQ=-t.

所以點Q的軌跡方程為y2=43x（0lt;x≤32）.

評注" 此解法就是在厘清問題的本質之后作減元處理.正所謂熟能生巧，萬變不離其宗，只要抓住問題的實質，問題自然迎刃而解.

4" 追根溯源

定比分點公式在現行教材中未明確提出，但它卻是解析幾何中的一個重要知識.人教A版新教材必修第二冊第32至33頁的例9就是在探究這個知識點，值得大家關注.

設P是線段P1P2上的一點，點P1，P2的坐標分別是（x1，y1），（x2，y2）.

（1）當P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標；

（2）當P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標.

探究：線段P1P2端點P1，P2的坐標分別是（x1，y1），（x2，y2），P是線段P1P2上的一點，

當P1P=λPP2時，點P的坐標為（x1+λx21+λ，y1+λy21+λ）.

評注" 人教A版新教材必修第二冊以例題及探究的形式將定比分點公式納入所學知識的范疇，足見定比分點公式是我們必須掌握和能夠靈活應用到解題中去的. 當然以上的解法中大家均可以用向量的坐標進行轉化，異曲同工，有興趣的同仁不妨一試.

5" 聯賽試題鏈接

（2005年全國高中數學聯賽）如圖1，過拋物線y=x2上的一點A（1，1）作拋物線的切線，分別交x軸于點D，交y軸于點B，點C在拋物線上，點E在線段AC上，滿足AEEC=λ1，點F在線段BC上，滿足BFFC=λ2，且λ1+λ2=1，線段CD與EF交于點P，當點C在拋物線上移動時，求點P的軌跡方程.

圖1" 2005年聯賽解析幾何題圖

解析" 易得切線AB的方程為y=2x-1.

所以點B（0，-1），D（12，0）.

所以D是線段AB的中點.

設點P（x，y），C（x0，x20），E（x1，y1），F（x2，y2），

因為AEEC=λ1，

由定比分點公式，得

x1=1+λ1x01+λ1，y1=1+λ1x201+λ1.

同理，由BFFC=λ2，得

x2=λ2x01+λ2，y2=-1+λ2x201+λ2.

利用兩點式寫出直線EF的方程，并整理得

［（λ2-λ1）x0-（1+λ2）］y=［（λ2-λ1）x20］x+1+x0-λ2x20.⑤

當x0≠12時，直線CD：y=2x20x-x202x0-1.⑥

聯立⑤⑥，得x=1+x03，y=x203.

消去x0，得y=13（3x-1）2.

當x0=12時，交點坐標為（12，112），滿足以上軌跡方程.

而點C與點A不重合，所以x0≠1，從而x≠23.

綜上，點P的軌跡方程為y=13（3x-1）2 （x≠23）.

評注" 本題是2005年全國高中數學聯賽試題，利用導數的幾何意義求出切線AB方程，得出點B，D坐標，設所需點的坐標，結合定比分點公式作相關轉化，同時還需用到交軌法，可以求出相應的軌跡方程，同樣需要考慮其中的限制條件，以上解答供大家參考.

6" 結束語

平面向量是新教材的一個亮點，而向量的定比分點公式結構美觀，用來解決國內外的一些競賽與聯賽試題快速、高效，別有一番風味.比如第29屆IMO預選題，求線段比值，用定比分點公式進行轉化，問題迎刃而解；第23屆IMO試題，已知三點共線，求參數的值，利用定比分點公式巧妙化解難題；1995年國家集訓隊試題，判斷三點位置關系時，結合定比分點公式，很容易證明三點共線.雖然現行的新教材將向量定比分點公式設置在例題中，但它是非常有用的！因此，在今后的學習中我們要多留心教材的例題和習題，深刻領悟編者意圖，擴大知識面，提高解題能力，形成數學核心素養.

參考文獻：

［1］

蔡玉書.向量的定比分點公式的應用［J］.數學通訊，2012（Z3）：110-113.

［2］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］ 朱勝強.線段定比分點向量公式的幾何意義及其應用［J］.數學通報，2016，55（06）：31-33，39.

［責任編輯：李" 璟］