高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中變式訓(xùn)練的重要性思索

摘 要：隨著高中數(shù)學(xué)教育的深入發(fā)展，如何提高學(xué)生的解題能力、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)成為教師關(guān)注的焦點(diǎn).變式訓(xùn)練通過改變題目的條件、結(jié)論或形式，使學(xué)生在解決不同問題的過程中，深入理解數(shù)學(xué)概念、掌握解題技巧，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；變式訓(xùn)練

中圖分類號：G632

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1008-0333（2024）30-0026-03

收稿日期：2024-07-25

作者簡介：穆振菊（1986.11—），女，山東省莒縣人，碩士，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，變式訓(xùn)練作為一種有效的教學(xué)策略，其重要性不容忽視.通過實(shí)施變式訓(xùn)練，學(xué)生能夠在多樣化的題目中掌握數(shù)學(xué)規(guī)律，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度和廣度.同時，變式訓(xùn)練也促進(jìn)了教師教學(xué)理念和方法的創(chuàng)新，推動了高中數(shù)學(xué)教學(xué)的改革發(fā)展.

1 高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中變式訓(xùn)練的重要意義

首先，變式訓(xùn)練有助于減少不必要的習(xí)題練習(xí).在傳統(tǒng)的解題教學(xué)中，學(xué)生往往需要進(jìn)行大量的重復(fù)性練習(xí)，這不僅浪費(fèi)時間和精力，還可能使學(xué)生產(chǎn)生厭倦情緒.而變式訓(xùn)練通過變換題目的形式、條件和結(jié)論，使學(xué)生在有限的練習(xí)中接觸到更多的題型和解題思路，從而達(dá)到事半功倍的效果.通過變式訓(xùn)練，學(xué)生可以在更少的練習(xí)中掌握更多知識和技巧，提高學(xué)習(xí)效率.

其次，變式訓(xùn)練能有效提高課堂學(xué)習(xí)效率.通過變式訓(xùn)練，教師可以針對學(xué)生的實(shí)際情況和教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)具有針對性的題目，使課堂教學(xué)更加高效.同時，學(xué)生在解題過程中需要積極思考和探索，這也有助于提高學(xué)生的課堂參與度，使課堂氛圍更加活躍.通過有效的變式訓(xùn)練，教師可以更好地掌控課堂節(jié)奏，確保學(xué)生在有限的時間內(nèi)獲得最大的學(xué)習(xí)收益.

最后，變式訓(xùn)練有利于培養(yǎng)學(xué)生舉一反三意識.通過變式訓(xùn)練，學(xué)生可以學(xué)會從多個角度審視問題，尋找問題的本質(zhì)和規(guī)律，從而培養(yǎng)靈活的思維方式和解決問題的能力.這種意識不僅有助于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中取得更好的成績，還能為學(xué)生未來的學(xué)習(xí)和生活打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2 高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中變式訓(xùn)練的應(yīng)用

2.1 一題多問

一題多問能夠幫助學(xué)生全面理解題目背后的數(shù)學(xué)概念和原理.通過不斷變換問題的形式和角度，教師可以引導(dǎo)學(xué)生逐步深入到問題本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律和聯(lián)系.學(xué)生不僅能夠掌握解題方法，還能夠理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識體系^［1］.

例1 已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx，求f（x）的最大值.

首先，直接求解原題，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為2sin（x+π4）的形式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出最大值為2.

接著，對原題進(jìn)行變形，提出新的問題.可以問：“若函數(shù)g（x）=sinx-cosx，求g（x）的最大值”.這個問題與原題類似，但是函數(shù)形式稍有變化，學(xué)生需要運(yùn)用相同的三角函數(shù)變換技巧，將g（x）轉(zhuǎn)化為2sin（x-π4），然后求解最大值.

進(jìn)一步，可以提出更具挑戰(zhàn)性的問題“若函數(shù)h（x）=asinx+bcosx（其中a，b是常數(shù)），求h（x）的最大值”.這個問題需要學(xué)生將之前的知識推廣到一般情況，利用輔助角公式將h（x）轉(zhuǎn)化為a²+b²sin（x+θ）的形式，其中θ為輔助角，然后求解最大值.

2.2 一題多解

通過一題多解的變式訓(xùn)練，學(xué)生可以體驗(yàn)到數(shù)學(xué)問題的多樣性和復(fù)雜性，學(xué)會從多個角度審視問題，尋找問題的本質(zhì)和規(guī)律.這種訓(xùn)練不僅有助于提高學(xué)生的解題能力，還能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、創(chuàng)新思維和批判性思維.

例2 已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0）和（0，-3），且對稱軸為直線x=-1，求該二次函數(shù)的解析式.

解法1 利用已知點(diǎn)代入法.

因?yàn)楹瘮?shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0）和（0，-3），所以將這兩個點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，得a+b+c=0，

c=-3.

又因?yàn)閷ΨQ軸為直線x=-1，所以-b2a=-1，聯(lián)立以上三個方程可得：a=1，b=2，c=-3.

所以二次函數(shù)解析式為f（x）=x²+2x-3.

解法2 利用頂點(diǎn)式.

由于對稱軸為直線x=-1，可以設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為f（x）=a（x+1）²+k，又因?yàn)楹瘮?shù)經(jīng)過點(diǎn)（1，0）和（0，-3），分別代入可得4a+k=0，

a+k=-3.

解得a=1，k=-4.

所以二次函數(shù)的解析式為f（x）=（x+1）²-4.

展開后得到f（x）=x²+2x-3.

2.3 一題多變

一題多變要求教師對題目進(jìn)行精心挑選和設(shè)計(jì)，確保題目具有足夠的深度和廣度.通過改變題目的條件、結(jié)論或形式，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度和層面去分析和解決問題，從而深化對數(shù)學(xué)概念的理解，提高解題的靈活性和創(chuàng)新思維^［2］.

例3 求函數(shù)f（x）=x²-4x+3的最小值.

變式1 求函數(shù)f（x）=ax²-4x+3（a＞0）的最小值.

變式1引入了參數(shù)a，學(xué)生需要考慮a對函數(shù)最小值的影響，并分類討論a的不同取值情況.

變式2 求函數(shù)f（x）=x²-4x+3在區(qū)間［0，5］上的最小值.

變式2引入了區(qū)間限制，學(xué)生需要考慮函數(shù)在特定區(qū)間上的性質(zhì)，并找出區(qū)間內(nèi)的最小值點(diǎn).

變式3 已知函數(shù)f（x）=x²-4x+3，若存在實(shí)數(shù)t，使得對于所有x∈［1，m］都有f（x+t）≤f（x）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

變式3將問題提升到了一個新的層次，學(xué)生需要理解函數(shù)平移的性質(zhì)，并找出滿足條件的m的取值范圍.

2.4 多題歸一

這種教學(xué)方法旨在引導(dǎo)學(xué)生對多個題目進(jìn)行歸納和總結(jié)，找出這些題目之間的共同點(diǎn)和規(guī)律，從而深化其對數(shù)學(xué)概念的理解，提高解題的效率和準(zhǔn)確性.可以選取以下幾個題目進(jìn)行多題歸一的訓(xùn)練.

例4 已知等差數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁=1，a₄=7，求S₇.

例5 已知等比數(shù)列b_n的前n項(xiàng)積為T_n，若b₁=2，b₄=8，求T₅.

例6 已知等差數(shù)列c_n和等比數(shù)列d_n的首項(xiàng)均為1，且公差和公比均為2，求{c_n+d_n}的前n項(xiàng)和.

在解答這些題目的過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注以下幾點(diǎn)：首先，對于等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和或積，需要掌握其基本的計(jì)算公式和性質(zhì)，這些公式和性質(zhì)是解決這類問題的關(guān)鍵.其次，需要善于利用題目中給出的條件求解未知數(shù).例如，在例4和例5中，可以利用給出的項(xiàng)求出公差或公比，進(jìn)而求出前n項(xiàng)和或積.最后，對于例6這種涉及兩種數(shù)列的問題，則需將兩種數(shù)列的性質(zhì)和計(jì)算方法結(jié)合起來，靈活運(yùn)用所學(xué)知識來求解.

3 解題教學(xué)中應(yīng)用變式訓(xùn)練的保障措施

3.1 教師培訓(xùn)與材料準(zhǔn)備

首先，教師培訓(xùn)至關(guān)重要.教師應(yīng)深入理解變式訓(xùn)練的理論與實(shí)踐，掌握引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入數(shù)學(xué)思考的方法.學(xué)校可組織培訓(xùn)講座、研討會或工作坊，邀請數(shù)學(xué)教育專家進(jìn)行講授和指導(dǎo)，分享成功的教學(xué)案例.同時，教師需提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力，以應(yīng)對可能遇到的問題.其次，材料準(zhǔn)備同樣關(guān)鍵.教學(xué)材料應(yīng)涵蓋多種題型和解法，注重層次性和梯度性，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入探索數(shù)學(xué)問題.教師需準(zhǔn)備教學(xué)課件、習(xí)題集、答案解析等輔助材料，為學(xué)生提供必要幫助.學(xué)校可建立教學(xué)資源庫，收集和整理優(yōu)質(zhì)教學(xué)材料，鼓勵教師自制材料并分享交流，提高材料質(zhì)量.

3.2 教學(xué)環(huán)境與資源建設(shè)

優(yōu)質(zhì)的教學(xué)環(huán)境能夠?yàn)閷W(xué)生提供良好的學(xué)習(xí)氛圍和條件，有助于學(xué)生更好地投入到數(shù)學(xué)解題中.因此，學(xué)校應(yīng)加大對教學(xué)環(huán)境的投入，改善教室設(shè)施，提供寬敞明亮、設(shè)備齊全的學(xué)習(xí)空間.同時，還應(yīng)注重校園文化建設(shè)，營造積極向上、富有創(chuàng)新精神的學(xué)術(shù)氛圍，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和創(chuàng)造力.教學(xué)資源建設(shè)是保障變式訓(xùn)練有效實(shí)施的重要基礎(chǔ).豐富的教學(xué)資源能夠?yàn)榻處熖峁└嗟慕虒W(xué)選擇和手段，有助于教師更好地設(shè)計(jì)和實(shí)施變式訓(xùn)練.學(xué)校應(yīng)積極建設(shè)數(shù)學(xué)教學(xué)資源庫，收集和整理各類數(shù)學(xué)題目、解題方法和教學(xué)案例，為教師提供便捷的資源獲取途徑.此外，還應(yīng)加強(qiáng)與相關(guān)機(jī)構(gòu)和企業(yè)的合作，引進(jìn)先進(jìn)的數(shù)學(xué)教學(xué)技術(shù)和工具，提升教學(xué)水平和效果.

3.3 教學(xué)策略與方法創(chuàng)新

傳統(tǒng)的教學(xué)策略已經(jīng)無法滿足現(xiàn)代教育的需求，因此，教師應(yīng)轉(zhuǎn)變教學(xué)思維，以引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)為核心，采用合作學(xué)習(xí)、問題導(dǎo)向?qū)W習(xí)等教學(xué)策略.這些策略能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和解決問題的能力，使其在變式訓(xùn)練中更加積極主動.教學(xué)方法的創(chuàng)新也是必要的，在變式訓(xùn)練中，教師可以引入多元化教學(xué)方法，如利用信息技術(shù)手段進(jìn)行輔助教學(xué)，通過數(shù)學(xué)軟件、在線平臺等工具，讓學(xué)生在實(shí)踐中學(xué)習(xí)和探索數(shù)學(xué)問題.同時，教師還可以采用案例分析、討論式教學(xué)等方式，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和求解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和問題解決能力.

此外，教學(xué)策略與方法的創(chuàng)新還需要與變式訓(xùn)練的具體內(nèi)容相結(jié)合.教師應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際情況，靈活選擇和應(yīng)用不同的教學(xué)策略和方法.例如，對于一些具有挑戰(zhàn)性的問題，可以采用合作學(xué)習(xí)的方式，讓學(xué)生共同討論和探究；對于一些需要深入理解的概念和原理，可以采用問題導(dǎo)向?qū)W習(xí)的方式，引導(dǎo)學(xué)生通過解決問題來掌握知識.

3.4 建立評價與反饋機(jī)制

建立科學(xué)的評價體系應(yīng)涵蓋學(xué)生在變式訓(xùn)練中的表現(xiàn)，包括解題速度、正確率、思路創(chuàng)新等方面.通過定期測試、課堂觀察、作業(yè)分析等方式，全面收集學(xué)生的解題數(shù)據(jù)，為評價提供客觀依據(jù).同時，評價標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)明確、具體，以便學(xué)生能夠清楚地了解自己的學(xué)習(xí)狀況，從而有針對性地改進(jìn).

及時有效的反饋機(jī)制可以令教師對學(xué)生的解題過程進(jìn)行細(xì)致分析，發(fā)現(xiàn)其中的優(yōu)點(diǎn)和不足，并給出具體的反饋意見.對于表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生，應(yīng)予以肯定和鼓勵，激發(fā)其進(jìn)一步探索數(shù)學(xué)的興趣和動力；對于存在問題的學(xué)生，應(yīng)指出其問題所在，并提供相應(yīng)的改進(jìn)建議.此外，教師還可以組織學(xué)生進(jìn)行自我評價和互評，促進(jìn)學(xué)生之間的交流和合作，共同提高解題能力.

4 結(jié)束語

通過對高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中變式訓(xùn)練重要性的探討不難發(fā)現(xiàn)，變式訓(xùn)練不僅能夠幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基本概念和原理，還能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和創(chuàng)新能力.同時，變式訓(xùn)練也促進(jìn)了教師教學(xué)理念和方法的創(chuàng)新，推動了高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革發(fā)展.因此，應(yīng)當(dāng)充分重視變式訓(xùn)練在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用，積極探索其實(shí)踐策略和方法，為培養(yǎng)具有高素質(zhì)的數(shù)學(xué)人才貢獻(xiàn)力量.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 羅亮.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中學(xué)生反思能力的培養(yǎng)策略探究［J］.數(shù)理化解題研究，2023（15）：50-52.

［2］ 冉正強(qiáng).高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)變式訓(xùn)練的應(yīng)用策略探析［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（26）：113-115.

［責(zé)任編輯：李 璟］